by 
Πραγματικοί και νοητοί.
Μιλάμε συνεχώς για περιστροφή ενός στερεού γύρω από άξονα, αλλά συνήθως ξεχνάμε να πούμε αν αυτός ο άξονας είναι πραγματικός ή νοητός. Δεν είναι το ίδιο να περιστρέφω την πόρτα η οποία στηρίζεται στους μεντεσέδες και το ίδιο να περιστρέφω το στυλό που κρατάω στο χέρι μου. Και αυτό γιατί ο πραγματικός άξονας είναι εκεί για να επιβάλει συγκεκριμένο τρόπο περιστροφής, ενώ ο νοητός δεν υπάρχει και σε τελευταία ανάλυση είναι μια δική μου σκέψη που τον εντάσσει στο πρόβλημα.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να ξεδιαλύνουμε την κατάσταση.
Παράδειγμα 1ο:
Πάνω σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια ομογενής σανίδα μάζας Μ=6kg μήκους ℓ=2m, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από (πραγματικό) κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο. Σε μια στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης σταθερού μέτρου F1=4Ν, στο άκρο της Α, η οποία παραμένει κάθετη στη ράβδο, όπως στο σχήμα, μέχρι τη στιγμή t1=5s, όπου η δύναμη καταργείται.
i) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της σανίδας τις χρονικές στιγμές t1=5s και t2=10s.
ii) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί ο άξονας ….
Η συνέχεια στο Blogspot.
Καλησπέρα Διονύση. Σε ευχαριστώ για την πολύ καλή δουλειά και την πολύ χρήσιμη ανάρτηση.
Να είσαι καλά
Σαράντο, χαίρομαι που σε ξαναβλέπω. Απουσίασες ή μου φαίνεται;
Έχεις πολλά κέφια. (Την πάτησα στο 3ο παράδειγμα.)
Και είναι για την τάξη καθαρά. Δεν είναι εξεζητημένα θέματα.
Γιάννη και Δημήτρη να είστε καλά.
Δώσε μια ράβδο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Βάλε ένα ζεύγος και οι δύο δεξιά του Κ.Μ.
Ρώτα ως προς ποιο σημείο γίνεται η περιστροφή. Οι περισσότερες απαντήσεις θα είναι:
“-Περί το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα σημεία εφαρμογής”
Φαίνεται παράδοξη η περιστροφή περί το Κ.Μ.
Ακριβώς Γιάννη. Είναι πολύ πιθανόν να πάρεις την απάντηση που λες.
Διονύση …εξαιρετική και πολύ χρήσιμη εργασία.
Η έννοια του πραγματικού και νοητού άξονα περιστροφής είναι ένα κομβικό σημείο για να κατανοήσει ο μαθητής την ελεύθερη περοστροφή.
Νομίζω ακόμη ότι βοηθά σημαντικά στην κατανόηση της διαφορας μεταξύ ροπής ως προς αξονα και ροπής ως προς σημείο που αναφέρει το σχολικό βιβλίο.
Διονύση άλλη μια φορά μοιράζεσαι μαζί μας …μια πολύ αξιόλογη εργασία.
Να΄σαι καλά.
Γιάννη (Δογρ) χαίρομαι που σου αρέσει.
Καλησπέρα Διονύση.
Μια ακόμη εξαιρετική δουλειά. Μια χρησιμότατη ανάρτηση!
Σε ευχαριστώ πολύ!
Να είσαι καλά Γιάννη.
Καλημέρα σας. Διονύση εύλογο το σχόλιό σου. Συμφωνώ με τον τρόπο που προσεγγίζεις το ζήτημα.
Προσθέτω ότι στο ερώτημα όπως το έθεσε ο Δημήτρης: ποιος ευθύνεται για την περιστροφή η ροπή ζεύγους ή η ροπή δύναμης, μια απάντηση θα μπορούσε να είναι καμιά από τις δύο. Η περιστροφή μπορεί να γίνεται και χωρίς ροπή. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός άκαμπτου στερεού (συστήματος υλικών σημείων) νομίζω μπορεί να επιτευχθεί και χωρίς παρουσία ζεύγους, γίνεται όμως γύρω από κύριο άξονα περιστροφής (διερχόμενο από το κέντρο μάζας). Αν υπάρχει “περιορισμός” και το σύστημα δεν είναι ελεύθερο τότε ίσως έχει δίκιο ο Δημήτρης αλλά δε νομίζω ότι είναι απαραίτητη η αναφορά σε μαθητές.
Διονύση καλό μεσημέρι. Πολύ ωραίος ο τρόπος που παρουσιάζεις το θέμα.Όσοι βιώνουμε σε καθημερινή βάση την αδυναμία των μαθητών να σημειώσουν σωστά τις δυνάμεις σ΄ένα σώμα ή σύστημα σωμάτων, αντιμετωπίζουμε ένα σοβαρό διδακτικό δίλημμα, μπορούμε να αγνοήσουμε την καθημερινή πραγματικότητα;Φοβάμαι ότι αν το κάνουμε θα είναι σαν να μιμούμαστε τον Hegel.Ήταν σε βαθύ γήρας όταν οι μαθητές του του είπαν “δάσκαλε αυτά που μας λές δεν έχουν σχέση με την πραγματικότητα” και εκείνος απάντησε ” τόσο το χειρότερο για την πραγματικότητα!!”.Σε σχέση με το υπό συζήτηση θέμα θα επαναλάβω και την παλαιότερη θέση μου ότι από πολλά προβλήματα θα είχαμε γλιτώσει αν στην πορεία διδασκαλίας προηγείτο η διδασκαλία της στροφορμής και του γενικευμένου νόμου .
Σαράντο και Ξενοφώντα Καλησπέρα.
Δίκιο έχετε σε αυτό που λέτε, απλά ο Δημήτρης νομίζω το θέτει στη βάση: Ένα αρχικά ακίνητο στερεό, πώς μπορεί να τεθεί σε μεταφορική και πώς σε περιστροφική κίνηση.
Πράγματι μπορεί να υπάρξει γωνιακή επιτάχυνση, χωρίς ροπή, αρκεί να υπάρχει ήδη κάποια γωνιακή ταχύτητα, οπότε κάθε μεταβολή της ροπής αδράνειας, προκαλεί και μεταβολή στην γωνιακή ταχύτητα, σύμφωνα με το γενικευμένο νόμο.
Καλησπέρα σας. Δημήτρη δεν αμφέβαλλα γι αυτό βέβαια.
Μπράβο Διονύση πληρέστατο και διευκρινιστικότατο. Ότι καλύτερο μπορεί να πει κανείς στην κατεύθυνση όσον αφορά στους άξονες στην επίπεδη κίνηση.
Να είσαι καλά Μανώλη.
Συγχαρητήρια Διονύση.
Άλλο ένα παράδειγμα που διδάσκει, όπως μας … έχεις καλομάθει 🙂
Διονύση και Δημήτρη, να είστε καλά.
Μπράβο Διονύση..
Μια εξαιρετική απάντηση σε όσους ακόμα πιστεύουν στο παραμύθι της “διδασκαλίας άνευ διδασκάλου”.
Εξαιρετικά παραδείγματα για να ξεκαθαρίσει κάποιος τα βασικά στη μηχανική του στερεού σώματος.
Θα πρότεινα ένα ακόμη παράδειγμα : δυο κάθετες στη ράβδο αντίθετες δυνάμεις ( ζεύγος ) σε ελεύθερη ράβδο ΑΓ… ας πούμε στα σημεία Κ, Λ, με αποστάσεις ΑΚ=L/6 και ΑΛ=L/3 από το ένα άκρο….( κι το ip ενάντια στην διαίσθηση των μαθητών )
Καλημέρα Δημήτρη. Ωραίο το i.p. που μας έδωσες όπου φαίνεται καθαρά “το περίεργο της περιστροφής”. Πραγματικά η αίσθηση του μέσου και όχι μόνο μαθητή,είναι ότι η ράβδος πρέπει να στρέφεται γύρω από ένα σημείο μεταξύ των δύο δυνάμεων. Αλλά γιατί μου ζητάς να προσθέσω και άλλο παράδειγμα; Δεν καλύπτεται αυτή π περίπτωση από το 3ο παράδειγμα και το αντίστοιχο σχόλιο;
Απλά αντί να πω ότι στρέφεται γύρω από αυτόν τον άξονα, βρήκα τη δύναμη από τον άξονα ότι είναι μηδενική, οπότε βγαίνει το συμπέρασμα, ότι και αν φύγει ο άξονας (ελεύθερο σώμα) η περιστροφή θα είναι η ίδια, δηλαδή περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κ.μ.
Καλημέρα Διονὐση ( καθυστερημένα λόγω οικογενειακών καθηκόντων Σαββάτου )
Ναι Διονύση
με φυσική σκέψη απλή ( ενός βήματος )
η περίπτωση καλύπτεται από το 3ο παράδειγμα…
… ρώτα τους μαθητές αν το πιστεύουν … τα είχα δει παίζοντας το στυλό στα δάκτυλα να προσπαθούν να με διαψεύσουν…
Εξαιρετική και αυτή σου η ανάρτηση Διονύση.Με τόση σαφήνεια και πληρότητα, στο yliko ο κάθε μαθητής θα μπορούσε να βρει τον καλύτερο οδηγό για τις εξετάσεις του, αλλά κυρίως τον καλύτερο οδηγό σωστής μάθησης.
Ευχαριστώ Μανώλη.
Διονύση καλό μεσημέρι.
Σήμερα στο σχολείο δίδαξα το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής στη στροφική κίνηση. Αντί να κάνω τα λυμένα παραδείγματα του βιβλίου έκανα το θέμα το δικό σου αυτό εδώ εστιάζοντας στον κύλινδρο. Με τη συζήτηση μας ήρθε να δούμε τι γίνεται με την ταχύτητα στο κάτω σημείο. Το αποτέλεσμα μας άρεσε πολύ. Ανάλογα με το λόγο r/R η ταχύτητα μπορεί να είναι προς τα εμπρός η προς τα πίσω για r/R=1/2 είναι μηδέν Αν δε μας σταματούσε το κουδούνι θα βρίσκαμε τις ταχύτητες και άλλων σημείων. Εμάς το πρόβλημα μας άρεσε ούτως ή άλλως αλλά μας άρεσε και η τροπή που πήρε.
Καλό απόγευμα Μανώλη.
Αν ξεκινήσει μια συζήτηση στην τάξη και αποκτήσει το ενδιαφέρον των μαθητών, όπου και να οδηγηθεί, κέρδος μεγάλο είναι.
Διονύση στην αρχή του κειμένου γράφεις:
“…ενώ ο νοητός δεν υπάρχει και σε τελευταία ανάλυση είναι μια δική μου σκέψη που τον εντάσσει στο πρόβλημα.
Η γνώμη μου:
Σε κάθε περιστροφική κίνηση υπάρχει οπωσδήποτε ένα γεωμετρικός/νοητός άξονας περιστροφής τον οποίο πρέπει να αναφέρουμε.
Η έκφραση το στερεό εκτελεί περιστροφική κίνηση είναι αόριστη.
Μου αρέσει ιδιαίτερα η διατύπωση του κ. Κασσέτα:
“Η περιγραφή της στροφικής κίνησης (rotatory motion) έχει ανάγκη τη γεωμετρική έννοια άξονας.
Σε κάθε στιγμή η κίνηση αυτή αναφέρεται τόσο στο κινούμενο σώμα όσο και σε συγκεκριμένο άξονα.”
Επειδή η μελέτη της γενικής επίπεδης κίνησης ως επαλληλία μιας μεταφοράς και μιας περιστροφής μπορεί να γίνει με άπειρους τρόπους, είναι δικό μας γούστο η επιλογή του νοητού άξονα περιστροφής.
Ακόμα και στην περίπτωση μόνο στροφικής κίνησης γύρω από ακλόνητο “πραγματικό” άξονα που δεν διέρχεται από το cm, κανείς δεν με εμποδίζει να θεωρήσω ότι το στερεό στρέφεται γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το cm και ταυτόχρονα μεταφέρεται με τη ταχύτητα του cm.
ΥΓ.
Όσον αφορά την ποιότητα της ανάρτησης, “πάλι έγραψες” 🙂
Καλησπέρα Νίκο. Το νόημα της φράσης που παραθέτεις:
“…ενώ ο νοητός δεν υπάρχει και σε τελευταία ανάλυση είναι μια δική μου σκέψη που τον εντάσσει στο πρόβλημα.”
Είναι αυτό που καταλήγεις:
Επειδή η μελέτη της γενικής επίπεδης κίνησης ως επαλληλία μιας μεταφοράς και μιας περιστροφής μπορεί να γίνει με άπειρους τρόπους, είναι δικό μας γούστο η επιλογή του νοητού άξονα περιστροφής.
Κατά τα άλλα συμφωνώ με την θέση του Ανδρέα Κασσέτα, ότι:
“Η περιγραφή της στροφικής κίνησης (rotatory motion) έχει ανάγκη τη γεωμετρική έννοια άξονας.
Σε κάθε στιγμή η κίνηση αυτή αναφέρεται τόσο στο κινούμενο σώμα όσο και σε συγκεκριμένο άξονα.”
Προφανώς η μελέτη και περιγραφή της κίνησης δεν μπορεί να γίνει χωρίς συγκεκριμένο άξονα. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι αυτός ο άξονας είναι ένας και πραγματικός. Είναι δική μου επιλογή και έχω ελευθερία να επιλέξω.
Για να το πω με άλλα λόγια.
Όταν μελετάω την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και θέλω να γράψω εξισώσεις και να την περιγράψω, ορίζω ένα σύστημα αξόνων, θέτοντας αυθαίρετα κάπου την αρχή του άξονα. Αλλά αυτή η θέση δεν είναι μια και μοναδική. Έτσι και στην περίπτωση της περιστροφικής κίνησης είναι απαραίτητο να ορισθεί και ένας άξονας, αλλά ορίζεται από αυτόν που τη μελετά και δεν είναι μια και μοναδική η δυνατότητα που έχει.
Διονύση η διαφωνία μου είναι φραστική και είναι στο σημείο που γράφεις “… ενώ ο νοητός δεν υπάρχει” αφού ο νοητός άξονας πάντοτε υπάρχει και είναι γεωμετρική έννοια που δεν “πιάνεται”.
Νίκο όταν το έγραφα είχα στο μυαλό μου, να επισημάνω την διαφορά πραγματικού και νοητού άξονα, για να μπορεί ο μαθητής να σχεδιάζει δυνάμεις, ξέροντας ότι αν υπάρχει πραγματικός άξονας, πιθανότατα θα ασκείται δύναμη στο στερεό από αυτόν, πράγμα που δεν μπορεί να συμβεί στην περίπτωση νοητού. Αν πέτυχα τον παραπάνω στόχο, μένει να φανεί…
Διονύση φυσικά και έχεις πετύχει το στόχο με το παραπάνω.
Διονύση, μου άρεσε πολύ η ανάλυση που κάνεις για περιστροφή ενός σώματος γύρω από κάποιο άξονα πραγματικό ή φανταστικό. Πολύ καλή.
Παλιότερα είχα ασχοληθεί με την αλλαγή άξονα περιστροφής σε ένα σώμα. Στη Θεωρία έχουμε το νόμο του Steiner που μιλάει για την ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς ένα άξονα παράλληλο εκείνου που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Εγώ διερεύνησα αν διατηρείται η στροφορμή όταν αλλάξουμε άξονα περιστροφής από αυτόν που διέρχεται από το κέντρο μάζας σε έναν άλλον παράλληλο στον αρχικό.
Σχετικά μπορείς να δεις τον καταπέλτη στην παρακάτω διεύθυνση
http://users.sch.gr/dtsaousis/arthra/katapeltis.doc
και μια όμορφη εφαρμογή επάνω σε αυτή την ιδέα. Πως περιστρέφεται το τσιλίκι που παίζαμε μικροί, που μπορείς να το βρεις στην παρακάτω διεύθυνση. Κατά την περιστροφή του αλλάζει άξονα περιστροφής!
http://users.sch.gr/dtsaousis/Eisigiseis/tsiliki.doc
Άργησα λίγο να παρακολουθήσω τη συζήτησή σας αλλά εμάς τους ομότιμους όποιος μας βρίσκει μας φορτώνει διάφορα μια που δεν έχουμε ωράριο εργασίας. Αποτέλεσμα είναι τώρα να έχουμε λιγότερο δικό μας χρόνο, από τότε που δουλεύαμε μα πρόγραμμα!
Φιλικά
Δημήτρης Τσαούσης