by 
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου (μιας χορδής), το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ο παλμός του διπλανού σχήματος με ταχύτητα υ.
i) Για τις ταχύτητες στη διεύθυνση y των σημείων Α και Β ισχύει:
α) uΑ < uΒ, β) uΑ = uΒ, γ) uΑ > uΒ.
ii) Για το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β ισχύει:
α) uΒ < υ, β) uΒ=υ, γ) uΒ > υ.
iii) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Α, Β, Γ και Δ.
iv) Να εξετασθεί αν μπορεί να υπάρξει διάδοση των παρακάτω παλμών, κατά μήκος μιας χορδής.
Δίνεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε μικρές εγκάρσιες απομακρύνσεις στη διεύθυνση y, με αποτέλεσμα να ισχύει η διαφορική εξίσωση του κύματος.
ή
Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό
Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό
Καλημέρα σε όλους τους φίλους, που μπορεί να μην ξεκουράζονται μακριά από το web και συνεχίζουν να μας διαβάζουν
Μια μικρή συνέχεια στα κύματα…
Διονύση καλημέρα και σ΄ ευχαριστούμε που μας βάζεις προβλήματα για να μας κρατάς ξύπνιους! Αλλά εγώ διαφωνώ για τα τελικά σου συμπεράσματα για τον ΠΑΛΜΟ Α και τον ΠΑΛΜΟ Β. Στον μεν ΠΑΛΜΟ Α η επιτάχυνση θα είναι όντως άπειρη στο τελικό σημείο εκτός αν αυτό δεν ήταν κορυφή γωνίας. Αν βάλεις μια καμπυλότητα στην κορυφή η επιτάχυνση θα γινόταν μεγάλη αλλά όχι άπειρη.
Στον ΠΑΛΜΟ Β προκύπτει πρώτη παράγωγος αρνητική και δεύτερη θετική. Ισχυρίζεσαι λοιπόν ότι δεν μπορεί η ταχύτητα να είναι αρνητική, δηλαδή το σημείο να κινείται προς τα κάτω, και η επιτάχυνση θετική. Αλλά εγώ δεν βλέπω πρόβλημα. Μην ξεχνάς ότι ο παλμός κινείται προς τα δεξιά. Αν κινούταν αντίθετα θα υπήρχε πρόβλημα γιατί τότε ένα αρχικά ακίνητο σημείο μετά από λίγο χρόνο θα έπρεπε να ήταν κάτω από τον άξονα αφού η ταχύτητα βγαίνει αρνητική. Και αφού θα αποκτούσε αρνητική ταχύτητα θα έπρεπε και η επιτάχυνση να είναι αρνητική, αλλά είναι θετική.
Καλημέρα Διονύση
Δεν παίζεσαι … όχι μόνο συνεχίζεις εκεί όπου όλοι έχουν σταματήσει …
αλλά παραμένεις ευρηματικότατος
δεν τα είχα σκεφτεί όλα αυτά …
Όντως μια μικρή καμπύλη στηνουρά του Α παλμού θα το έσωζε ( με τον ίδιο τρόπο που σώζεις και τη μορφή του μετώπου του Α παλμού … οι περιγραφές μας οφείλουν να σέβονται την … "συνέχεια" … )
Αλλά και στον Β παλμό η ασυνέχεια στο Κ είναι αδύνατη … δεν μπορεί ξεκινώντας με μηδενική κατακόρυφη ταχύτητα να αποκτά ακαριαία ταυτόχρονα θετική επιτάχυνση και αρνητική ταχύτητα όποιος και αν είναι ο ρυθμός μεταβολής της επιτάχυνσης και κάθε τάξης παράγωγος αυτής …
Να σαι καλά.
Καλό μεσημέρι παιδιά. Νίκο και Μήτσο σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε και εν μέσω καύσωνος!!! γράψατε και σχόλιο…
Νίκο, καθώς ο ίδιος έχεις δηλώσει, εγώ είμαι της «σχεδιαστικής σχολής» και συ του «ορθού δρόμου» τουτέστιν της μαθηματικής οδού!
Επειδή το προηγούμενο διάστημα είχαμε μπλέξει με τις δυναμικές ενέργειες, που όπως και να το κάνεις, μια μεταφυσική διάσταση την έχουν!!! σκέφτηκα να τις αφήσω στην άκρη και να κάνω ένα περίπατο, στον «ορθό δρόμο», όπου θα σε συναντούσα περιδιαβαίνοντα και σε αρμονικό βηματισμό, μαζί μου!!!
Αλλά φευ!!! Ούτε στον δρόμο αυτό μπορέσαμε να συμφωνήσουμε και δεν μπορώ να καταλάβω το γιατί; Πού διαφωνείς αλήθεια;
Διαφωνείς στην …λίγη μαθηματική θεωρία που έβαλα ή στα φυσικά συμπεράσματα που κατέληξα; Διαφωνείς στις πληροφορίες που μας δίνει η διαφορική;
Απέδειξα την εξίσωση:
Τι λέει; Ότι η εγκάρσια ταχύτητα στην διεύθυνση y, η u=θy/θt είναι ανάλογη της κλίσης!
Αν αυτό είναι σωστό, τότε τι δείχνει η κλίση της καμπύλης στο σημείο Γ, στο παρακάτω στιγμιότυπο του παλμού Α;
Μας δείχνει την ταχύτητα και όχι την επιτάχυνση. Αν δε, ένα σημείο της χορδής φτάνει στην οριζόντια θέση ισορροπίας του με «κάποια» ταχύτητα και αυτομάτως ακινητοποιείται, αυτό σημαίνει απειρισμός στην επιτάχυνση. Καμπυλότητα η καμπύλη έχει, αλλά είναι αρνητική (τα κοίλα κάτω) πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει επιτάχυνση προς τα κάτω, η οποία αυξάνει την ταχύτητα u. Το πρόβλημα είναι ότι θα έπρεπε να έχει θετική καμπυλότητα, όπως είχε ο αρχικός παλμός που έδωσα.
Γράφεις εξάλλου:
«Στον ΠΑΛΜΟ Β προκύπτει πρώτη παράγωγος αρνητική και δεύτερη θετική. Ισχυρίζεσαι λοιπόν ότι δεν μπορεί η ταχύτητα να είναι αρνητική, δηλαδή το σημείο να κινείται προς τα κάτω, και η επιτάχυνση θετική. Αλλά εγώ δεν βλέπω πρόβλημα. Μην ξεχνάς ότι ο παλμός κινείται προς τα δεξιά.»
Τι σημαίνει δεν βλέπεις πρόβλημα; Ο παλμός κινείται προς τα δεξιά και παίρνουμε ένα σημείο στη θέση Κ. Έχει ταχύτητα u=0. Θα αποκτήσει επιτάχυνση και αν ναι, με ποια κατεύθυνση;
Δέχεσαι ότι η επιτάχυνση που θα αποκτήσει θα είναι θετική; Αν αποκτήσει θετική επιτάχυνση δεν θα αποκτήσει και θετική ταχύτητα; Δηλαδή δεν θα κινηθεί προς μεγαλύτερα y; Δεν θα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας;
Πώς μπορεί ένα τέτοιο σημείο να κινηθεί προς τα κάτω, έχοντας επιτάχυνση προς τα πάνω;
Εκτός και αν μου πεις ότι η επιτάχυνση δεν είναι θετική… αλλά τότε αμφισβητείς τη διαφορική εξίσωση του κύματος, πράγμα που δεν φαντάζομαι ότι κάνεις.
Μήτσο γράφεις: "δεν τα είχα σκεφτεί όλα αυτά …"
Ούτε εγώ τα είχα σκεφτεί….
Αν κάποιος με ρωτούσε πριν λίγο καιρό, το σημείο Α ή το σημείο Β έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, στον παλμό
η εύκολη απάντηση που, μάλλον θα έδινα, είναι ότι το Α έχει μεγαλύτερη ταχύτητα!
Ο Διονύσης Μητρόπουλος το είπε πρόσφατα ως:
"Είναι εντυπωσιακό πόσο βαθειά είναι ριζωμένες μερικές αντιλήψεις!"
Έχοντας μάθει να δουλεύουμε τα αρμονικά κύματα, "ξέρουμε" ότι όσο πιο μικρό το y τόσο μεγαλύτερη η ταχύτητα u, χωρίς να το ψάχνουμε στις κλίσεις…
Η ενασχόλησή μου κατά τη διάρκεια της προσπάθειας να γράψω την ανάρτηση:
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.
με οδήγησε σε ατραπούς και σε ιδέες που δεν είχα ξαναασχοληθεί… Μερικές από αυτές προσπάθησα να αναδείξω.
Γειά σου Διονύση.
Έγινε μια παρεξήγηση που οφείλεται στο γεγονός ότι έγραψες:
Παλμός Β: Εδώ τα πράγματα είναι ακόμη χειρότερα! Τα σημεία ξεκινούν με μηδενική ταχύτητα αποκτώντας επιτάχυνση με φορά προς τα πάνω, ενώ αποκτούν ταχύτητα προς τα κάτω!!!
Αυτό με οδήγησε να υποθέσω ότι αυτά τα σημεία τα οποία ξεκινούν με μηδενική ταχύτητα είναι αυτά που βρίσκονται αριστερά του παλμού. Τώρα προσανατολίστικα και κατάλαβα τι θες να πεις. Ότι δεν μπορεί να υπάρχουν παλμοί που να φέρουν γωνίες.
Ας πάρουμε την κορυφή Μ στον παλμό Α. Αν ήθελες να αποφύγεις την κοφτή γωνία θα έκανες ένα μικρό στρογγύλεμα. Αυτό το στρογγύλεμα παρουσιάζει πολύ μεγάλη κυρτότητα. Κυρτότητα σημαίνει θετική επιτάχυνση. Πολύ μεγάλη θετική επιτάχυνση σημαίνει ότι πεπερασμένη αρνητική ταχύτητα μηδενίζεται σχεδόν ακαριαία. Με την κορυφή Κ στον παλμό Β συμβαίνει το αντίθετο. Αν τη στρογγυλέψεις το στρογγύλεμα παρουσιάζει πολύ μεγάλη κοιλότητα. Δηλαδή πολύ μεγάλη αρνητική επιτάχυνση. Το σημείο που λίγο πριν ήταν ακίνητο, σχεδόν ακαριαία αποκτά μεγάλη αρνητική ταχύτητα. Το υπόλοιπο τμήμα της καμπύλης μέχρι το ίσιωμα είναι κυρτό, η επιτάχυνση θετική, η ταχύτητα αυξάνεται αλλά, επειδή στο Κ είχε ήδη αρκετά μεγάλη αρνητική τιμή, παραμένει να έχει αρνητική τιμή μέχρι να μηδενιστεί στο τέλος του παλμού.
Γεια σου και πάλι Νίκο. Ας δούμε το σχήμα (βλέπεις είμαι σταθερά …. της σχεδιαστικής σχολής
)
Όπου πάνω είναι το στιγμιότυπο του Β παλμού. Αν αντί της πάνω μορφής που έδωσα, έδινα την κάτω, όπου είχαμε σημείο καμπής το Λ, δεν θα υπήρχε πρόβλημα και ο παλμός μπορούσε να υπάρχει. Ένα σημείο θα επιταχυνόταν προς τα κάτω από το Κ μέχρι να Λ και μετά θα επιβραδυνόταν μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του για y=0.
Το πρόβλημα Διονύση το δημιούργησες επειδή θεώρησες ότι η ταχύτητα στο Κ είναι 0. Δηλαδή στην πραγματικότητα μας παραπλάνησες. Στο Κ συναντώνται δυο κομμάτια με διαφορετικές κλίσεις, υπάρχουν επομένως δυο ταχύτητες ταυτόχρονα. Και επειδή κανένα σημείο δεν έχει δύο ταχύτητες ταυτόχρονα, δεν ορίζεται ταχύτητα στο Κ. Σε όσους αρέσει να παίζουν με το άπειρο, λένε ότι εκείνη τη στιγμή το σώμα απέκτησε άπειρη επιτάχυνση και βρέθηκε από ταχύτητα 0 σε πεπερασμένη ταχύτητα σε χρόνο 0. Αλλά στους φυσικούς της μαθηματικής σχολής δεν αρέσουν αυτά και λένε: η καμπύλη δεν είναι κλάσεως C2 γιατί έχει ανωμαλία στο Κ.
Αφού έφερες προς συζήτηση αυτόν τον παλμό είναι ευκαιρία να σου θέσω το εξής πρόβλημα: το σημείο στο Κ, σαν σημείο, έχει μηδενική μάζα. Για να αποκτήση άπειρη επιτάχυνση η συνισταμένη δύναμη είναι πεπερασμένη. Ποιές είναι οι ασκούμενες δυνάμεις και ποιά η συνισταμένη;
Δεν παραπλάνησα κανέναν Νίκο.
Έδωσα ένα παλμό που ΔΕΝ μπορεί να υπάρχει!!!!
Αν εσύ για να δικαιολογήσεις γιατί δεν υπάρχει επικαλείσαι το α ή το β, είναι δική σου επιλογή
Όσον αφορά το ερώτημά σου, τι να απαντήσω; Όταν μιλάμε για σημείο, αυτό είναι μαθηματικό σημείο.
Δικαιούται να έχει ταχύτητα, επιτάχυνση χωρίς καμιά σύνδεση με 2ο νόμο του Νεύτωνα…
Μπορεί να είναι έτσι όπως τα λες. Σας απώτερο στόχο όμως είχα να εξετάσουμε πως συνδέεται η κινηματική των δονούμενων χορδών με τη δυναμική. Έριξες μια ματιά εδώ;
Γεια σου και από εδώ Νίκο. Σου απάντησα δίπλα.
Όσον αφορά τη σύνδεση που λες, νομίζω καθορίζεται από τη διαφορική εξίσωση του κύματος.
Τι άλλο είναι αυτή παρά μια "δυναμική" εξίσωση;
Αν έχεις διαβάσει το παράθεμα του Ανδρέα, εκεί ο Fowler προσδιορίζει την προβολή της απειροστής συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο στοιχείο και την βγάζει ανάλογη της δεύτερης παραγώγου του y ως προς x. Για να εφαρμόσουμε σωστά τον δεύτερο νόμο του Νευτωνα δεν πρέπει να θεωρήσουμε ότι η δύναμη είναι κατά τον y άξονα, αλλά να την αφήσουμε ελεύθερη. Η τελική εξίσωση δεν είναι η κυματική αλλά μια άλλη της οποίας η κυματική είναι προσέγγιση πρώτης τάξης.
Καλημέρα Νίκο.
Μάλλον έχεις δίκιο ότι η διαφορική εξίσωση που διδάσκεται, αναφέρεται στο πρότυπο και δεν καλύπτει όλες τις περιπτώσεις.
Αναφέρεται στο πρότυπο και …μέχρι εκεί!
Για παράδειγμα στην κορυφή ενός αρμονικού κύματος η πρώτη παράγωγος θy/θx είναι μηδενική, άρα και η 2η! Αλλά τότε και η επιτάχυνση είναι μηδενική… πράγμα όχι σωστό