by 
Μια σφαίρα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m έχει προσκολληθεί στο άκρο ομογενούς ράβδου μάζας m=16kg μήκους ℓ=0,75m, με αποτέλεσμα να έχει σχηματισθεί ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Ο της ράβδου. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.
i) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας.
ii) Αν μειώσουμε τη μάζα της ράβδου, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί η μέγιστη ταχύτητα της σφαίρας;
iii) Σε ποια τιμή τείνει η ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας, αν η ράβδος θεωρηθεί αβαρής;
iv) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας στην περίπτωση που, η αβαρής ράβδος αντικατασταθεί με αβαρές νήμα …..
Η συνέχεια στο Blogspot.
ή
Διονύση μπράβο για την συνόψιση του σχετικού θέματος και κυρίως για το σχόλιο σου,στο οποίο κάνεις κατανοητή για τον μαθητή τη διαφορά των δύο περιπτώσεων,το γράφω, διότι για κάποιον που διδάσκεται στερεό τους τελευταίους δύο- τρεις μήνες , εύλογα δεν είναι και το προφανέστερο.
Διονύση εξαιρετικός και ουσιαστικός. Πολύ ωραία η “φυσική” εξήγηση του ότι καθώς η μάζα της ράβδου μειώνεται θα μειώνεται επίσης και η μεγίστη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος. Όμως μια και μου ήρθε θα το γράψω:
Ξενοφώντα και Μανώλη Καλησπέρα.
Ξενοφώντα, αυτός ήταν ο στόχος, να διαχωριστούν οι δυο περιπτώσεις, που στα μάτια των μαθητών μας είναι ίδια.
Μανώλη ευχαριστώ για την απόδειξη. Δεν ήθελα να κάνω μαθηματική απόδειξη, για να μην το “βαρύνω” άλλο. Ακόμη και οι τελικοί τύποι που βγήκαν, μου φάνηκαν άσχημοι (απεχθάνομαι τις μεγάλες σχέσεις και μάλιστα όταν δεν έχουν καμιά…λογική). Έτσι προτίμησα να δώσω μια ποιοτική ερμηνεία και (κόντρα στην μαθηματική συνέπεια) να δοκιμάσω με μια μικρότερη τιμή μάζας. Με ενδιέφερε περισσότερο η κατάληξη στην “αβαρή” ράβδο για ευνόητους λόγους.
Διονύση τρείς παρατηρήσεις στην πολύ καλή ανάρτηση.
α. Δεν θα χρησιμοποιούσα τον όρο “σχετική ροπή αδράνειας”.
β. Θα έκανα αναφορά και την περίπτωση αβαρούς ράβδου που φέρει στο άκρο της λείο άξονα, οπότε η κατάσταση είναι συγκρίσιμη με το νήμα.
γ. Ότι η στροφική γύρω από άξονα που δεν διέρχεται από το cm, μπορεί να θεωρηθεί και σύνθετη δεν νομίζω ότι πρέπει να το αναφέρουμε στα παιδιά.
Εξαιρετική και διδακτική και θα μπορούσε να μπεί και ως Β θέμα.
Νίκο και Πρόδρομε Καλημέρα.
Η “σχετική ροπή αδράνειας” δεν είναι καθιερωμένος όρος και συνεπώς προβληματικός. Αλλά δεν διέθετα κατάλληλο όρο να αποδώσω, αυτό που ήθελα να πω. Προφανώς όταν μειώνεται η μάζα της ράβδου, μειώνεται και η ροπή αδράνειας. Το θέμα είναι σε τι ποσοστό μειώνεται η ροπή αδράνειας, για ένα ορισμένο ποσοστό μείωσης της μάζας της ράβδου;
Δανείστηκα λοιπόν τον όρο αυτό, από άλλες περιοχές, αφού δεν ήθελα και να μπλέξω και με “δύσκολους” μαθηματικούς τύπους. Το αποτέλεσμα κρίνεται…
Για το αν η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη, νομίζω ότι πρέπει να πούμε στα παιδιά, ότι το απλή ή σύνθετη είναι μια δική μας υπόθεση και εμείς το αποφασίζουμε. Έτσι στο παράδειγμα αυτό, χρησιμοποίησα την σύνθετη για να οδηγήσω την σχέση της κινητικής ενέργειας σε ένα άθροισμα, όπου θα εμφανιζόταν καθαρά οι γνωστοί προσθετέοι. Αυτό δε, ήθελα να το χρησιμοποιήσω σαν σκαλοπάτι και τον υπολογισμό της στροφορμής…
Διονύση αν δούμε η στροφική γύρω από άξονα που δεν διέρχεται από το cm ως σύνθετη, τότε για τον υπολογισμό της στροφορμής ο μαθητής πρέπει να γνωρίζει τη σχέση που δίνει τη στροφορμή στερεού σώματος που μεταφέρεται, κάτι που όμως είναι εκτός ύλης.
Ακόμα αν ο δίσκος δεν είναι κολημένος στην η αβαρή ράβδο, αλλά η αβαρής ράβδος φέρει λείο άξονα, τότε η κατάσταση είναι συγκρίσιμη με το νήμα.
Καλό μεσημέρι Νίκο. Συμφωνώ ότι με βάση το βιβλίο η κατάσταση είναι προβληματική. Αλλά αυτό που χρησιμοποιώ είναι ένας τρόπος να οδηγήσω τη σκέψη σε κάποια πράγματα, που χωρίς να ξαφνιάζεται ο μαθητής, να αποδέχεται τη λογική τους.
Για το δεύτερο, βλέπω να επανέρχεσαι, παρότι είδες ότι δεν στο απάντησα στο πρώτο σου σχόλιο.
Ωραία λοιπόν δεν ήθελα να το πω. Ήθελα να δείξω τη διαφορά και όχι και τις δυνατές ομοιότητες…
Διονύση καλησπέρα.
Πολύ ωραίο το θέμα σου αλλά νομίζω ότι έχω βρει ένα λαθάκι.
Γράφεις “Καρχ+Uαρχ=Κτελ+ Uτελ => (Μ+m)g·(ℓ+R) = ½ ΙΣ·ω2 ”
έχεις όμως παραλείψει την δυναμική ενέργεια της ράβδου στην κατώτερη θέση.
Δηλαδή θα έπρεπε να έγραφες “Καρχ+Uαρχ=Κτελ+ Uτελ => (Μ+m)g·(ℓ+R) = ½ ΙΣ·ω2 + mg(ℓ/2 +R)”
Μία ακόμη παρατήρηση :
Λες “Πολλές φορές αντιμετωπίζεται μια αβαρής ράβδος με την λογική του αβαρούς νήματος.”
Νομίζω πως έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα νήματος και αβαρούς ράβδου αν δεθούν στο ίδιο σημείο,
δηλαδή αν το νήμα ήταν μήκους ℓ = 0,75 m και δενόταν στην περιφέρεια του νήματος.
Υ.Γ. Ελπίζω να “μη σου χάλασα τα νούμερα με αυτό”.
Καλό απόγευμα.
Βασίλη, σε ευχαριστώ για την επισήμανση του λάθους. Προφανώς έχεις δίκιο και έκανα την διόρθωση.
Για το δεύτερο, δεν θα συμφωνήσω. Αν το νήμα δεθεί με νήμα σε ένα σημείο της περιφέρειάς του, ποια δύναμη θα περιστρέψει την σφαίρα; Για να “στρίψει” η σφαίρα, θα πρέπει να δεχτεί ροπή και αυτό θα γίνει αν το νήμα δεν είναι στην προέκταση της ακτίνας της σφαίρας.
Διονύση αν δεν περιστραφεί η σφαίρα τότε στην κατακόρυφη θέση δεν θα έχουμε μία κατάσταση όπως στην εικόνα που παραθέτω;
Δηαλδή στην κατακόρυφη θέση δεν θα έχουμε κάτι σαν γιο γιο δεμένο σε σταθερό σημείο;
Δηλαδή λέω πως αν η κόκκινη ακτίνα μένει συνεχώς οριζόντια τότε μόλις η σφαίρα εκτραπεί λίγο από την οριζόντια θέση τότε η ευθεία νήμα σημείο πρόσδεσης δεν θα περνά από το κέντρο μάζας οπότε θα δημιουργήσει ροπή και θα στραφεί η σφαίρα.
Πιστεύω πως αυτές είναι κάποιες “μικροροπές” που κάνουν την ευθεία ευθεία να συγχρονίζεται με το κέντρο.
Ο Γιάννης (Κυρ) με τις προσομοιώσεις ίσως μπορούσε να μας βοηθήσει.
Επειδή το θέμα το έχουμε συζητήσει “μυστικά” με το Γιάννη Κυριακόπουλο, ανεβάζω ένα IP που μου έστειλε ο Γιάννης και δείχνει την αλήθεια.
Σφαίρα με νήμα
ΥΓ.
Ένα λείο λαμάκι στο άκρο της αβαρούς ράβδου αντιστοιχεί στο νήμα δεμένο στο κέντρο του δίσκου, αλλά ο Διονύσης το κρύβει 🙂
Σύμφωνοι Βασίλη. Μόλις αρχίσει να κινείται προς τα κάτω η σφαίρα, θα σχηματίσει μια μικρή γωνία το νήμα με την ακτίνα και θα δημιουργηθεί ροπή, Αλλά αυτό δεν εξασφαλίζει ότι σε κάθε θέση η διεύθυνση της ακτίνας που έχει σημειωθεί με κόκκινο χρώμα, θα έχει την κατεύθυνση του νήματος.
Νίκο ευχαριστώ.
Χωρίς παρεξήγηση αναφέρθηκα στον Γιάννη γιατί αυτός συνήθως ανεβάζει τέτοιου είδους αρχεία.
Πολύ σπουδαίο εργαλείο και κρίμα που δεν το χω μάθει.
Ευχαριστώ και πάλι.
Και για να φανεί αυτό που υποστήριξα παραπάνω, στο αρχείο που ανέβασε ο Νίκος έχω προσθέσει ένα μετρητή της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας: file.IP
Δεν κρύβω τίποτα Νίκο. Μην κάνεις ότι δεν καταλαβαίνεις!
Ο στόχος της ανάρτησης είναι να κάνει τη διάκριση, όχι την ταύτιση.
Σε άλλη ευκαιρία μπορούμε να δείξουμε και το άλλο.
Διονύση εστίασα στο γεγονός ότι αν έχουμε νήμα δεμένο στην περιφέρεια θα υπάρξει περιστροφή του κέντρου μάζας.
Σίγουρα βέβαια άλλο ακλόνητη ράβδος και άλλο εύκαμπτο νήμα.
Το ανάφερα γιάτι από την πρώτη στιγμή που διάβασα την ανάρτηση σου κάτι δεν μου “κόλλαγε καλά”.
Φαντάζομαι τώρα να είμαστε “καλυμένοι όλοι”. 🙂
Δεν καταλαβαίνω Βασίλη τι δεν σου “κόλλαγε”. Στην άσκηση δεν έδεσα το νήμα σε σημείο της περιφέρειας, για να αποφύγω αυτό που δείχνει το i.p. την μικρή “ταλάντωση” στη γωνιακή ταχύτητα. Έγραψα: “Το νήμα συνδέεται στα άκρα μιας διαμέτρου, που ουσιαστικά είναι ισοδύναμο με το να έχει συνδεθεί στο κέντρο της σφαίρας”.
Διονύση προτείνω να αλλάξεις τη σφαίρα σε δίσκο, όπου με κατάλληλο τρόπο έχουμε συνδέσει το νήμα στο κέντρο του δίσκου.
Διαβάζοντας αυτό ”
Πολλές φορές αντιμετωπίζεται μια αβαρής ράβδος με την λογική του αβαρούς νήματος. Αν προσέξουμε όμως τα αποτελέσματα στα δυο τελευταία ερωτήματα, θα παρατηρήσουμε ότι το κέντρο μάζας Κ της σφαίρας αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα, στην περίπτωση που κρέμεται με νήμα.”
Δεν είχα προσέξει αυτό “Αν η ίδια σφαίρα είχε κρεμαστεί στο άκρο νήματος μήκους ℓ=1,25m …. ”
και εξομοίωσα την αλλαγή με νήμα μήκους ℓ=0,75m δηλαδή στο άκρο της σφαίρας.
Οπότε καταλαβαίνεις σαν εικόνα στο μυαλό μου δεν “έστεκε”.
Νίκο, θα μπορούσε να είναι δίσκος, οπότε ο μηχανισμός θα ήταν ευκολότερος…
Αλλά στο μυαλό μου, είχα το εξής:
Σε μια σφαίρα, για αν θυμηθούμε και τον Ρήγα, που μας θύμισε ο Μανώλης, περνάμε μια βελόνα κατά μήκος μιας διαμέτρου. Συνδέουμε τα άκρα της με ένα νήμα (μπλε χρώμα) το οποίο εφάπτεται σε έναν μέγιστο κύκλο της σφαίρας, Το μέσον αυτού του νήματος δένεται με το νήμα (κόκκινο χρώμα) μέσω του οποίου η σφαίρα, δένεται στο σημείο ανάρτησης.
Διονύση συμφωνώ, αλλά έτσι “μπλέκουμε” πάλι με αβαρή ράβδο 🙂
Η άσκηση πέτυχε τον σκοπό της.
Μια “πρακτική” υλοποίηση:
Προφίλ και ανφάς