by 
Ποια να είναι η ροπή αδράνειας ενός κωνικού κελύφους, μάζας m ως προς τον άξονα συμμετρίας του;
Θα μπορούσαμε φυσικά να βρούμε με ολοκληρώματα το αποτέλεσμα. Διαφορετικά όμως μπορούμε;
Κόβουμε τον κώνο σε λεπτές φέτες ίδιου πάχους ds.
Οι φέτες αυτές μεταφέρονται στο επίπεδο της βάσης.
Είναι παράλληλες μεταξύ τους και «κολλάνε» με τις γειτονικές τους.
Με την μεταφορά αυτήν προκύπτει ένας δίσκος ομογενής.
Έχει κάποιο πάχος μεγαλύτερο από αυτό του κελύφους.
Όμως η επιφανειακή πυκνότητα μάζας είναι παντού η ίδια.
Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι ½ m.R2.
Αυτή είναι και η ροπή αδράνειας του κελύφους, διότι η μεταφορά των δακτυλίων δεν μετέβαλλε την ροπή αδράνειάς τους.
Να είσαι καλά Παντελή.
Γιαννη θα συμφωνήσω με τον Παντελή. Χειροκροτω
Γιάννη τα κόλπα σου απλά δεν υπάρχουν!
Ευχαριστώ παιδιά.
Γιάννα άλλη ακόμα μία ευφυέστατη λύση σου. Η γνωστή παροιμία: "Το καλό το παλικάρι ξέρει και άλλο μονοπάτι"!
Προφανώς ήθελα να γράψω Γιάννη. Μερικές φορές παθαίνω το εξής όταν γράφω. Κόβω τα γράμματα μίας λέξης και γράφω τα αρχικά γράμματα της επόμενης ή μεθεπόμενης λέξης και αυτό γιατί γράφω πιο αργά από ότι σκέφτομαι οπότε ενώ γράφω μία λέξη ταυτόχρονα σκέφτομαι τις επόμενες…Σημαίνει άραγε κάτι αυτό; δεν ξέρω την απάντηση.
Καλημέρα Νίκο.
Ευχαριστώ. Προφανώς ακούσια η αλλαγή φύλλου.
Γιάννη καλησπέρα,
Ίσως κάτι να με ξεφεύγει, όμως έχω την εντύπωση ότι χρειάζεται για το τέχνασμά σου η απόδειξη ότι ο δίσκος που προκύπτει είναι ομογενής.
Στην περίπτωση που αναφέρεσαι επειδή ο οδηγός είναι κύκλος , προκύπτει ότι η γωνία της γενέτειρας με την κατακόρυφο είναι σταθερή a. Η επιφανειακή πυκνότητα του δίσκου είναι σ΄=dm/dA=(σ.2πrds)/(2π rdr)=σ.ds/dr=σ/sina=σταθερή. Για κωνική επιφάνεια που η οδηγός είναι τέτοια ώστε η a να μεταβάλλεται , το επίπεδο σχήμα που προκύπτει με το τέχνασμα σου δεν είναι ομογενές.
Καλησπέρα Νίκο.
Αν καταλαβαίνω τον συλλογισμό σου καλά συμφωνώ.
Αν λ.χ. συμπιέζαμε σφαιρικό κέλυφος, η μεταβολή της κλίσης δεν θα μας έδινε ομογενή δίσκο.
Η παραλληλία των "κομματιών" εξασφαλίζει την ομογένεια.
Αυτό ακριβώς θέλω να επισημάνω Γιάννη.
Γι' αυτό Νίκο γράφω την:
Είναι παράλληλες μεταξύ τους και «κολλάνε» με τις γειτονικές τους.
Με την μεταφορά αυτήν προκύπτει ένας δίσκος ομογενής.
Αν κομματιάσεις σφαιρικό κέλυφος δεν θα μπορέσεις να "κολλήσεις" τα κομμάτια που δεν θα είναι παράλληλα.
Λόγω προβληματισμού από το σχόλιο του Νίκου για την ομοιογένεια … είπα να δω γραφικά το ''κόλπο'' του Κυρ…και νομίζω φαίνεται με ότι ακρίβεια μετρήσεων μου χαρίζει το πρεσβυωπικό μάτι.
Στην εικόνα είναι μια τομή που περιέχει το ύψος του κώνου και φαίνεται καθαρά στο ήμισυ …αυτό που υποστηρίζει ο Κυρ.
Ακριβώς αυτό Παντελή.
Καλησπέρα Γιάννη!
Πολύ καλό.
Ευχαριστώ Βασίλη.