by 
Ένας τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο.
Σε ένα αβαθές αυλάκι είναι τυλιγμένο μη εκτατό νήμα το οποίο έχει περαστεί κατάλληλα από δύο μικρές τροχαλίες. Στην άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένο ένα σώμα Σ.
Κάποια χρονική στιγμή το νήμα ΑΓ σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Γ. Την στιγμή αυτή η ταχύτητα του κέντρου του τροχού είναι υ1.
Α) Την ίδια στιγμή η ταχύτητα υ2 του σώματος Σ είναι:
Β) Αν την στιγμή αυτή η επιτάχυνση του κέντρου του τροχού είναι a1 πόση είναι η επιτάχυνση του σώματος Σ;
Γιάννη κατάλαβα τι εννοείς.
Εχθές που δούλευα το πρόβλημα, πριν παρουσιάσω την φυσική λύση του 1ου ερωτήματος έκανα τον εξής έλεγχο:
Θεώρησα ότι ο τροχός μόνο μεταφέρεται. Υπολόγισα τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το μήκος του κόκκινου σπάγκου, το άκρο του οποίου είναι κολλημένο στο αριστερό άκρο του τροχού.
Ο ρυθμός αυτός είναι η προβολή της ταχύτητας του κέντρου στην διεύθυνση του νήματος.
Εάν η ανάλυση ήταν σωστή (πιστεύω ότι) θα ήταν σωστή και αν ο κύλινδρος δεν στρεφόταν.
Το σημείο επαφής (σύμφωνα με την παρούσα ανάλυση) θα είχε ταχύτητα μόνο αυτήν του κέντρου του δίσκου.
Είναι όμως έτσι;
Προσομοίωση.
Βλέπουμε την άποψη του παρατηρητή επί του δίσκου. Αυτός βλέπει το σημείο επαφής να στρέφεται ανθωρολογιακά.
Προφανώς δεν το βλέπει να έχει μηδενική ως προς αυτόν ταχύτητα.
Βαγγέλη ακόμα και αν μόνο μεταφέρεται η γωνία φ αλλάζει.
Το ευθύγραμμο τμήμα έχει μείωση μήκους κατά υ1.ημ(β+γ).dt= υ1.(συνθ).dt (στο σχήμα σου δες).
Το καμπύλο τμήμα του σπάγκου ξεδιπλώνεται κατά R.dφ.
Έτσι όταν έχουμε μόνο μεταφορική κίνηση το σώμα κατεβαίνει κατά υ1.(συνθ).dt+R.dφ και όχι κατά υ1.(συνθ).dt.
Όταν κυλίεται απλώς προσθέτουμε στην κάθοδο τον όρο υ1.dt.
Γιάννη, αυτό τον σύνδεσμο θα βρεις μια αναλυτική δουλειά, παρόμοια με αυτή για την επιτάχυνση, για την ταχύτητα του σώματος.
Μάλλον οι ταχύτητες δεν έχουν πρόβλημα.
Καλό βράδυ
Καλό βράδυ Βαγγέλη.
Αν σφηνωθεί κάτι στο μυαλό μου, δεν ησυχάζω αν δεν δώσω απάντηση!
Δείτε μια πιο ολοκληρωμένη λύση , στο τέλος της πρώτης λύσης, με τίτλο
ΚΑΤΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ!
Οταν το νημα είναι πλαγιο
Βαγγέλη και σε όλους τους υπόλοιπους καλημέρα
Απο χθες παρακολουθώ το θέμα και θέλω να σχολιάσω.
Αρχικά μπράβο για την ανάδειξη του θέματος. Φαίνεται απλό αλλά στα απλά την πατάμε. Θεωρώ ότι χρήζει προσοχή διότι μπορεί να το συγχέουμε με το παράδειγμα που αναφέρω παρακάτω.
Για την ταχύτητα Οκ δεν τίθεται δυσκολία. Στην επιτάχυνση θέλει προσοχή εξαιτίας της μεταβολής της γωνίας φ. Η αλήθεια αρχικά είναι ότι θα έβγαζα λύση ανάλογη της ταχύτητας. Επιπλέον χάθηκα λίγο με όλους τους τρόπους παραπάνω. Γι΄αυτό πήρα τη σχέση της ταχύτητας και την παραγώγισα όπως η διαδιακασία του Προδόμου σε αυτό που ονομάζει κάτι συμπληρωματικό. Θεωρώ ότι η διαδικασία αυτή είναι πιο τετριμμένη.
Συμπέρασμα: όπως αναφέρεται παραπάνω προσοχή στην επιτάχυνση. Εδώ η δυσκολία είναι η αλλαγή της γωνίας φ. Αν δεν άλλαζε η γωνία φ τότε θα υπήρχε η αναλογία της επιτάχυνσης και της ταχύτητας. Για παράδειγμα στο επόμενο σχήμα τραβάμε με το χέρι μας ένα νήμα υπο γωνία διατηρώντας την κατεύθυνση σταθερή.
Αφερίμ Χρήστο! Τα είπες όλα, μπράβο! Πολύ εύστοχο και το παράδειγμά σου, απ'όπου διαφαίνεται ότι ''όταν ΔΕΝ αλλάζει η διεύθυνση του νήματος, που συμβαίνει σε πολλά προβλήματα που κυκλοφορούν, τότε δεν έχουμε πρόβλημα.
Καλημέρα παιδιά.
Αν όμως με σταθερή διεύθυνση είναι έτσι, θα είναι και με μεταβλητή διεύθυνση έτσι;;
Δεν το πιστεύω.
Η οδός της προσομοίωσης είναι ίσως αναγκαία.
Καλημέρα συνάδελφοι και φίλοι.
Αισθάνομαι την ανάγκη να σας ευχαριστήσω όλους διότι με τις παρεμβάσεις και τα σχόλια συμβάλατε ώστε να ξεκαθαρίσω ένα θόλο ( για εμένα τοπίο). Το κείμενο που ακολουθεί νομίζω ότι ξεκαθαρίζει πλήρως την κατάσταση.
Θα τροποποιήσω το αρχικό κείμενο ώστε να περιλαμβάνει την τελική (σχεδόν λυκειακή ) μορφή της λύσης.
Βαγγέλη καλημέρα.
Πριν συνεχίσουμε ρίξε μια ματιά στο θέμα ΕΔΩ.
Είμαι σχεδόν σίγουρος αλλά …. Δες το λίγο.
Γιάννη καλημέρα.
Δεν κατάλαβα την παραπομπή.
Βαγγέλη δεν έχει σχέση με το θέμα το παρόν.
Θέλω να δεις το θέμα με το άδειασμα του δοχείου.
Είναι ο χρόνος ο προτεινόμενος από την εκφώνηση;
Το λύνω αριθμητικά (περίπου) αλλά θέλω να σιγουρευτώ.
Θα επανέλθω στο παρόν θέμα.
OK Θα το δω
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Μία προσομοίωση.
Φαίνεται σ' αυτήν ότι από 6s ως 10s πέφτει το κρεμασμένο σώμα κατά 2,04m, ενώ προβλέπεις (εμβαδόν) 2,34m.
Από 7s ως 8s πέφτει κατά 0,52m και προβλέπεις (πάλι με με εμβαδόν) 0,6m.
Ο δίσκος έχει ακτίνα 1m και κινείται χωρίς ολίσθηση με σταθερή ταχύτητα 0,5m/s.
Το νήμα έχει αρχικό μήκος 7,659m.
Με κοντύτερο νήμα θα είχαμε μεγαλύτερες διαφορές.
Το κίτρινο σώμα που φαίνεται να πετάει "έχει διαταχθεί" να κατεβαίνει τόσο όσο κονταίνει το νήμα συν όσο νήμα ξετυλίγεται.
Οι μετρήσεις με καλή ακρίβεια (200).