by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 7 Αύγουστος 2014 και ώρα 9:00
Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με εξίσωση κίνησης:
x=0,2∙ημ(6πt)+0,2∙ημ(4πt) (S.Ι.)
Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t1=1/6 s.
Η συνέχεια στο Blogspot.
ή
Ποια λύση είναι επιστημονικά σωστή;
Διονύση, συνάδελφοι καλημέρα
Επιστημονικά σωστές είναι και οι δυο λύσεις στη συγκεκριμένη περίπτωση.
Η δεύτερη λύση είναι η καθολικά σωστή – δεν εξαρτάται από τη μορφή των επί μέρους προσθετέων ("επί μέρους κινήσεων") της εξίσωσης θέσης.
Η δεύτερη είναι σωστή ένεκα της μορφής των επί μέρους όρων. Ο πρώτος όρος είναι λύση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Δ1, ο δεύτερος μιας επίσης γραμμικής Δ2. Η δοσμένη εξίσωση κίνησης είναι λύση μιας γραμμικής διαφορικής Δ3. Η Δ3 προκύπτει από την πρόσθεση κατά αντίστοιχους όρους των Δ1 και Δ2 (προϋπόθεση για να ισχύει η αρχή της επάλληλίας).
Καλημέρα. Δείτε το άρθρο στη σελίδα 18 τεύχος 8(2000). και διεύθυνση :
http://www.ziti.gr/mag.html
Αθανάσιος Βαγενάς
Πολύ ωραίο το άρθρο του κ. Βαγενα!
Αν και θα μπορούσαμε να ονομάσουμε διακρότημα μια τέτοια κίνηση; Με ω1=6π και ω2=4π ; Χωρίς να αλλάζει η ουσία της λύσης.
Καλημέρα
Πολύ βιαστικό αυτό που έγραψα το πρωί. Επειδή ακριβώς δεν ισχύει – αρχικά λάθος υπέθεσα ότι ισχύει – στην περίπτωση μας η προϋπόθεση που έθεσα αμφισβητείται το επιστημονικά ορθό της δεύτερης λύσης.
Καλό μεσημέρι
Για να γίνω σαφέστερος δείτε αυτό
Χεχεχε!
Αν κατάλαβα καλά, ο Διονύσης πάει να μας "μπλέξει" με την περιβάλλουσα, και τι είναι πλάτος (πάλι μπροστά μας!). Τρέξτε την προσομοίωση του Ηλία Σιτσανλή για μεγάλες διαφορές συχνότητας ας πούμε 3:2 ή 2:1 και για μικρές συχνότητες και δείτε τις ωραίες ταλαντώσεις που παίρνουμε. Οσον αφορά τα μαθηματικά, τριγωνομετρικές ταυτότητες. Αλλά τι είναι "Πλάτος" εδώ; Και πού μηδενίζεται η ταχύτητα; Κ.α. κ.α. Ε;
Προσοχή
Παρακαλούμε τον κύριο που έχει ανέβει στην πλατφόρμα που ταλαντώνεται με εξίσωση x=-0,2ημ6πt … να κατέβει αμέσως γιατί υπάρχει κίνδυνος ατυχήματος
Όταν θα κατεβεί όχι μόνο θα ισορροπεί χωρίς προσπάθεια και δεν θα ζαλίζεται αλλά
θα είναι πιο εύκολο γι΄αυτόν να μελετήσει την κίνηση x=0,2ημ4πt που προσπαθεί να περιγράψει.
Ευχαριστούμε.
Θα επέλεγα τη δεύτερη λύση όπου η κίνηση αντιμετωπίζεται συνολικά. Η πρώτη λύση αφήνει παράθυρο για να γίνει παρανόησηαν ξεφύγει από τα χ’ερια “ειδικών”…
Η προσέγγιση του Μανόλη (Λ.) (κάντο pdf, Μανόλη, δεν μου βγαίνουν σωστά οι τύποι στο Libreoffice, παρακληση), έχει τρομερό ενδιαφέρον!
1) Συνδέει την εξαναγκασμένη ταλάντωση με μηδενική αποσβεση με την σύνθεση ταλαντώσεων, αυτό που επέμενε ο Θρασύβουλος εξαντλητικά. Εγώ το εισπράττω σαν η x1(t) να εξαναγκάζεται να ταλαντωθεί από την x2(t), όπως υπαινίχθηκε ο Δημήτρης Γκ., αυτό που συνήθως λέμε “εξαναγκασμένα διακροτήματα”. Με λίγα λόγια: Αντί να ψάχνουμε διακροτήματα στην εξαναγκασμένη, ψάχνουμε εξαναγκασμένη στο διακρότημα. (Γιατί επιμένετε στον όρο “διακρότημα”;)
2) Μας παραπέμπει έμμεσα στη διαμόρφωση πλάτους (AM), όπου έχουμε μεταβολή του πλάτους του φέροντος κύματος σύμφωνα με το κύμα που φέρει την πληροφορία (πληροφοριακό κύμα), όταν οι συχνότητες διαφέρουν σημαντικά, με τη λογική που ανάφερα παραπάνω. Και το οποίο αντιμετωπίζεται μαθηματικά με Μετασχηματισμό Fourier της σύνθετης ταλάντωσης (βλ. και παραπομπή).
Αν ερμηνεύω σωστά προθέσεις…
Στέργιο καλησπέρα
Έτσι όπως λες ότι το εισπράττεις είναι. Επιπρόσθετα η συγκεκριμένη κίνηση είναι αδύνατον να είναι ελεύθερη
Σε pdf
Σε docx
Στέργιο από πιο βιβλίο Σημάτων Συστημάτων είναι αυτά που αναφέρεις σχετικά το ΑΜ; Έχω ασχοληθεί με το θέμα γι' αυτό και η ερώτηση.
Δες εδώ Μανόλη.
Προς Δημήτρη Γκ.
Το αυγό έκανε την κότα ή η κότα το αυγό;
Αλυτο πρόβλημα!
Καλησπέρα
Δεν ξέρω τι είχε στο μυαλό του ο Διονύσης
αλλά η περίπτωση να κάνει σύγκριση με άλλη συζήτηση με κεντρίζει
α) γιατί η περιβάλλουσα δεν είναι εκθετική αλλά αρμονική.
β) γιατί υπάρχουν πολλές επίσης σειρές χρονικών σημείων με τις οποίες μπορώ να ορίσω διαφορετικές περιοδικότητες.
γ) γιατί υπάρχουν σημεία επαφής της περιβάλλουσας με την x(t) που είναι ακρότατες απομακρύνσεις αλλά και σημεία επαφής που δεν είναι ακρότατα της x(t)….
δ) γιατί οι μαθηματικές περιγραφές είναι ισοδύναμες και κατά την γνώμη μου εξίσου επικίνδυνες στη λάθος επεξεργασία αλλά και στην λάθος ερμηνεία … π.χ. στην ενεργειακή μελέτη
Όσο για την κότα Στέργιε.
Έστω χ χαρακτηριστικά που πρωτοεμφανίζονται κατά την διαδικασία της εξέλιξης σε κάποιο πληθυσμό πτηνών που δεν ήταν κότες αλλά τα χαρακτηριστικά αυτά πλέον χαρακτηρίζουν το νέο είδος κότα. Για να εμφανιστεί νέο είδος αυτές πρέπει να οφείλονται σε κληρονομούμενες μεταλλάξεις δηλαδή μεταλλάξεις στους γαμέτες ή στο ζυγωτό … άρα το ωόν ήταν ήδη κότα ενώ αυτή που το γέννησε όχι. Συμπέρασμα: το αυγό έκανε την κότα. Επιμένω σε αυτό.
Καλησπέρα
Τελικά όλο σφάλματα κάνω σήμερα. Από λάθος έγραψα ότι η επιστημονικότητα της δεύτερης λύσης αμφισβητείται ενώ εννοούσα ότι – και αυτό προσπάθησα να αποδείξω – "επιστημονικά" δε στέκει η πρώτη λύση αφού στην προκειμένη περίπτωση δε μπορεί να μιλάμε για εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας. Συγνώμη που σας μπέρδεψα. Συμφωνώ με το Θρασύβουλο.
Μανώλη καλησπέρα
ή έχω λάθος ( παρατηρητής ταλαντούμενος ) ή δεν κατάλαβα το κείμενό σου …
Μπορείς να εξηγήσεις λίγο αυτό με τις αρχικές συνθήκες … ίσως αυτό δεν κατάλαβα
Στέργιο καλησπέρα
Τελικά είναι από σημειώσεις. Είχες παρακολουθήσει κάτι σχετικό;
Το αρχείο που είπες το έβαλα και σε pgf. To είδες φαντάζομαι.
Δημήτρη καλησπέρα
Αν αυτό εννοείς
Οι αρχικές συνθήκες προκύπτουν θέτοντας σε κάθε περίπτωση t=0 στην εξίσωση της απομάκρυνσης και στην εξίσωση της ταχύτητας (πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο).
Εννοώ ότι η εξίσωση που δίνεται είναι η x(t)
Όσο για την δύναμη, ακόμα και στην κλασική φυσική δυο μη αδρανειακοί παρατηρητές βλέπουν άλλες δυνάμεις αλλά όχι διαφορετικές μετατοπίσεις . Η άσκηση του Διονύση δεν περιείχε ούτε πληροφορίες για δυναμική μελέτη ούτε για ενεργειακή, ούτε καν ερωτήματα σχετικά … Είναι μια άσκηση κινητικής.
Έχω την αίσθηση ότι απαιτούμε μια συγκεκριμένη δυναμική περιγραφή και μια συγκεκριμένη διαφορική ακόμα και εκεί που αυτή δεν είναι δεδομένη. Και μετά προβάλλουμε την μοναδικότητα της περιγραφής ως συμπέρασμα ενώ ετέθη αξιωματικά … για τον λόγο αυτό έκανα την παρατήρηση για ταλαντευόμενο παρατηρητή , μάλλον δεν μου το απαγορεύει η εκφώνηση.
Καλησπέρα σε όλους.
Στο ερώτημα του Διονύση δεν δίνεται η πληροφορία ότι δεν υπάρχει απόσβεση. Θα μπορούσε λοιπόν και να υπάρχει. Στην περίπτωση αυτή η αντιμετώπιση του Μανώλη νομίζω ότι θα είχε πρόβλημα ερμηνείας.
Η κίνηση που περιγράφεται από την δοσμένη εξίσωση θα μπορούσε να είναι το αποτέλεσμα (μετά την λήξη των μεταβατικών φαινομένων) της ταυτόχρονης δράσης πάνω σε γραμμικό ταλαντωτή (που δέχεται αντίσταση –bυ) δύο αρμονικών διεγερτών που ο καθ’ ένας μόνος του προκαλεί την αντίστοιχη επί μέρους αρμονική κίνηση.
Με βάση τα προηγούμενα δεν βλέπω να υπάρχουν δύο λύσεις. Απλώς στην πρώτη περίπτωση η παραγώγιση έγινε πριν την παραγοντοποίηση του αθροίσματος των ημιτόνων, ενώ στην δεύτερη έγινε επί πλέον δουλειά που δεν χρειαζόταν.
Δημήτρη αυτό που προσπάθησα να υποστηρίξω είναι ότι στην πρώτη λύση ο διαμερισμός της κίνησης στις δυο επί μέρους δεν είναι επιστημονικά ορθός. Για το σκοπό αυτό προσπάθησα να αποδείξω ότι δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Δεν έχω σκεφτεί αν μπορεί να υπάρξει μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς για το οποίο να ισχύει, εν προκειμένω, η αρχή της επαλληλίας, φαίνεται ενδιαφέρον.
Δημήτρη Β. καλησπέρα
Αυτό που προσπάθησα να αποδείξω είναι ότι δεν είναι “επιστημονικά” ορθό να διασπούμε την κίνηση σε δυο επί μέρους, όπως η πρώτη λύση λέει, αν δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Όπως λες έτσι και εργαστηριακά δημιουργούμε διακροτήματα, αλλά η αρχή της επαλληλίας ισχύει; Θα το ξανασκεφτώ. Ίσως αύριο το πρωί με καθαρότερο μυαλό.
Ναι,το είδα Μανόλη κι ευχαριστώ.
Αρχή της επαλληλίας όπως την παίρνουμε στη Φυσική, με τις δύο κινήσεις; Μα τα Μαθηματικά δεν μας εμποδίζουν, παραγώγιση του γραμμικού συνδυασμού. Είχε γίνει παλιότερα εκτενής συζήτηση, αν και δεν την βρήκα.
Η δυναμική προσέγγιση λέει, αν κατάλαβα καλά, οτι η μία είναι εξαναγκασμένη της άλλης. Το αυγό ή η κότα, η κότα λέει ο Δημήτρης Γκ., παίζει…
Δεν φαίνεται να έχει κάνει λάθος στα μαθηματικά ο Μανόλης. Από δύο ομογενείς καταλήγει σε δύο μία μη ομογενή. Η επίλυσή της πρέπει να οδηγήσει σε λύση ίδια με εκείνη μιας εξαναγκασμένης χωρίς απόσβεση. Ετσι φαντάζομαι.
Το πρόβλημα με την Ενέργεια. Κλασικό, αλλά μη εξαιρετέο.
Να ξεμπλέξουμε πρώτα χωρίς απόσβεση, Δημήτρη Β., αν βάλουμε και απόσβεση,…την κάτσαμε τη βάρκα 🙂
Εκεί που έμπλεξα πραγματικά με τις πράξεις είναι να βρω τα μέγιστα, ώστε να τα συγκρίνω με τα σημεία επαφής της περιβάλλουσας, αυτά που έβαλε σαν ιδέα ο Δημ. Γκ., καμιά ιδέα πλην της μέθόδου του “γιουρουσιού” στην τριγωνομετρική εξίσωση της ταχύτητας ευχάριστα δεκτή. Πρέπει να είναι τα σημεία όπου ισχύει υ1=-υ2 βέβαια. Ζαλάδα. Εκτός αν είναι μπροστά μου και δεν το βλέπω. Ασε, αύριο να έχουμε καθαρό μυαλό.
Πολύ το χαίρομαι, συσκεψη εν μέσω ζαλάδας 🙂
Μανόλη (για τις σημειώσεις που βρήκα),
Με στέλνεις 35 χρόνια πίσω! Ε, κάτι θυμάμαι. Κι εμείς από σημειώσεις διαβάζαμε, αν θυμάμαι καλά. Δεν προχώρησαν δηλαδή, τα πράγματα μετά τόσα χρόνια. Πάντως η εξισωση της διαμόρφωσης: x(t)=A[1+m(t)]cosωt, όπως θα ξέρεις, καλύπτει και την περίπτωση των διακροτημάτων για μεγάλη διαφορά συχνοτήτων φέροντος και φορέα (πληροφοριακού σήματος). Κάποτε είχα βρει μια άσκηση, που την είχε για απόδειξη, αλλά.. λέω, άσ’το να μην μπλέξω τα παιδιά.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Βλέπω ότι μάλλον μπέρδεψε η άσκηση, παρά ανάδειξε αυτό που είχα στο μυαλό μου, βάζοντάς σας να ψάχνετε, τι ήθελε να πει ο …ποιητής:-).
Λοιπόν μια απλή άσκηση κινητικής; κινηματικής; ήταν. To ‘πιασε ο Δημήτρης Γκενές!
Και δεν είχε σκοπό, ούτε να εξετασθεί η ισχύς της αρχής της επαλληλίας, ούτε η περιβάλλουσα, ούτε το πλάτος, ούτε τίποτα από όλα αυτά. Ζήτησα την ταχύτητα που δεν είναι τίποτα άλλο από μια παραγώγιση. Το είδε ο σωστά ο Δημήτρης Β. Και παραγώγιση ήταν και η πρώτη λύση, άσχετα αν δεν το είπα, αλλά χρησιμοποίησα την τεχνική της αρχής της επαλληλίας. Αφού ένας μαθητής της Γ Λυκείου δεν έχει την ικανότητα της παραγώγισης (τουλάχιστον την περίοδο που το διδάσκεται παραγωγίσεις, αλλά και όταν τις διδαχτεί στα μαθηματικά, πολύ δύσκολα μπορεί να την εφαρμόσει στη φυσική).
Ο Θρασύβουλος επίσης το έπιασε και απάντησε αυτό που περίμενα. Επέλεξε την 2η λύση.
Γιατί; Γιατί έχει περισσότερα μαθηματικά!
Και αυτό ήθελα να αναδείξω φίλοι μου.
Ότι οι περισσότεροι νομίζουμε. ότι αν δώσουμε μια λύση σε ένα πρόβλημα με δύσκολα μαθηματικά, η λύση αποκτά μια περισσότερη “επιστημονικότητα”. Όσο περισσότερα και δυσκολότερα μαθηματικά, τόσο καλύτερα…
ΥΓ.
Καλημέρα
Διακροτήματα έχουμε όπως σωστά λέει ο Δημήτρης Β. και στην περίπτωση που σε ένα σώμα που δέχεται ελαστικές δυνάμεις επαναφοράς και αποσβεστικές δυνάμεις ασκηθούν κατάλληλα δυο παραπλήσιας συχνότητας αρμονικές “εξωτερικές” δυνάμεις. Τότε διακροτήματα θα λάβουν χώρα μετά την εξάλειψη των μεταβατικών φαινομένων. Στην περίπτωση αυτή που σε αυτήν κυρίως αναφερόμαστε όταν μιλάμε για διακροτήματα ισχύει η αρχή της επαλληλίας.
Δείτε
Συνεχίζω, Διονύση, να πιστεύω ότι στη περίπτωση που αρχικά αναφέρθηκα δηλαδή στο σχηματισμό διακροτημάτων όταν δεν υφίσταται απόσβεση δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Θα το ξανασκεφτώ.
Καλημέρα Διονύση,
Φυσικά δεν πιστεύω να θύμωσες που σου “τεντώσαμε” την άσκηση αποδίδοντας σου “κακές προθέσεις”. Προσωπικά με παρέπεμψε σε θέματα που διδάσκουμε κατά σύμβαση και οικονομία, η σύνθεση ταλαντώσεων τέτοιου τύπου είναι πιο πολύπλοκη απ’ όσο λέμε στα παιδιά, το κρύβουμε συνήθως, για λόγους οικονομίας χρόνου και όχι μόνο.
Η διάσταση που έδωσε ο Μανόλης Λ. ζέστανε το θέμα, μαζί με την κωδικοποίηση των προβλημάτων του Δημ. Γκ., οπότε το γλυκό έδεσε με την προσθήκη και της απόσβεσης από το Δημήτρη Β. Οπότε, άντε να το συμμαζέψεις. Δεν ήθελε δα και πολύ… Είναι εξ άλλου παλιό το θέμα εδώ
Αναμένω εξελίξεις…
Προσωπικά έχω πρόβλημα με την ονοματολογία: Διακρότημα. Αναφερόμαστε σε ταλαντώσεις ή σε κύματα; Παραδοσιακά τα εξετάζουμε στις ταλαντώσεις, αλλά οι εφαρμογές αναφέρονται σε κύματα και συνήθως ακουστικά. Διδακτικά έχει κάποια προστιθέμενη αξία, αφού καταλαβαίνουν οι μαθητές οτι ο ήχος συνδέεται με την ταλάντωση, αλλά ποτέ πριν δεν τους έχουμε κάτι τέτοιο στη Γ’ Λυκείου, παρά μόνον στην άσκηση 1.36 για πρώτη φορά, αν βέβαια θεωρήσουμε οτι το Σχολικό μας Βιβλίο είναι ο μπούσουλας. Μη ξεχνάμε οτι ό,τι πιθανόν θυμούνται από κύματα είναι από το Γυμνάσιο. Οπότε διερωτώμαι μήπως κάποιοι το εισπράττουν λάθος, γίνεται ένας αχταρμάς στο κεφάλι τους, όπου κύματα με ταλαντώσεις χορεύουν δαιμονικά.
Ακόμη: Πρέπει να έχουμε παραπλήσιες συχνότητες ή όποιες να ‘ναι; Δεν μου πάει η καρδιά να πω διακρότημα τις τιμές της άσκησης. Επίσης η αγγλική βιβλιογραφία λέει “beats” και εννοεί κύματα και μάλιστα ακουστικά. Πολύ λίγοι λένε “beats” και παίρνουν εξίσωση κύματος, ο λόγος είναι βέβαια οτι είναι πολύ πιο δύσκολη. Αλήθεια, ποιός εφηύρε αυτή τη λέξη “διακρότημα”, που δε λέει τίποτα για την ουσία και το “κρότος” σε στέλνει αλλού; Οι πληροφορίες που δίνει η wikipedia σε στέλνει στη θεωρία της Μουσικής. Αν την ξέρεις αυτή τη θεωρία…
Καλημέρα Μανώλη
-Επαλληλία εξισώσεων κίνησης μπορούμε πάντα να θεωρήσουμε ότι έχουμε (αν βέβαια θέλουμε να δούμε επαλληλία και όχι ενιαία κίνηση.Αυτό είναι προσωπική διδακτική επιλογή του καθενός) σε μια εξίσωση κίνησης στην οποία υπάρχουν προσθετέοι που δεν μπορούν να”συγχωνευτούν” σε έναν
-Η εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση (δυνάμεις F=-Dx και Fδ=Foημωt ) είναι η μόνη περίπτωση εμφάνισης διακροτημάτων που έχει το σχολικό, έστω κι αν όχι μόνο δε του δίνει καμιά σημασία, αλλά το καταμπερδεύει με την εξαναγκασμένη με απόσβεση.
Θέλω να πω δηλαδή ότι η εμφάνιση διακροτήματος δε συνδέεται πάντα με απόσβεση.
Να είσαι καλά Μανώλη
Λες να θύμωνα Στέργιε!!!
Απλά εξήγησα τι σκεφτόμουν εγώ, όταν την ανέβαζα…
Καλημέρα Διονύση
Στέργιε ευτυχώς πέσαμε σε καλή περίπτωση γιατί … γιατί έγραψα πολλά … και όχι όλα σωστά.
Σχολιάστηκε από τον/την Διονύση Μάργαρη Πριν από 14 λεπτά
Να σου πω, Δημήτρη (Γκ.), εγώ κράτησα αυτά που κατάλαβα οτι είναι κοινά προβλήματα κατανόησης του φαινομένου. Και βέβαια δεν τα κατάλαβα όλα, αφού μου φαίνεται οτι πέσαμε σε αχαρτογράφητα (ακόμα) από μας νερά. Δήλον ότι (πωπω αρχαϊσμός!) δεν έχω δει και πολλούς να έχουν ψάξει το ζήτημα διεξοδικά κι ας μιλάνε οι μουσικοί, κι ας κουρδίζουν κιθάρες με διακροτήματα. Αν θέλουμε να ταξινομήσουμε τα προβλήματα είναι:
-Κινηματική μελέτη
-Δυναμική μελέτη
-Ενεργειακή μελέτη
Απ’ αυτά, όσα υπάρχουν βιβλιογραφικά και ξέρω, είναι το πρώτο και όχι πλήρες, πιο πέρα από μια υπέρθεση δεν υπάρχουν, αν και δεν έχω πλήρη εικόνα. Θέλει ψάξιμο. Εγώ πήγα να βρω τα μέγιστα και … έμπλεξα άσχημα, τι ζητάω, βρε παιδιά, πολλά ζητάω τις χρονικές στιγμές που οι ταχύτητες είναι αντίθετες; Πού να πάμε στ’ άλλα!
Υποψιάζομαι οτι το αυτί μας δεν πιάνει σαν διακροτήματα την υπέρθεση για μεγάλη διαφορά συχνοτήτων. Θα το δοκιμάσω με κανένα πρόγραμμα παραγωγής συχνοτήτων, αν και δεν έχω εμπιστοσύνη στα μεγάφωνα του υπολογιστή όσον αφορά την απόκρισή τους.
Καλησπέρα Στέργιε .
Δεν ξέρω για την γενική λύση αλλά στο παράδειγμα το Διονύση δεν υπάρχουν σημεία όπου το ημ5πt να γίνεται 1 και η ταχύτητα να γίνεται μηδέν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση καταλήγουμε σε σύστημα δυο εξισώσεων των οποίων η συναλήθευση δίνει αδύνατη Διοφαντική εξίσωση 10m=2k+1 … (προφανώς κανένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 10 δεν μπορεί να είναι και περιττός )
Πιο απλά στο συγκεκριμένο πρόβλημα δεν υπάρχουν σημεία επαφής της x(t) με την περιβάλλουσα που να είναι μηδενική η ταχύτητα … Γι’ αυτό έγραψα παραπάνω ότι δεν είναι σωστά όλα όσα έγραψα … τουλάχιστον για την συγκεκριμένη άσκηση
Καλησπέρα
Αυτό τον καιρό καταπιάνομαι με κάτι που έχει να κάνει και με την κίνηση του προβλήματος αυτού εδώ του Διονύση. Έτσι πίστεψα ότι ότι μου δόθηκε η ευκαιρία να αναφερθώ σε κάτι που μου φάνηκε σχετικό και σε σύμπνοια με αυτό που ο Διονύσης είχε κατά νου. Τελικά ο ποιητής άλλο ήθελε να πει. Όμως κατά τη γνώμη μου με τη συζήτηση αναδείχτηκαν κάποια θέματα προς συζήτηση. Το πρωί ξεκίνησα να γράφω κάτι επ’ αυτού με πολύ όρεξη αλλά δουλειές της καθημερινότητας με διέκοψαν.
Ο Στέργιος λέει ότι για τη συγκεκριμένη κίνηση
τα προβλήματα είναι:
-Κινηματική μελέτη
-Δυναμική μελέτη
-Ενεργειακή μελέτη
Σχολιάζοντας εδώ, από την αρχή, το ένα μου μάτι κοιτούσε προς την κινηματική και το άλλο προς τη δυναμική, γι’ αυτό έμπλεξα και την αρχή της επαλληλίας.
Θα επανέλθω για να πω κάποιες ιδέες πιο εμπεριστατωμένα. Τώρα τι αξία θα έχουν οι ιδέες αυτές … μακάρι να ήξερα. Για ένα είμαι σίγουρος ότι η συζήτηση εδώ στο ylikonet με ωφελεί.
Καλησπέρα παιδιά.
Μανώλη αυτός ακριβώς είναι ο ρόλος του δικτύου μας και η αξία που δίνει σε μια ανάρτηση.
Γράφει ο ένας κάτι, με βάση ένα σκεπτικό, δημιουργείται στον δεύτερο μια παραπέρα σκέψη, στον τρίτο ένας συνειρμός που οδηγεί σε άλλο δρόμο… Αλλά έτσι το θέμα εμπλουτίζεται αφενός και αφετέρου μπαίνουν πράγματα σε ανάλυση, που κανένας δεν τα είχε εξαρχής σκεφτεί.
Δημήτρη πολύ ωραίο το γράφημά σου, αλλά και η μελέτη σου που προκύπτει ότι ποτέ το μέγιστο της απομάκρυνσης δεν συμβαίνει στο μέγιστο της περιβάλλουσας.
Συνεπώς στο παράδειγμα αυτό αν κάποιος θελήσει να μιλήσει για “μέγιστο πλάτος” θα έχει κάνει λάθος…
Διονύση γεια,
Αστειευόμουν βέβαια, όταν έλεγα οτι θύμωσες προηγουμένως. Αν το παρακάνω καμιά φορά, μη με παρεξηγείς, απλώς θέλω να το ελαφρύνω λίγο.
Η διάσταση που θέλησα να δώσω με την περιβάλλουσα και τα μέγιστα μου ήλθε από τη δική μου απορία από πολύ καιρό, σε συνδυασμό με όσα είχαν προηγηθεί στην φθίνουσα. Γενικά οι περιβάλλουσες το έχουν αυτό το κακό 😉 Αν θυμάστε είχα ρωτήσει αρχικά, ποιό είναι το πλάτος εδώ. Πλάτος το σχολικό (και γενικά) ορίζουν στα διακροτήματα τα σημεία επαφής της περιβάλλουσας και λένε οτι οτι είναι 2Ασυν[(ω1-ω2).t/2)]. Καλά λέει ο Δημήτρης Γκ. οτι δεν υπάρχει σημείο επαφής πάνω στη μέγιστη απομάκρυνση, άρα…ποιό είναι το πλάτος; Υπάρχει; Δεν υπάρχει; Δεν έχει νόημα η ερώτηση; Δεν ξέρω αν σας λέει κάτι το θέμα, αλλά έχω την αίσθηση οτι είναι ακριβώς το ίδιο ζήτημα, και χειρότερα με τις φθίνουσες Εκεί είχαμε ένα σημείο επαφής που απείχε σταθερά χρονικά από την μέγιστη απομάκρυνση. Χειρότερα, γιατί πρέπει να αναζητήσεις σε ποιές περιπτώσεις έχεις σύμπτωση μεγίστης απομάκρυνσης και σημείου επαφής, που καμιά φορά είναι πολύ μακριά μεταξύ τους. Μόνο στην περίπτωση που λέμε κλασικά διακρότημα με ω1 περίπου = ω2 έχει νόημα η ερώτηση. Γιαυτό και έχω ένσταση με τον όρο “διακρότημα” εδώ.
Η δυναμική διάσταση του Μανόλη και του Δημήτρη Β. “απλώνει πιο πολύ τον τραχανά” οπότε πρέπει να συμφωνήσουμε να δούμε τις δυνάμεις.
Σ’ αυτήν ο Μανόλης λέει οτι είναι εξαναγκασμένη, και το αποδεικνύει. Εξαναγκασμένη ποιού από ποιόν; Γιατί έχει μια συμμετρία στη διαφορική αν εναλλάξουμε ω1 με το ω2. Αυγό και κότα.
Στο Ενεργειακό ζήτημα, η συνήθης πρόταση είναι οτι η συμπεριφορά είναι τέτοια γιατί συμμετέχουν περισσότερα από δύο σώματα, όπως μάλλον συμβαίνει στην σύνθεση δύο ταλαντώσεων γενικά. Το ίδιο μπορεί να πει κανείς και για τη δυναμική μελέτη.
Στέργιο καλησπέρα
Επειδή έθεσες το θέμα σχετικά με το μέγιστο πλάτος στα διακροτήματα, δες εδώ http://ylikonet.gr/group/phys-math/forum/topics/3647795:Topic:89934 κάτι που είχα γράψει παλαιότερα, τότε που “πήγαινα” σχολείο – θέλω να πω πριν συνταξιοδοτηθώ.
Να διατυπώσω μια άποψη εδώ, μεταξύ μας τώρα Στέργιε και Μανώλη, που δεν μας διαβάζει και ο Θρασύβουλος να μας παρεξηγήσει:-)
Αν οι συχνότητες είναι μεγάλες!!! ας πούμε 10.000Ηz και 10.010Hz το σφάλμα που γίνεται τόσο όσον αφορά την περίοδο, όσο και το πλάτος, είναι πολύ μικρό…
Οπότε δεν είναι ανάγκη να ψάξουμε να δούμε αν η μέγιστη απομάκρυνση είναι η στιγμή που η περιβάλλουσα έχει μέγιστο. Συνεπώς το να λέμε ότι το μέγιστο πλάτος είναι 2Α είναι μια πάρα πολύ καλή προσέγγιση και για τις ανάγκες της διδασκαλίας μας στην Γ΄Λυκείου, δεν νομίζω ότι δημιουργεί κανένα πρόβλημα.
Όπως λέει και ο Μανώλης στην παλιότερη ανάρτησή του, τα άλλα είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα…
Σ’ ευχαριστώ Μανόλη, δεν το είχα δει τότε (“πάλευα” με άλλα το 2011), αλλά είναι μια αφετηρία. Εκείνο που κατάλαβα είναι οτι η μέθοδος του “γιουρουσιού” στην γενική εξίσωση τριγωνομετρική εξίσωση δεν θα μου βγάλει σπουδαία γενικά αποτελέσματα. Εκείνο που επιχείρησα είναι να λύσω γενικά ως προς t την εξίσωση μεγίστου είτε μηδενίζοντας την παράγωγο της x(t), είτε λύνοντας την υ1(t)=-υ2(t), αλλά μου προκύπτουν τέρατα. Στις μερικές περιπτώσεις κάτι γίνεται. Εκείνο που έψαχνα είναι το αντίστροφο, να βρεθούν οι χρονικές στιγμές (αν υπάρχουν) που έχουμε μεγιστο, και η σύγκριση τους (χρονική διαφορά, που όμως θα εξαρτάται κι αυτή από το χρόνο) με τα σημεία επαφής της περιβάλλουσας. Αν έχει καμιά αξία αυτό, αφού η χρονική διαφορά μεταβάλλεται με το χρόνο, εφόσον υπάρχει. Απλά, να δείξουμε την καταχρηστική χρήση της έννοιας του πλάτους, αν και ένα σχήμα σε μερική περίπτωση σε συγκεκριμένα ω το δείχνει αμέσως. Οπότε, ποιό “Πλάτος”;
Ας αρκεστώ σ’ αυτό που μας δίνεις προς το παρόν. Ή να χρησιμοποιηθεί σαν αφετηρία τουλάχιστον. Ας πούμε, επίλυση της |συν [(ω1-ω2).t/2.ημ[(ω1+ω2).t/2]|=1 ως προς t. Είναι εξίσου δύσκολη με τις δικές μου, εκτός αν κάποιος έχει υπομονή να διακρίνει όλες τις περιπτώσεις. Α, μπα, δεν έχω (προς το παρόν…).
Καλησπέρα Στέργιο
Δες και αυτό αλλά δεν είμαι σίγουρος .
Διονύση, δίκιο έχεις,
Αλλά, μια και μπήκε το θέμα, και δεν μας ακούει ο Θρασύβουλος 😉 :-), να το δούμε. Εχει όμως πολλούς σκελετούς η ντουλάπα, και δεν βγήκαν όλοι. Ε, ναι! Φυσικά δεν λες ποτέ τέτοια στα παιδιά. Είναι παραμύθια για μεγάλους 🙂 και μάλιστα θερινής νυκτός υπό το αστερόεν στερέωμα, Αν και εδώ μας έριξε τη χειρότερη μπόρα του έτους σήμερα.
Χεχεχε,να που βγαίνουν σκελετοί από τη ντουλάπα 🙂
Ευχαριστώ Δημήτρη. Μπορείς να το στείλεις και σε pdf παρακαλώ, μήπως και δεν τα βλέπω καλά στο Libreoffice.
Κοίτα τι λες, όπως το βλέπω: n=(2k+1)β/(2.α), όπου k, n=ακέραιοι. Δηλαδή 2nα=(2k+1)β.
Αρα μια άρτια πολλαπλάσια ημιδιαφορά συχνοτήτων πρέπει να είναι ίση με ένα περιττό πολλαπλάσιο ημιάθροισμα συχνοτήτων. Αν δεν έκανα κανένα λάθος στις πράξεις, πρέπει να βγαίνει οτι ο λόγος των συχνοτήτων είναι:
ω1/ω2=[2(n+k)+1]/[2(n-k)-1]
δηλαδή λόγος δύο περιττών, όχι όμως τυχαίων, αλλά με συγκεκριμένες τιμές για διάφορα n και k . (Με [2(n-k)-1] θετικό).
Καθόλου κακό αποτέλεσμα!
Δεν βλέπω πού μπορεί να είναι το δικό σου λάθος.
Καλό μεσημέρι
Επανέρχομαι συνοψίζοντας.
Στην παρούσα συζήτηση
Ο Θανάσης Βαγενάς μας παρέπεμψε σε ένα ενδιαφέρον άρθρο του με τίτλο “Επαλληλία σε γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα”. Εγώ με έναν τρόπο που αρχικά με ενθουσίασε νόμισα ότι απέδειξα τη μη ισχύ της επαλληλίας στο συγκεκριμένο πρόβλημα του Διονύση Μάργαρη. Διατύπωσα μια διαφορική εξίσωση η λύση της οποίας κάτω από συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες οδηγούσε στην υπό μελέτη κίνηση. Ο Δημήτρης Γκενές διαπίστωσε ότι κάτι δεν πήγαινε καλά με όσα έλεγα. Ο Διονύσης Μάργαρης, ο Θρασύβουλος Μαχαίρας και ο Δημήτρης Β. επεσήμαναν ότι έκανα λάθος. Η αρχή της επαλληλίας ισχύει. Η διαφορική εξίσωση που βρήκα και ήταν σωστή ήταν γραμμική και ως εκ τούτου η αρχή της επαλληλίας δεν καταστρατηγούνταν. Ακόμη κάτι στο οποίο δεν είχα δώσει προσοχή: Η ‘φοβερή” αυτή διαφορική που διατύπωσα περιέγραφε μόνο μια δυνατότητα (ο Θρασύβουλος είχε αναφερθεί παλαιότερα στη δυνατότητα αυτή παραγωγής της συγκεκριμένης κίνησης που περιγράφει η διαφορική που μου προέκυψε). Ο Δημήτρης Β. αναφέρθηκε και σε έναν άλλο ρεαλιστικό τρόπο παραγωγής της συγκεκριμένης κίνησης. Μίλησε για τον τρόπο παραγωγής διακροτημάτων στο εργαστήριο – ένα αγαπημένο μου πείραμα που στην παρούσα συζήτηση ούτε καν είχε περάσει από το μυαλό μου. Επίσης ο Δημήτρης Β. αναφέρθηκε και στα μεταβατικά φαινόμενα που υφίστανται αρχικά στη συγκεκριμένη περίπτωση τα οποία ποτέ δε με είχαν απασχολήσει. Ο Στέργιος Ναστόπουλος που συμμετείχε ενεργά στη συζήτηση έδωσε μια διάσταση στο θέμα που αν και ο τρόπος με τον οποίο επιχειρηματολογούσα κινιόταν στη διάσταση αυτή δεν το είχα αντιληφθεί. Ο Στέργιος έθεσε το θέμα της δυναμικής μελέτης των διακροτημάτων.
Τελικά, παρέα με τα λάθη μου, οδηγήθηκα στην ανάρτηση http://ylikonet.gr/profiles/blogs/3647795:BlogPost:260420
Την ξαναείδα τη συζήτηση. Ήταν από τις πολύ καλές.