by 
Εαν έχουμε μία παραβολή y = f (x) που τέμνει τον άξονα x ′ x… τότε, είναι γνωστό οτι οι λύσεις της
εξίσωσης y = 0 δίνουν τα σημεία (x) εκείνα, στα οποία η παραβολή κόβει τον άξονα x ′ x. Εαν όμως δεν
κόβει τον άξονα x ′ x, τότε μαθαίνουμε κάποια στιγμή, οτι οι λύσεις της εξίσωσης y = 0 είναι μιγαδικές…
Δηλαδή, έχουν ένα πραγματικό και ένα φανταστικό μέρος…
Πώς παριστάνονται όμως οι λύσεις αυτές;
Η απάντηση εδώ:
Εντυπωσιακή!!
Μακάρι να τα κατάφερνα στο τρισδιάστατο geogebra.
Εκεί θα φαινόταν τέλεια το σχήμα και οι μιγαδικές λύσεις.
Σ ευχαριστώ Γιάννη,
Το σχήμα θέλει σίγουρα βελτίωση και το έβγαλα με δοκιμές σε LaTeX αλλα ούτε εγώ είμαι ευχαριστημένος από το σχήμα…
Απλώς έχω κανει κι εχω συζητήσει τη σκέψη μου εδω και λιγες μέρες κι ήθελα να τη μοιραστώ…
Μια χαρά είναι το σχήμα.
Άλλο λέω. Με τρεις μεταβολείς (α,β,γ) θα βλέπαμε ακριβώς τις λύσεις.
Λ.χ. (2,12+i.3,4) και την συζυγή της.
Ναι… εχεις δίκιο… ήθελα απλώς να τονίσω τη σκέψη και τη λύση του γενικού προβλήματος και δεν τύπωσα συγκεκριμένα νούμερα αλλά έκανα απλώς την απόδειξη και έδειξα την ιδέα…
Την άδεια την έβαλα βιαστηκά και είναι "μη παράγωγο έργο" όχι για να μη χρησιμοποιηθει αλλού η ιδέα μου αλλά για να κάνουμε ισως αρχικά εδώ μιά συζήτηση για το αν βρισκει διδακτικες εφαρμογες στο λυκειο πχ ή να συζητήσουμε τυχων φιλοσοφικές επεκτάσεις της σκέψης αυτής οσον αφορά το τι πραγματικά είναι ο φανταστικος και ο μιγαδικος αριθμος (το οποίο ήταν και το εναυσμα για τη "μελέτη" μου).
Σε λίγες μέρες θα αλλάξω την άδεια να μπορεί να το χρησιμοποιήσει όποιος θέλει χωρις τον περιορισμο "μη παραγωγο εργο" που αχριστευει την εφαρμογη μιας ιδεας….
Η δικη μου "φιλοσοφική" σκεψη ηταν πως εστω πχ πηδαμε να πιασουμε το ταβάνι και στην ομαλα μεταβαλλόμενη αυτή κίνηση αναζητάμε το χρόνο… Αν τελικά δε μπορέσουμε να το πιάσουμε… το φανταστικό μέρος της μιγαδικής μας λύσης θα είναι εκείνος ο "φανταστικός χρόνος" όπου στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς μας, θα αντιστρεφόταν η βαρύτητα… ή θα γινόταν αρνητική η μαζα κλπ και θα το πιάναμε μετα!
Εξαιρετικό!!
Σ ευχαριστώ Μανώλη,
χαίρομαι που σου άρεσε…
Γιάννη καλησπέρα…
Πρόσθεσα στο άρθρο μιά νεα έκδοση με την αναπαράσταση συγκεκριμένου παραδείγματος όπως μου ζήτησες…
Πολύ όμορφο σχήμα!
Δίνεις ένα περιεχόμενο ολίγον φιλοσοφικό στους μιγαδικούς που δεν έχω σκεφτεί.
Τους βλέπω κάπως ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων εναλλασσομένων και ταλαντώσεων ή σημάτων.
Θα μπορούσε κάποιος να επεκταθεί σε κυματοσυναρτήσεις.
Φυσικά δεν είναι μόνο αυτό. Πρέπει να έχουν και επεκτάσεις που δεν σκέφτομαι.
Καλησπέρα Γιάννη,
ναι… έδωσα ένα περιεχόμενο που σχετίζεται με τη λέξη "φανταστικός"… από εκεί εμπνε'υστηκα.
Εξάλλου η πραγματικότητα πολλές φορες ξεπερνάει τη φαντασια κι εκει ίσως υπάρχει κάποιο "ζουμι"…
Πάντως άν και δεν είναι καμιά τόσο δύσκολη σύλληψη η αρχική μου σκέψη έχω την αίσθηση οτι μπορεί να επεκταθεί και να γενικευτεί ωστε να φωτίσει σε κάποιο βαθμό την έννοια του φανταστικού και επομένως του μιγαδικού αριθμού που τόσο συχνά εμφανίζεται σε προβλήματα φυσικής.
Πιστεύω πως ειναι μια εργασία που άν γραφτεί λιγάκι προσεκτικά και μεταφραστεί στα αγγλικά, έχει να δώσει πράγματα στους μαθηματικους και τους φυσικούς. Δεν είναι δύσκολο στη σύλληψη αλλά δεν χρησιμοποιείται μεχρι σήμερα και νομίζω πως θα άξιζε να ασχοληθούμε λιγακι με επεκτάσεις κλπ. Καταλαβαίνω πως είναι "δυσκολοι καιροι" λογω εξετάσεων κλπ… αλλά όλοι μας είχαμε πανω κατω τις αποριες του: Τί είναι ο φανταστικός αριθμος?… Πως συμβολίζεται?… Τί παριστάνει?… κλπ
Εγώ ψάχνω ένα τρόπο να δημοσιευσω την εργασία σε κάποιο επιστημονικό περιοδικό ή εστω φόρουμ διεθνούς αναγνώρησης. (Ισως και να μεγαλοποιάνομαι βεβαια… αλλά νομιζω αξίζει κατι… Ίσως κάποτε εισάγονται με τέτοιο τρόπο οι μιγαδικοί…)
Μου κάνει εντύπωση που δεν την πήραν χαμπαρι αρκετοι συνάδελφοι γιατι φωτίζει σκοτεινά σημεία χωρίς
να είναι δύσκολο να την παρακολουθήσει οποιοσδηποτε απο εμας… (βέβαια δε σκεφτηκα να πατησω το κουμπι που στέλνει email στα μέλη… κι έτσι πολλοί δεν θα το εχουν δει…)
Πάντως είμαι ανοιχτος στο να συνεργαστώ με οποιονδήποτε θελει να δημοσιευσουμε μαζι την εργασια καπου που να αναγνωριστει… και θα προτεινα να ασχοληθουν λιγακι οι συναδελφοι γιατι σίγουρα κάτι θα βγεί απο τη συζήτηση κι ισως να αξίζει (ειτε στην κατανοηση των μιγαδικών είτε στον τρόπο που τους διδάσκουμε)
ΥΓ: Ελπίζω να μην ακούγεται σαν να το εχω παρει πανω μου… Αλλά νιώθω σαν παιδί που ανακαλύπτει απο την αρχη τους φανταστικούς αριθμους!
Μολις πριν λίγο έψαξα στο google για "parabola and complex solutions" και βρήκα κάμποσα άρθρα σαν το δικό μου. Μέσα σ αυτές βρήκα και αυτήν http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1034&context=mathmidexppap που φαίνεται να ακολουθεί την ίδια πορεια και φαινεται να ειναι απο το 2007…
🙁
Τέλοσπάντων… θα αλλάξω την άδεια σύντομα (πειτε πως εχει αλλάξει κιολας) και απλως δηλώνω οτι δεν είχα ιδεα οτι υπάρχει ήδη (αν και έπρεπε να το φανταστω με βάση το πόσο απλή ήταν η πορεια της σκέψης μου)
Η άδεια άλλαξε…
(Άντε… και σ' ανώτερα μου ευχομαι! λολ. Παντως μη φανταστει κανεις πως εκλεψα την ιδεα… Ήταν καθαρα δική μου… απλώς έπρεπε να υποψιαστώ πως υπάρχει ήδη κάτι τέτοιο δημοσιευμένο και να μην καθομαι να μεταφραζω στ Αγγλικά σα μα…μούχαλος όλο το βράδυ)
ΥΓ: Ζητώ συγνώμη σε όσους πιθανον έτυχε να ψαξουν και να βρούν οτι δεν είναι κατι καινούριο η όλη ιδεα… γιατι σίγουρα θα αισθανθηκαν άσχημα στο να απαντήσουν… Πάντως θα εκτιμουσα αν καποιος που έτυχε να το δει μου το έλεγε κιόλας… Θα έβγαινα απο πολυ κόπο…
Καλημέρα Κωστή.
Μου άρεσε ιδιαίτερα η ιδέα, η οποία δίνει μια καλή εποπτεία των μιγαδικών λύσεων. Ανεξάρτητα από το αν έχει ήδη γραφτεί κάτι παρόμοιο, νομίζω ότι πρέπει να χαίρεσαι την 'ανακάλυψή' σου. Άλλωστε στην ιστορία της επιστήμης έχουμε δει πολλά περιστατικά ταυτόχρονων και ανεξάρτητων ανακαλύψεων (ενδεικτικά Boyle και Mariotte ή Newton και Leibniz). Επομένως μην πτοείσαι…
Σ ευχαριστω Αποστόλη για τα καλα σου λόγια…
Χαίρομαι που σου αρεσε…. Εμένα με εντυπωσίασε η ιδέα του τι προκύπτει… και δε σκέφτηκα να κοιτάξω αν το έχει κάνει κι άλλος…
Είχα την αίσθηση πως θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε να διδάσκουμε έτσι τους μιγαδικούς αν προχωρούσαμε λιγάκι τη σκέψη… Αλλά δεν ξέρω αν προχωράει και πολύ παρακάτω…
Τέλος πάντων… σ ευχαριστώ και πάλι για το σχολιασμό.