by 
Δύο σφαιρίδια Σ1 και Σ2 με μάζες m1=m/2 και m2=m αντίστοιχα είναι δεμένα στα άκρα ιδανικού νήματος αμελητέας μάζας το οποίο περνά μέσα από οπή σε λείο οριζόντιο τραπέζι όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σφαίρα Σ1 απέχει απόσταση R=0,2m από την οπή και αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο με τη βοήθεια του χεριού μας που συγκρατεί το σφαιρίδιο Σ2 και το σχοινί μόλις που δεν ασκεί δύναμη, (τάση) σχήμα 1.Μια χρονική στιγμή που θεωρούμε t=0 μία σφαίρα Σ3 μάζας m3=m/2 κινούμενη οριζόντια και κάθετα στην ακτίνα R με ταχύτητα μέτρου υ0=8m/s συγκρούεται πλαστικά με το Σ1 ενώ απελευθερώνουμε ταυτόχρονα το Σ2. Η κρούση γίνεται ακαριαία και τα σώματα δεν προλαβαίνουν να αλλάξουν θέση κατά τη διάρκειά της. Αν m=1kg τότε
α) Να βρείτε την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση του σφαιριδίου Σ3 με το σφαιρίδιο Σ1.
β) Περιγράψτε την κίνηση των σωμάτων του συστήματος.
γ) Βρείτε ποιοτικά που επιτυγχάνεται η μέγιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ2.
δ) Να βρείτε το μέγιστο ύψος από την αρχική του θέση στο οποίο θα ανέλθει κατακόρυφα το Σ2.
ε) Βρείτε πόσο απέχει η θέση ισορροπίας του m2 από την αρχική του θέση καθώς και την ταχύτητα του σώματος m2 στη θέση αυτή.
Θεωρείστε ότι η ακτίνα της τροχιάς του συσσωματώματος m1,3 μεταβάλλεται με πολύ μικρό ρυθμό και έτσι η κίνησή του είναι σχεδόν κυκλική.
Αντιστάσεις αέρα και τριβές θεωρούνται αμελητέες.
Δίνεται g=10m/s2 και √32=5,65
Απάντηση
Μια διαφορετική αντιμετώπιση απο τον Κώστα Ψυλάκο Μια περίεργη ταλάντωση
Για μικρές μεταβολές η κίνηση προκύπτει αρμονική ταλάντωση αρμονική_ταλάντωση_m2
Προσομοίωση απο τον Γιάννη Κυριακόπουλο κίνηση_m2_ip
… Χρήστο η άσκηση που υπέδειξες να δω γράφει κάτι περίεργα και το πιο καραμπινάτο είναι το εξής … μιλάει για τελείως λεία σφαίρα που κινείται σε λείο τραπέζι και πιο κάτω λέει ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση … μεταξύ δύο τελείως λείων επιφανειών ασκούνται μόνο αντιδράσεις δεσμού πώς μπορεί να υπάρξει κίνηση χωρίς ολίσθηση;
Καλησπέρα Παντελή.
Η άσκηση δεν έχει λάθος. Κοίταξε τη πιο προσεκτικά
Χρήστο παρουσιάζω το εξής πιο αναλυτικό επιχείρημα σε περίπτωση που δεν έγινα κατανοητός πιο πάνω ή μπορεί να είπα κάποιες ανακρίβειες (σε κάποια σημεία είπα) … και πες μου που ακριβώς διαφωνείς (σκοπός είναι να ξεκαθαρίσουμε τι γίνεται επειδή πιστεύω ότι διάφορες παραλλαγές της άσκησης π.χ. ακόμη και διαφορετικές αρχικές συνθήκες ίσως έχουν διαφορετική απάντηση):
Ας στηριχτούμε στα αριθμητικά και μη δεδομένα της άσκησής σου για τη συνέχεια.
Το κομβικό σημείο στην άσκηση είναι να δούμε πώς θα τείνουν να κινηθούν τα σώματα αμέσως μόλις γίνει η συσσωμάτωση … .
Το ότι τείνεται το νήμα κατά την συσσωμάτωση νομίζω είναι κατανοητό …
… μόλις τείνεται το νήμα τότε το συσσωμάτωμα δέχεται μια ακτινική δύναμη (την κεντρομόλο δύναμη που αναφέρεις στη λύση σου) επομένως ακτινικά το συσσωμάτωμα θα τείνει να κινηθεί προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς ακτίνας R αμέσως μετά τη συσσωμάτωση (επειδή υπάρχει δύναμη κατά την ακτινική διεύθυνση θα αναπτυχθεί και μια αντίστοιχη συνιστώσα ορμής, και επομένως μια τάση κίνησης, προς την ίδια κατεύθυνση εκ του 2ου νόμου του Νεύτωνα) … από την άλλη, το συσσωμάτωμα έχει και μία εφαπτομενική ταχύτητα η οποία δεν αλλάζει αμέσως μετά τη συσσωμάτωση γιατί δεν ασκείται καμία εφαπτομενική δύναμη αμέσως μετά τη συσσωμάτωση (αυτή η εφαπτομενική ταχύτητα άλλαξε μόνο λόγω της εφαπτομενικής κρούσης) … επομένως η ταχύτητα του συσσωματώματος θα τείνει να αποκλίνει από τη διεύθυνση της εφαπτομένης σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ή με άλλα λόγια η (συνολική) ταχύτητα του συσσωματώματος θα κλείνει ελαφρώς προς το εσωτερικό της (στιγμιαίας) κυκλικής τροχιάς ακτίνας R, ακριβώς επειδή τείνει να αναπτυχθεί και μία συνιστώσα ταχύτητας κατά μήκος του νήματος με φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς ακτίνας R.
Ας δούμε τι συμβαίνει με το σώμα μάζας m_2 … αρχικώς είναι ακίνητο και κατά την συσσωμάτωση δέχεται μία συνισταμένη δύναμη προς τα πάνω μέτρου ~ 70 Ν (τάση μείον το βάρος του) συνεπώς εκ του 2ου νόμου του Νεύτωνα θα τείνει να κινηθεί (δηλ. να αναπτυχθεί ορμή) κατά μήκος του νήματος και μάλιστα κατά τη φορά της τάσης του νήματος (αυτό δεν αρκεί για να πει κανείς αν το νήμα είναι τεντωμένο ή όχι δεδομένου ότι σε μία τροχαλία με δύο βάρη στις δύο μεριές της, πάντα το ελαφρύτερο σώμα κινείται κατακόρυφα, παράλληλα με το νήμα και στην ίδια κατεύθυνση με την τάση του νήματος στη θέση εκείνη).
Συνολικά τι συμβαίνει στο νήμα; Το ένα άκρο του τείνει να κινηθεί προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς ακτίνας R και το άλλο άκρο θα τείνει να κινηθεί κατά τη διεύθυνση και τη φορά της τάσης του νήματος στη μεριά εκείνη … συνεπώς τα δύο άκρα του νήματος τείνουν να να κινηθούν παράλληλα με το νήμα και να πλησιάσουν αμοιβαία το ένα το άλλο (δεν τείνουν να είναι ούτε ακίνητα, ούτε να απομακρυνθούν αμοιβαία το ένα από το άλλο πράγμα που φυσικά μπλοκάρεται από το μη εκτατό του νήματος) … υπό αυτό το σκεπτικό θεωρώ ότι αμέσως μόλις τείνεται το νήμα, αμέσως μετά πρέπει να μηδενιστεί η τάση του και να δεχτούμε αναπήδηση ή instantaneous kick/impulse επί αμφότερων των σωμάτων, γιατί τα δύο άκρα του νήματος το ένα τείνει να προσεγγίσει αμοιβαία το άλλο … για να είναι ένα μη εκτατό και αβαρές νήμα διαρκώς τεντωμένο θα πρέπει οι τάσεις στα άκρα του νήματος να είναι μη μηδενικές και να έχουν ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά (οπότε πρέπει η σχετική ταχύτητα του ενός άκρου ως προς το άλλο άκρο να είναι μηδενική) … στην συγκεκριμένη περίπτωση αυτό δεν μπορεί να ισχύσει επειδή κατά την (ακαριαία) συσσωμάτωση (κατά την οποία το νήμα τείνεται) το συσσωμάτωμα υπόκειται σε μία συνισταμένη δύναμη μέτρου 80 Ν, ενώ το σώμα μάζας m_2 υπόκειται σε μία συνισταμένη δύναμη μέτρου 80-10 = 70 Ν, και λόγω της μη εξισορρόπησης των ανωτέρω δυνάμεων, δεν τείνουν να αναπτυχθούν ίδιες τάσεις στα άκρα του νήματος κατά τη συσσωμάτωση … άρα δεν μπορεί να παραμείνει τεντωμένο ακριβώς μετά τη συσσωμάτωση (με άλλα λόγια θα τείνουν να αναπτυχθούν διαφορετικές μεταξύ τους ορμές κατά το μήκος του νήματος στο ένα άκρο και στο άλλο άκρο, οπότε το ένα άκρο θα αποκτήσει σχετική ταχύτητα ως προς το άλλο αμέσως μετά την συσσωμάτωση και αυτό μπορεί να συμβεί σε ένα μη εκτατό νήμα μόνο κατά την χαλάρωση του νήματος).
μικροδιόρθωση
για να είναι ένα μη εκτατό και αβαρές νήμα κυριολεκτικά τεντωμένο (όχι τεντωμένο χωρίς τάση στα άκρα) θα πρέπει οι τάσεις στα άκρα του νήματος να είναι μη μηδενικές και να έχουν ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά (οπότε η σχετική ταχύτητα του ενός άκρου ως προς το άλλο άκρο θα είναι μηδενική) …
η άσκηση είχε δοθεί σε qualifying exam για απόφοιτους φυσικούς που θέλανε να συνεχίσουν master σε ένα αμερικάνικο πανεπιστήμιο. …
το qualifier δεν είναι προαπαιτούμενο για όσους θέλουν να κάνουν master's degree σε αμερικάνικο πανεπιστήμιο … είναι όμως αυτό που διαχωρίζει έναν master's student από έναν PhD candidate (για τους τελευταίους είναι προαπαιτούμενο) … και πράγματι οι εξετάσεις αυτές είναι πραγματικά δύσκολες ανάλογα φυσικά και με το πανεπιστημιακό ίδρυμα …
Καλημέρα Παντελεήμονα. Γράφεις:
"το συσσωμάτωμα δέχεται μια ακτινική δύναμη (την κεντρομόλο δύναμη που αναφέρεις στη λύση σου) επομένως ακτινικά το συσσωμάτωμα θα τείνει να κινηθεί προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς ακτίνας R αμέσως μετά τη συσσωμάτωση (επειδή υπάρχει δύναμη κατά την ακτινική διεύθυνση θα αναπτυχθεί και μια αντίστοιχη συνιστώσα ορμής, και επομένως μια τάση κίνησης, προς την ίδια κατεύθυνση εκ του 2ου νόμου του Νεύτωνα) …"
Γιατί το συσσωμάτωμα "τείνει να κινηθεί προς το κέντρο"; Δεν νομίζω να ισχύει κάτι τέτοιο. Η κεντρομόλος δεν πρόκειται να του προσδώσει ορμή προς το κέντρο…
Το συσσωμάτωμα, τείνει να κινηθεί ευθύγραμμα, αλλά αυτό σημαίνει ότι η ακτίνα τείνει να αυξηθεί, με αποτέλεσμα να εμφανίζεται τάση του νήματος η οποία προσπαθεί να το συγκρατήσει στην κυκλική τροχιά. Μπορεί η απαραίτητος τάση (για την κυκλική τροχιά) να είναι 70Ν, αλλά δεν σημαίνει ότι αναπτύσσεται τόση ακριβώς, αφού στο πρόβλημα παρεμβάλλεται και το κρεμασμένο σώμα.
Αν η τάση είναι μεγαλύτερη από 70Ν, τότε το συσσωμάτωμα θα αποκτήσει και ακτινική συνιστώσα ταχύτητας προς το κέντρο.
Αν η τάση είναι μικρότερη από 70Ν, η ακτινική ταχύτητα θα έχει φορά προς τα έξω, η ακτίνα θα μεγαλώσει και τότε και τα δυο άκρα του νήματος αποκτούν την ίδια ταχύτητα…
καλό μεσημέρι σε όλους
(μόλις διάβασα την εκφώνηση και την απάντηση του α., όχι τις τοποθετήσεις)
ερώτημα στην εκφώνηση: συμμετοχή του χεριού μετά την κρούση υπάρχει;
ένσταση στη λύση του α.: το γεγονός ότι η ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση, είναι κάθετη στη διεύθυνση του νήματος δεν εξασφαλίζει ότι η τάση του νήματος είναι και κεντρομόλα, (και άρα, το μέτρο της υπολογίζεται με τη γνωστή σχέση), μπορεί να είναι μεγαλύτερη, οπότε και το συσσωμάτωμα πλησιάζει προς την οπή ή μικρότερη οπότε και απομακρύνεται
Βαγγέλη και Παντελή καλησπέρα
Το Σ2 απελευθερώνεται και το χέρι δεν συμμετέχει.
Όπως αναφέρει ο Διονύσης το Σ1,3 τείνει να κινηθεί ευθυγραμμα με αποτέλεσμα να τεντώσει το νήμα και να υπάρξει κεντρομόλος. Επιπλέον σε ολη την έκταση του φαινομενου η ταχυτητα του Σ1,3 είναι μεγαλύτερη από ότι του Σ2 με την ακτινική συνιστωσα της ταχύτητας του Σ1,3 να ειναι ίδια με την ταχύτητα του Σ2 δεδομένου ότι το νήμα είναι τεντωμένο. Γιατί είναι τεντωμένο; Γιατί η εμφανιση της ακτινικής συνιστώσας της ταχύτητας και η έναρξη κίνησης του Σ2 από την ηρεμία κάνει το νήμα να είναι τεντωμένο συνεχώς. Ακόμη και να ισχυριστούμε τη μικρή χαλάρωση από κάτω για το Σ2 εξαιτιας της ταχύτητας του Σ1,3 θα τεντώνει το νήμα για να μεγαλώνει η ακτίνα.
Να αλλάξουμε λίγο τον αρχικό μηχανισμο;
Αν δεχθούμε ότι αφήνουμε το χέρι πολύ λίγο μετά το πέρας της κρούσης ώστε να εξαλείψουμε το τράνταγμα στο Σ2 και την χαλάρωση του νήματος αλλά και να βάλουμε και σε κυκλική τροχιά το Σ1,3 η εξέλιξη του φαινομένου θα είναι αυτή που γινεται παρακάτω. Αυτό δηλαδη που ήταν και ο σκοπός της ασκησης η ταλάντωση του Σ2.
καλησπέρα σε όλους
(αμέσως μετά την τελευταία μου λέξη στο προηγούμενο σχόλιο με "επισκέφτηκε" ξανά ίλιγγος, ευτυχώς σχετικά ήπιας μορφής αυτή τη φορά, έχω βιώσει και τον πλήρη μέχρι διαρκή περιστροφή του χώρου, χάσιμο κατακορύφου και άλλα τινά φρικτά, που εξακολουθεί να μην φεύγει εντελώς, άρα δικαιολογούμαι…)
νομίζω έχουμε και άλλο πρόβλημα: αφού κάποια στιγμή το νήμα ασκεί τάσεις, τα σώματα που είναι δεμένα στα άκρα του υφίστανται ελαστική και όχι πλαστική "κρούση" στον "άξονα" του νήματος, άρα δεν έχουν ίσου μέτρου ταχύτητες σ' αυτόν (κοινά αποδεκτή είναι η πλαστική κρούση, αλλά πειραματικά έχει δειχθεί ότι είναι, σχεδόν, ελαστική, έχω και εδώ δημοσιεύσει σχετικά και επειδή, ως συνήθως, δεν το βρίσκω παραπέμπω στην αρχική:http://ekountouris.blogspot.com/2012/04/blog-post_22.html)
καλά έγραψα λάθος τον σύνδεσμο, αλλά βρήκα την εδώ ανάρτηση! ο ίλιγγος που λέγαμε;
Η κρούση μέσω νήματος
(συγγνώμην για όσους ταλαιπώρησα)
Καλημέρα Βαγγέλη. καλή Κυριακή και περαστικά…
Βαγγέλη καλησπέρα.
Ελπίζω να είσαι καλά. Σου ευεύχομ περαστικά.
Είδα την ανάρτηση σου. Θεωρω ότι το πρόβλημα δεν είναι ισοδύναμο με αυτό που θεωρεις. Δες πιο πάνω ένα σύνδεσμο που σε ένα σχόλιο Αν το νήμα μείνει τεντωμενο. Όπου ο αείμνηστος Βαγγέλης Κορφιάτης αποδεικνύει ότι δεν λυγίζει το σχοινί. σε μια άσκηση του Χρήστου Ελευθερίου
Επιπλέον κοίτα και αυτή του Διονύση. Το τέντωμα του νήματος
Θα δω αναλυτικά τα σχόλιά σου και του Διονύση για να δω ποια είναι η αιτία της μη κατανόησης από μέρους μου (εν πάσει περιπτώσει είχα κατά νου την περίπτωση της τροχαλίας με δύο σώματα στα άκρα της όπου η τάση δεν μπορεί να υπερβαίνει το μεγαλύτερο βάρος εκ των δύο στις δύο μεριές της προκειμένου να έχω τεντωμένο νήμα … π.χ. αν αρχικά ισορροπεί το σύστημα και κρατήσω το ένα σώμα με το χέρι μου (ίσα που να χαλαρώσει το νήμα από εκείνη τη μεριά) και ανασηκώσω το σώμα στην άλλη μεριά και κατόπιν … πετάω το ανασηκωμένο σώμα στην μία μεριά με πολύ μεγάλη δύναμη κατακόρυφα προς τα κάτω, και τη στιγμή που το νήμα τείνει να τεντωθεί σε εκείνη τη μεριά της ανασήκωσης, αφήνω από το χέρι μου ελεύθερο το άλλο σώμα έτσι ώστε το όλο σύστημα να κινηθεί ελεύθερα … επειδή η αναπτυσσόμενη τάση κατά το τέντωμα του νήματος είναι "αφύσικα" μεγάλη θεωρώ ότι θα εμφανιστεί αναπήδηση με χαλάρωση του νήματος μέχρι να τεντωθεί ξανά με κάποια "φυσιολογική" τάση … μια αυστηρή αιτιολόγηση με εφαρμογή ώθηση-ορμή κατά το τέντωμα του νήματος ίσως ήταν πιο πειστική (ή μία διερεύνηση με κάποια ακραία όρια για ορισμένα δεδομένα).
… τώρα όσον αφορά την άσκηση που παρέπεμψες (με τη σφαίρα και τον κύβο) και εκείνη τη στιγμή αντέδρασα αυθόρμητα λέγοντας ότι γράφει κάτι περίεργα κτλ. … πρέπει να δικαιολογήσω το γιατί το είπα … αργότερα είδα την λύση της άσκησης … αλλά θέλει πολύ προσεκτικό διάβασμα και η εκφώνηση και η απάντηση … ωστόσο έχω να θέσω τον εξής προβληματισμό επί της άσκησης που με παρέπεμψες (που ήταν και ο λόγος μπερδέματος σε μια πρώτη ταχύτατη ανάγνωση):
Αν έχω μία σφαίρα ακτίνας R που περιστρέφεται ας πούμε ωρολογιακά με γωνιακή ταχύτητα ω, περί άξονα περιστροφής διαρκώς οριζόντιο, και ταυτόχρονα γλιστράει/ολισθαίνει ως σύνολο με γραμμική ταχύτητα V = ωR προς τα δεξιά πάνω λείο δάπεδο … τότε το κατώτερο σημείο της σφαίρας έχει κάθε στιγμή ταχύτητα μηδέν (αυτό δεν το αμφισβητεί κανείς) … η ερώτηση είναι πώς ξέρεις ότι η σφαίρα εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση (συμπλεγμένη περιστροφική και μεταφορική κίνηση) και όχι δύο ανεξάρτητες κινήσεις (περιστροφική και μεταφορική με ολίσθηση) … ο λόγος γι' αυτή την ερώτηση είναι ο εξής: Αν φανταστούμε την περίπτωση που εξετάζεται με τον κύβο και τη σφαίρα στον αέρα (φανταστείτε τον οριζόντιο νοητό άξονα περιστροφής να κινείται πάνω σε λείες παράλληλες ράγες και ο κύβος εκτελεί στροφική κίνηση στον αέρα τέτοια ώστε να κινείται διαρκώς επί νοητού οριζοντίου επιπέδου) … αν γίνει η ακαριαία κεντρική και ελαστική κρούση που περιγράφεται στην άσκηση (και αγνοηθεί παντώς είδους αντίσταση του αέρα) τότε η σφαίρα στον αέρα έχω την εντύπωση ότι συμμετέχει σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις … με δύο λόγια δεν βλέπω πώς οι δύο κινήσεις της σφαίρας μπορούν να κλειδώσουν σε μία συζευγμένη κίνηση κύλισης χωρίς ολίσθηση χωρίς π.χ. την παρουσία τριβής ή κάποιου άλλου παράγοντα. Υπόψη ότι είτε το φαινόμενο εξελίσσεται στο δάπεδο είτε στον αέρα, όλες οι ασκούμενες δυνάμεις είναι δυνατό να είναι οι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις (θεωρήστε ότι αυτο το έχουμε επιτύχει).
Θα ήθελα να ευχαριστήσω το Γιάννη Κυριακόπουλο για την προσομοίωση του φαινομένου. Υπάρχει η δυνατότητα αλλαγής της αρχικής ταχύτητας του m1 και να δει την εξέλιξη του φαινομένου από όπου το σχοινί δεν λυγίζει.
Επιπλέον φαίνεται και η τροχιά του m1 που δεν είναι κύκλος και η κίνηση του m2 που οι ακραίες θέσεις δεν ισαπέχουν απο τη Θ.Ι..
Επιπλέον μια άσκηση που είχε ασχοληθεί ο Γιάννης σχεδόν 10 χρόνια πριν. Είναι ίδιο το φαινόμενο αλλά αλλάζει λίγο η διάταξη. Η διατήρηση της στροφορμής, η διατήρηση της ενέργειας και η κεντρομόλος σε ένα βαρίδι.
Και πάλι Γιάννη σε ευχαριστώ θερμά.