by 
Με αφορμή ένα ερώτημα που μου έθεσε ο συνάδελφος Κωστής από την Κύπρο.
Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος l0 και έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Α, ενώ στο άλλο το άκρο έχει προσδεθεί μια σφαίρα. Όταν η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο κατακόρυφο, προκαλεί επιμήκυνση του ελατηρίου κατά y1. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα σε οριζόντιο επίπεδο, οπότε διαγράφει κύκλο κέντρου Ο, ενώ ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη.
- Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σε συνάρτηση με τη γωνία θ.
- Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα διαγράφοντας με τον παραπάνω τρόπο κάποια οριζόντια κυκλική τροχιά.
- Ποιο ακριβώς είναι το φυσικό περιεχόμενο της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας;
ή
 |
Κυκλική κίνηση και συντονισμός; |
Διάβασα τις συνοπτικές απαντήσεις που έστειλε ο Παντελής. δεν διαφωνώ με το εκρήγνυται αλλά προτιμώ άλλη περιγραφή.
Δηλαδή κάποιος κρατάει το σώμα να μη φύγει και όλο το σύστημα περιστρέφεται όπως θέλουμε. Γιατί όχι με 2ωο.
Αφού το κρατάω, ουδείς εκρήγνυται. Κάποια στιγμή το αφήνω. Τι θα συμβεί;
Αυτό που λέω είναι ότι θα διαγράφει συνεχώς σπειροειδή τροχιά. Μέχρι να καταστραφεί.
Στην θεωρητική περίπτωση της μη καταστροφής του θα διαγράφει επ' άπειρον σπείρα με ολοένα αυξανόμενη κινητική ενέργεια.'
Ενέργεια που του προσφέρει ο μηχανισμός περιστροφής.
Αν ουδείς το κρατάει θα φτάσουμε την ωο και φυσικά θα την αυξήσουμε άνετα. Τότε θα αρχίσει να διαγράφει σπείρα.
Αυτό εννοεί λέγοντας "έκρηξη";
Αν (θεωρητικά) δεν καταστρέφεται το ελατήριο σπείρα θα έχουμε και όχι έκρηξη.
Όπως στον συντονισμό χωρίς απόσβεση έχουμε συνεχή αύξηση του πλάτους (η δεύτερη από τις εικόνες που έστειλα) και όχι κάποια καταστροφή. Εκτός αν λέγοντας "έκρηξη" εννοούν "σπείρα".
Σπείρα-σπείρα λοιπόν (Κραουνάκης).
Καλημέρα παιδιά.
Νομίζω ότι το θέμα της ΕΕΦ που ανέβασε ο Παντελής, είναι μια ευκολότερη παραλλαγή του ίδιου προβλήματος, οπότε για να μην "χανόμαστε" με γωνίες, ας αφήσουμε το αρχικό πρόβλημα και ας εστιάσουμε στην παραλλαγή.
Δίνει η λύση:
Ας ξεχάσουμε το "εκρήγνυται" και ας φύγουμε από το άπειρο μήκος. (Το εκρήγνυται είναι σε εισαγωγικά, το σύστημα φτάνει στα όριά του και καταστρέφεται με την έννοια ότι δεν έχει νόημα η μελέτη του αφού η μαθηματική περιγραφή του σταματά…)
Ας δούμε τι βγάζουμε. Όσο μεγαλώνει η γωνιακή ταχύτητα, πρέπει να αυξάνει και το μήκος του ελατηρίου. Πού οδηγεί η κατάσταση αυτή; Υπάρχει ένα άνω φράγμα, ένα όριο που είναι η γωνιακή ιδιοσυχνότητα της ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ. Μιας ταλάντωσης που δεν υπάρχει στο πρόβλημα…
Αυτό είναι το ερώτημα που θέτω. Γιατί να είναι το ωο αυτό και όχι το 0,8ωο;
Γιάννη, το έκανα 0,8ωο, μήπως και πάψεις να ασχολείσαι με μεγαλύτερες γωνιακές ταχύτητες και με θηριώδεις φυγόκεντρες!!!
Δεν με απασχολεί τι γίνεται για τις μεγαλύτερες τιμές, αφού το σύστημα φτάνει στο άπειρον, προφανώς το "πεδίον ορισμού" στο οποίο τρέχει το σύστημα, δεν περιέχει τιμές μεγαλύτερες…
Γράφεις Γιάννη:
"Όμως εμείς βάζουμε ότι ω θέλουμε. Μηχανάκι έχουμε."
Όχι Γιάννη, δεν έχουμε μηχανάκι και δεν βάζουμε όποια θέλουμε…
Ας απαντήσουμε το συγκεκριμένο θέμα που βάζω με ω μικρότερο και αφού το απαντήσουμε, τότε…
Βάλε και όποια άλλη τιμή ω θέλεις…
Καλημέρα.
Να γράψω μία σκέψη: το πρόβλημα απαιτεί να υπάρχει κυκλική κίνηση, και δε γράφει ανασηκώνω το σώμα, επιμηκύνοντας το ελατήριο κατά τυχαία παραμόρφωση και εκτοξεύω οπότε μπορεί να συμβεί οτιδήποτε. Πιστεύω δηλαδή ότι αυτό είναι διαφορετικό πρόβλημα.
Καλημέρα Νίκο.
Συμφωνώ. Έχουμε ως δεδομένο την κυκλική κίνηση. Δεν μελετάμε τι θα κάνει η σφαίρα αν αποκτήσει μια αρχική γωνιακή ταχύτητα…
Καλημέρα παιδιά.
Έχω ήδη γράψει την απάντηση.
Αν ω<ωο τότε υπάρχει θέση τέτοια ώστε m.ω.ω.x < k.Δl (x = lo + Δl)
Αυτό σημαίνει πως υπάρχει ακτίνα κυκλικής τροχιάς x ,στην οποία η δύναμη του ελατηρίου θα είναι η απαραίτητη κεντρομόλος δύναμη.
Θα περάσει κάποιος χρόνος για να σταθεροποιηθεί σ' αυτήν. Τούτο διότι:
Η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του περιστρέφοντος μηχανισμού είναι ταχύτερη από την κίνηση του σώματος που δεμένο στο ελατήριο, αναζητά την θέση αυτήν.
Επίσης πρέπει να δράσουν οι αποσβέσεις ώστε να εξαφανισθεί η κυμάτωση και να σταθεροποιηθεί στην κυκλική αυτήν τροχιά.
Όταν όμως ω>ωο τότε m.ω.ω.x > k.Δl για κάθε x. Έτσι δεν υπάρχει x ώστε να καταστεί ακτίνα κάποιας κυκλικής τροχιάς.
Τότε τι γίνεται;
Δεν μας ενδιαφέρει;
Πετάμε ένα "εκρήγνυται" και καθαρίσαμε;
Δεν μας απασχολεί η κίνηση;
Έστω δεν μας απασχολεί. Γιατί ωο και όχι 0,8ωο;
Διότι τότε υπάρχει τέτοια θέση. Ποια είναι;
0,8ωο.(lo +Δl)= ωο.Δl=>0,2Δl=0,8.lo=>Δl=4lo.
Δηλαδή η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι ακριβώς 5lo.
Αυτά αν έχουμε οριζόντιο ελατήριο.
Αν έχουμε την περίπτωση της ανάρτησης την αντιμετωπίζουμε όπως έγραψα στην αρχή της συζήτησης.
Ας πάρουμε οιανδήποτε περίπτωση. Λ.χ. την ω = 0,9999ωο.
Κάνοντας την ίδια πορεία θα βρούμε ένα x (lo + Δl) που θα είναι η ακτίνα του κύκλου.
Αυτά όμως τα έχω γράψει σε προηγούμενα σχόλια.
Καλημέρα σε όλους. Μια σκέψη που στηρίζεται στο σχόλιο του Χρήστου στο τέλος της άσκησής του εδώ. Μέσω του χεριού ασκείται μεταβλητή περιοδική δύναμη. Όταν ω=ω0 το σύστημα συντονίζεται
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Αποστόλη.
Γιάννη μάλλον δεν διάβασες την προηγούμενη τοποθέτησή μου στο σχόλιο του Νίκου.
Δεν με ενδιαφέρει η διερεύνηση του τι πρόκειται να γίνει για διάφορες τιμές γωνιακής ταχύτητας.
Δίνω ως δεδομένο ότι εκτελείται η κυκλική κίνηση, μέσω κατάλληλου μηχανισμού, δεν με ενδιαφέρει ποιος είναι αυτός, πώς λειτουργεί, πώς η σφαίρα αποκτά αυτήν την δεδομένη γωνιακή ταχύτητα. Αν αποκτήσει μια δεδομένη ω και βρίσκεται και στην κατάλληλη θέση εκτελεί την κυκλική κίνηση…
Αποστόλη ο Χρήστος συζητάει την διάρκεια της επιτάχυνσης του σώματος που τίθεται σε κυκλική τροχιά… Οπότε είναι άλλο θέμα.
Έχω την αίσθηση ότι όταν ω<ωο τότε η κυκλική τροχιά είναι ευσταθης , και αυτό Πρέπει να έχει σχέση με τη δυναμική ενεργεια, με ακτίνα ro . Μια μικρή μετατόπιση του σώματος από την ro θα το αναγκάσει να κάνει μικρές ταλαντώσεις γύρω από αυτή την ακτίνα με ταυτόχρονη κυκλική Κίνηση. Αν ω> ωο η ακτίνα θα δίνεται από κάποια εξίσωση της μορφής r = ro ημωt+aexp(bt)+cexp(-bt). Διατηρώντας φυσικά μια επιφύλαξη για αυτές τις σκέψεις
Διονύση άφησα αυτό το σχόλιο ως συνέχεια αυτού που είπε ο Γιάννης, αλλά όπως είπαμε αυτό είναι άλλη ασκηση
Διάβασα κάθε τοποθέτηση.
Είπα ότι "κακώς δεν μας ενδιαφέρει".
Δεν έχω αποδείξει το γιατί από χθες;
Δεν το παρουσίασα με την προσομοίωση;
Δεν έδωσα εκ νέου απόδειξη στο προηγούμενο σχόλιο;
Να την ξαναγράψω;
Kαλησπέρα σε όλουs.Διονύση μια σκέψη που κάνω είναι ότι στην εξαναγκασμένη ταλάντωση με μικρή απόσβεση ο διεγέρτηs είναι μια αρμονική συνάρτηση και επιβάλλει τη συχνότητά του στο σύστημα.Όταν αυτή γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα τότε έχουμε πολύ μεγάλο πλάτοs,θεωρητικά άπειρο.Στην άσκηση όμωs αυτή δεν έχουμε κάποιο διεγέρτη,το σύστημα εκτελεί κυκλική κίνηση με τη συνιστώσα τηs δύναμηs του ελατηρίου να παίζει το ρόλο τηs αναγκαίαs κεντρομόλου δύναμηs.Άρα η μόνη γωνιακή ταχύτητα περιστροφήs που θα μπορούσε να επιφέρει πολύ μεγάλο μήκοs θα ήταν αναγκαστικά η ωο.
Μάλλον δεν μπορούμε να συνεννοηθούμε…
"Είπα ότι "κακώς δεν μας ενδιαφέρει".
Δεν έχω αποδείξει το γιατί από χθες;
Δεν το παρουσίασα με την προσομοίωση;
Δεν έδωσα εκ νέου απόδειξη στο προηγούμενο σχόλιο;
Να την ξαναγράψω;"
Όχι να μην το ξαναγράψεις, αλλά δεν ήταν το ερώτημα αυτό που έβαλα.
Είναι άλλο το ερώτημα και σε αυτό θα ήθελα απάντηση, αν είναι δυνατόν. Και δεν είναι "στημένο" το ερώτημα…
Το θέμα τέθηκε στην Κύπρο σε διαγωνισμό Φυσικής. Τα θέματα είναι αυτά εδώ:
27i_Olympiada_Fysikis_G'_Lykeiou_A_Fasi_Lyseis
Ο Κωστής που μου τα έστειλε μου έθεσε συγκεκριμένο ερώτημα, που δεν μπορούσα να απαντήσω και το έβαλα στο φόρουμ.
Το ερώτημα σχετίζεται με την "επίσημη" απάντηση η οποία υπάρχει στο παραπάνω αρχείο…
Έστω, την ξαναγράφω:
Καλημέρα Ιωάννη.
Εάν δούμε το πρόβλημα (κακώς) ως ένα στατικό πρόβλημα, θα βγάλουμε μεν την σχέση ω < ωο που πρέπει να ισχύει ώστε να επιτευχθεί κυκλική τροχιά, αλλά θα χάσουμε κάθε σχέση με συντονισμό.
Θα μιλάμε για μια κεντρομόλο ίση με τη δύναμη του ελατηρίου ή ισοδύναμα για μια φυγόκεντρο που εξουδετερώνεται ή όχι από τη δύναμη του ελατηρίου.
Αν δούμε το πρόβλημα δυναμικά, θα καταλάβουμε πως κάποιος πρόσφερε ενέργεια στο μπαλάκι ώστε αυτό να μετακομίσει στην θέση της κυκλικής τροχιάς. Το μπαλάκι κάπως βρέθηκε στην θέση αυτήν. Είτε με προσφορά έργου από το χέρι μας, είτε με ενέργεια από τον μηχανισμό. Όπως λ.χ. ο ρυθμιστής του Watt.
Αν το μπαλάκι βρίσκεται μέσα σε λείο σωλήνα θα δέχεται δύναμη από αυτόν κάθετη στα τοιχώματα του σωλήνα. Αυτή η δύναμη θα πρέπει να μην προσφέρει συνεχώς ενέργεια στο μπαλάκι. Αν η δύναμη προσφέρει συνεχώς ενέργεια στο μπαλάκι, θα αυξάνεται συνεχώς η απόσταση του μπαλακίου από το κέντρο περιστροφής.
Φυσικά δεν πρόκειται για τον κλασσικό συντονισμό ενός περιοδικού διεγέρτη. Όμως έχουμε πάλι προσφορά ενέργειας μέχρι να βρεθούμε σε μια σταθερή κατάσταση.
Αν μάλιστα θελήσουμε να δούμε την προβολή του σώματος αυτή είναι αρμονική ταλάντωση μετά την πάροδο των μεταβατικών φαινομένων.