by 
Μου τον έστειλε μέλος μας που δείλιαζε να τον θέσει ο ίδιος!
ΓΡΙΦΟΣ: Αθλητές παρατάσσονται σε N στήλες και M γραμμές. Από κάθε στήλη διαλέγουμε τον ψηλότερο και από αυτούς επιλέγουμε τον πιο κοντό, τον οποίο ονομάζουμε A. Από κάθε γραμμή πάλι (στην αρχική παράταξη) διαλέγουμε τον κοντότερο και από αυτούς τον πιο ψηλό, τον οποίο ονομάζουμε B.Ποιά σχέση ύψους υπάρχει ανάμεσα στο A και στο B;
Καλημέρα παιδιά.
Γιάννη ο Νίκος απέδειξε ήδη ότι ο Α δεν μπορεί να είναι κοντύτερος από τον Β.
Δηλαδή αποκλείεται Α<Β.
Νίκο δεν πρόκειται για πρακτικό πρόβλημα. Θα μπορούσαμε να μιλάμε για χαρτάκια που γράφουν ένα νούμερο το καθένα.
Θα μπορούσαμε να έχουμε βάλει στον πίνακα φασόλια. Έτσι τα (2,3) και το (10,5) κουτάκια θα περιείχαν ίδιο αριθμό φασολιών.
Εκεί δεν τίθεται θέμα ακρίβειας στην μέτρηση. Το χαρτάκι γράφει 2 ή δεν γράφει. Τα φασόλια είναι 7 ή δεν είναι.
Η ουσία όμως του γρίφου είναι ακριβώς η ίδια.
Σε προηγούμενο σχόλιο έστειλα πίνακα στον οποίο όλα τα ύψη διαφέρουν. Δεν υπάρχουν δύο άτομα με ίδιο ύψος.
Στον πίνακα αυτόν ο Α και ο Β ταυτίζονται. Εν τέλει ανήκουν και στην ίδια γραμμή και στην ίδια στήλη.
Αυτό είναι γενικό;
Δηλαδή ο κοντύτερος ψηλός είναι το ίδιο πρόσωπο με τον ψηλότερο κοντό, ή υπάρχουν περιπτώσεις πινάκων όπου Α>Β;
Καλημέρα Διονύση.
Είναι φανερό το ότι ισχύει αυτό που λες. Ο Νίκος έδωσε απόδειξη.
Όμως σε παραδείγματα έδειξα ότι μπορεί να έχουν το ίδιο ύψος.
Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα:
1. Να έχουν σε κάθε περίπτωση το ίδιο ύψος.
2. Να υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες Α>Β.
Γνωρίζω την απάντηση αλλά δεν μιλώ.
Αν ο Νίκος δεν είχε δώσει την απόδειξη που έδωσε δεν θα μιλούσα, για να παίξουν και οι άλλοι φίλοι.
Ο γρίφος ζητάει τον στενότερο περιορισμό.
Αυτός είναι Α μικρότερο ή ίσο του Β.
ή
Α ίσο Β.
Το δεύτερο ενδεχόμενο περιέχεται στο πρώτο. Είναι "στενότερο" ενδεχόμενο από αυτό.
Ποιο είναι το στενότερο ενδεχόμενο;
Εμένα με ταλαιπώρησε ο γρίφος.
Καλημέρα.
Εγώ έδειξα ότι Α>Β και δέχομαι και το ενδεχόμενο Α=Β το οποίο μπορεί να ισχύει σε δυο περιπτώσεις: στην περίπτωση που υπάρχει ισουψία και στην περίπτωση που ο Α και ο Β είναι το ίδιο άτομο. Το ισχυρότερο ενδεχόμενο είναι το Α>Β. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα:
1η γραμμή: 2, 9.
2η γραμμή: 7, 3
οι ψηλότεροι των δυο στηλών είναι οι 7 και 9. Ο κοντότερος από αυτούς (ο Α) είναι ο 7.
οι κοντότεροι των δυο γραμμών είναι οι 3 και 2. Ο ψηλότερος από αυτούς (ο Β) είναι ο 3.
Άρα Α>Β.
Τώρα η απόδειξή σου είναι πλήρης.
Αρχικά έδειξες ότι ο Β δεν μπορεί να είναι ψηλότερος του Α.
Αν ισχυρισθεί κάποιος ότι σε κάθε περίπτωση Α=Β, έχεις ένα αντιπαράδειγμα που καταρρίπτει το "κάθε".
Επομένως Α>=Β.
Περίπτωση κατά την οποία Α=Β έχουμε όταν οι ψηλότεροι μπούνε στην ίδια γραμμή ή όταν οι κοντύτεροι μπούνε στην ίδια στήλη.
Αυτό όποιος και αν είναι ο πίνακας.
Μια περίπτωση κατά την οποία Α>Β έχουμε όταν οι ψηλοί ή οι κοντοί μπουν στην διαγώνιο, εφ' όσον ο πίνακας είναι τετραγωνικός.
Τότε το σύνολο των ψηλών και το σύνολο των κοντών δεν έχουν κοινό στοιχείο.
Γενικά αν τα δύο σύνολα έχουν κοινά στοιχεία, αυτά θα είναι ισοϋψή άτομα.
Γιάννη γράφεις:
Μια περίπτωση κατά την οποία Α>Β έχουμε όταν οι ψηλοί ή οι κοντοί μπουν στην διαγώνιο, εφ' όσον ο πίνακας είναι τετραγωνικός.
Δεν συμφωνώ εγώ με αυτό. Παρακάτω έχω μια διάταξη όπου οι ψηλοί κάθε στήλης είναι στην κύρια διαγώνιο:
9 2 7
1 6 5
3 4 8
ο κοντότερος από τους ψηλούς των στηλών είναι ο 6 ενώ ο ψηλότερος από τους κοντούς των γραμμών είναι ο 3. Δεν βλέπω να ταυτίζονται.
Ναι, έχεις δίκιο.
Έκανα λάθος όταν σου είπα ότι έχεις δίκιο.
Έγραψα:
Μια περίπτωση κατά την οποία Α>Β έχουμε όταν οι ψηλοί ή οι κοντοί μπουν στην διαγώνιο, εφ' όσον ο πίνακας είναι τετραγωνικός.
Σωστό είναι αυτό. ο Α είναι ο 6 και ο Β ο 3. Φυσικά 6>3.
Είπα ότι Α=Β σε πολλές περιπτώσεις. Μία από αυτές είναι οι ψηλοί να μπουν στην ίδια γραμμή.
Μια άλλη να μπουν οι κοντοί στην ίδια στήλη.
Η "διαγώνιος" δεν είναι περίπτωση ισότητας.
Ναι, σωστά, τα μπέρδεψα.