Πιστεύω ότι η σχέση είναι ακριβής. Θα πρότεινα μια απόδειξη μέσω ροής.
Είναι πολύ απλή και με το στυλ που σου αρέσει, αλλά και εντελώς λυκειακά.
Έπειτα, χρησιμοποιώντας συμμετρία και τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, δείχνουμε ότι οι δυνάμεις είναι ίδιες με αυτές μεταξύ υλικών σημείων. Τότε και η δυναμική ενέργεια υπακούει στον ίδιο τύπο.
Για σένα η ροή είναι τρεις σειρές το πολύ. Τα άλλα είναι υποτυπώδη και η σχέση βγαίνει ακριβώς.
Δεν είναι έτσι Γιάννη. Το ζήτημα είναι λίγο περίπλοκο. Έφαγα το χθεσινό απόγευμα για να καταλήξω ότι η έλξη δεν είναι όπως νομίζουμε. Ετοιμάζω την απόδειξη.
Μια μαθηματική απόδειξη περικλείει τον κίνδυνο ενός αδιόρατου λάθους που αποδεικνύει κάτι όχι ορθόν.
Θυμήσου τα παιγνίδια όπου δείχναμε ότι 2=1 ή ότι μια οξεία γωνία ισούται με μια ορθή.
Θεωρώ ότι η παραπάνω απόδειξη είναι σωστή. Ποιο λάθος κάνει;
Αν η δύναμη μεταξύ σφαίρας και υλικού σημείου είναι η προαναφερθείσα, τότε υποχρεωτικά και η δύναμη μεταξύ δύο σφαιρών είναι η ίδια. Το αντίθετο οδηγεί σε παράλογο συμπέρασμα.
Αν όμως η δύναμη είναι ίδια με την περίπτωση δύο υλικών σημείων τότε είναι και η δυναμική ενέργεια ίδιου “φυράματος”.
Ένας απλός συλλογισμός ελέγχεται, ενώ μια πολυπλοκότερη μαθηματική πορεία δυσκολότερα.
Γιάννη δεν κάνεις λάθος. Εγώ είχα κάνει λάθος και το διόρθωσα. Συγκεκριμένα μέχρι τον όρο τέταρτης τάξης ως προς l/R ισχύει ότι η U είναι αντίστροφα ανάλογη του R και ανάλογη του m. Χθες βράδυ είχα υπολογίσει λάθος τον όρο τέταρτης τάξης και νόμισα ότι έκανα ανακάλυψη.
Συμφωνώ με τον υπολογισμό που μου έστειλες στο συνημμένο και έκανα έναν “πιο στρωτό” που επισυνάπτω. Περιέλαβα και μια μέθοδο ανάπτυξης σε πολυώνυμα Legendre για όσους τυχόν ενδιαφέρονται (ίσως τους θυμήσω τα παλιά).
Γιάννη, αν μπορείς έλα την Πέμπτη 16/2 στο ΕΚΦΕ Ν. Ιωνίας, Δεμιρδεσίου 126. Θα κάνω εισήγηση με θέμα “Ο Arduino στο εργαστήριο ΦΕ”. Ώρα 11:30. Θα δείξω και δυο ωραία πειράματα.
by 
Καλημέρα Νίκο και συγχαρητήρια.
Πιστεύω ότι η σχέση είναι ακριβής. Θα πρότεινα μια απόδειξη μέσω ροής.
Είναι πολύ απλή και με το στυλ που σου αρέσει, αλλά και εντελώς λυκειακά.
Έπειτα, χρησιμοποιώντας συμμετρία και τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, δείχνουμε ότι οι δυνάμεις είναι ίδιες με αυτές μεταξύ υλικών σημείων. Τότε και η δυναμική ενέργεια υπακούει στον ίδιο τύπο.
Για σένα η ροή είναι τρεις σειρές το πολύ. Τα άλλα είναι υποτυπώδη και η σχέση βγαίνει ακριβώς.
Μια προσέγγιση εδώ:
Από κεκτημένη ταχύτητα έγραψα “φορτίο” αντί για μάζα.
Όμως με καταλαβαίνεις και ας μην διορθώσω.
Δεν είναι έτσι Γιάννη. Το ζήτημα είναι λίγο περίπλοκο. Έφαγα το χθεσινό απόγευμα για να καταλήξω ότι η έλξη δεν είναι όπως νομίζουμε. Ετοιμάζω την απόδειξη.
Καλημέρα Νίκο.
Σε ποιο σημείο κάνω λάθος;
Μια μαθηματική απόδειξη περικλείει τον κίνδυνο ενός αδιόρατου λάθους που αποδεικνύει κάτι όχι ορθόν.
Θυμήσου τα παιγνίδια όπου δείχναμε ότι 2=1 ή ότι μια οξεία γωνία ισούται με μια ορθή.
Θεωρώ ότι η παραπάνω απόδειξη είναι σωστή. Ποιο λάθος κάνει;
Αν η δύναμη μεταξύ σφαίρας και υλικού σημείου είναι η προαναφερθείσα, τότε υποχρεωτικά και η δύναμη μεταξύ δύο σφαιρών είναι η ίδια. Το αντίθετο οδηγεί σε παράλογο συμπέρασμα.
Αν όμως η δύναμη είναι ίδια με την περίπτωση δύο υλικών σημείων τότε είναι και η δυναμική ενέργεια ίδιου “φυράματος”.
Ένας απλός συλλογισμός ελέγχεται, ενώ μια πολυπλοκότερη μαθηματική πορεία δυσκολότερα.
Μία άλλη απόδειξη που υπάρχει.
Αυτή ποιο λάθος κάνει;
Πως καταλήγουν ακριβώς στο ίδιο συμπέρασμα δύο τόσο διαφορετικές αποδείξεις;
Μήπως είναι και οι δύο σωστές;
Αν είναι σωστές, τότε οιαδήποτε απόδειξη καταλήγει σε διαφορετικό συμπέρασμα είναι λανθασμένη.
Αν είναι λανθασμένες, τότε η απόδειξη θα μπορούσε να είναι σωστή.
Τελικά είναι λανθασμένες;;
Αν ναι ποιο λάθος κάνει η πρώτη και ποιο η δεύτερη.
Νίκο οι Halliday και Resnick, στην απόδειξη της παραγράφου 16-6, αποδεικνύουν ακριβώς το ίδιο.
Λανθασμένη και η δική τους απόδειξη;
Γιάννη δεν κάνεις λάθος. Εγώ είχα κάνει λάθος και το διόρθωσα. Συγκεκριμένα μέχρι τον όρο τέταρτης τάξης ως προς l/R ισχύει ότι η U είναι αντίστροφα ανάλογη του R και ανάλογη του m. Χθες βράδυ είχα υπολογίσει λάθος τον όρο τέταρτης τάξης και νόμισα ότι έκανα ανακάλυψη.
Συμφωνώ με τον υπολογισμό που μου έστειλες στο συνημμένο και έκανα έναν “πιο στρωτό” που επισυνάπτω. Περιέλαβα και μια μέθοδο ανάπτυξης σε πολυώνυμα Legendre για όσους τυχόν ενδιαφέρονται (ίσως τους θυμήσω τα παλιά).
https://www.dropbox.com/s/c60wm7gs9k1ixzg/%CE%A3%CF%86%CE%B1%CE%B9%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82%20%CE%AD%CE%BB%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82.pdf?dl=0
Ωραίο και κομψό.
Τα έχω ξεχάσει εντελώς τα πολυώνυμα Λεζάντρ.
Έχω ξεχάσει και πόσο ήμουν τότε. Μάλλον 20-21 χρόνων.
Μα, αν κατάλαβες, τα γράφω όλα αυτά για να θυμηθούμε τα νιάτα μας.
Νίκο καλά κάνεις και καλά τα χειρίζεσαι.
Μακάρι να μπορούσα να κάνω το ίδιο.
Έχουν περάσει σχεδόν 40 χρόνια από τότε που ήμουν τριτοετής.
Γιάννη, αν μπορείς έλα την Πέμπτη 16/2 στο ΕΚΦΕ Ν. Ιωνίας, Δεμιρδεσίου 126. Θα κάνω εισήγηση με θέμα “Ο Arduino στο εργαστήριο ΦΕ”. Ώρα 11:30. Θα δείξω και δυο ωραία πειράματα.
Νίκο θα ήθελα πολύ να ακούσω αλλά η Πέμπτη είναι η μέρα με το βαρύτερο πρόγραμμα για μένα.
Από τις 9 ως τις 2.15.
Καλή επιτυχία πάντως.
Ένα από τα πειράματα που θα δείξω είναι αυτό:
https://youtu.be/or4PCCJbjkM