by 
Ποια από τις καταστάσεις του τμήματος ΑΒ έχει την μεγαλύτερη θερμοκρασία;
Πόση είναι η θερμοκρασία αυτή;
Για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι 1 Atm = 105 Pα.
Δίδεται ότι .
Πριν λύσουμε το πρόβλημα θα λύσουμε ένα απλό σχετικά γεωμετρικό πρόβλημα.
Η λύση του θα μας γλυτώσει από παραγωγίσεις και τριώνυμα.
Καλημέρα σε όλους,
Γιάννη πολύ όμορφη η γεωμετρική λύση!
Πολύ όμορφες και οι λύσεις του Νίκου!
Κώστα, Βασίλη ευχαριστώ που … ξεθάψατε την παλιά μου ανάρτηση.
Ευτυχώς τις πέρασε ο Διονύσης στο νέο Υλικονέτ. 🙂
Υπάρχει και μια σχετική δεύτερη που είναι συνέχεια της πρώτης (το … κούρασα λίγο).
Βάζω πιο κάτω και τους δύο συνδέσμους:
ΕΔΩ-1, ΕΔΩ-2
Ευχαριστώ Διονύση.
Το θέμα επανέφερε ο Κώστας σε μια συζήτηση. Έχει συνέπειες.
Καλημέρα Γιάννη 🙂
Για να συνοψίσουμε λοιπόν τα συμπεράσματα,
Σε κάθε γραμμική μεταβολή σε διάγραμμα P-V, η οποία (προεκτεινόμενη) τέμνει τους άξονες στα σημεία Po και Vo αντίστοιχα, υπάρχουν δύο χαρακτηριστικά σημεία:
1) Το μέσο Μ [ Vo/2 , Po/2 ] , όπου μεγιστοποιείται η θερμοκρασία και εφάπτεται η σχετική ισόθερμη.
2) Το σημείο Ζ [ γVo/(γ+1) , Po/(γ+1) ] , όπου αντιστρέφεται η κατεύθυνση ροής θερμότητας και εφάπτεται η σχετική αδιαβατική:
… Κάποια γεωμετρική ερμηνεία μου φαίνεται κρυμμένη στα πιο πάνω, αλλά δεν προλαβαίνω να το ψάξω,
που να σχετίζεται με τις εφαπτόμενες σε υπερβολές.
Η ισόθερμη είναι ισοσκελής υπερβολή (PV=σταθ) και ο λόγος μηκών των τμημάτων στα οποία χωρίζει το εφαπτόμενο ευθύγραμμο τμήμα είναι 1.
Η αδιαβατική πάλι, PV^γ=σταθ και ο αντίστοιχος λόγος μηκών είναι γ !!
Θα το δω Διονύση.
Διονύση μια απόπειρα γεωμετρικής προσέγγισης.
Πολύ καλή Γιάννη.
Έλπιζα μόνο κάτι πιό γεωμετρικό. Αν π.χ. φέρουμε μια εφαπτομένη σε υπερβολή, τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από το σημείο επαφής και τα σημεία τομής με τους χ,ψ άξονες, μήπως έχουν ορισμένο λόγο που σχετίζεται με το είδος της παραβολής;
Φοβάμαι όμως ότι δεν αποφεύγουμε την παραγώγιση, αφού θα μας χρειάζεται η κλίση.
Θα ηθελα να προσθεσω μια σκεψη για το Τmax που εχουμε στο σημειο Μ .
Γραφει ο Δ. Μητροπουλος στην αναλυση του : Μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι η κλίση της αδιαβατικής που περνάει από το z είναι ίση με την (σταθερή) κλίση της μεταβολής (αβ) διοτι εκει δQ/dV = 0 .
Σκεφτηκα λοιπον οτι εκεινη η ισοθερμη καμπύλη που εφαπτεται στην ΑΒ θα ειναι εκεινη στην οποια αντιστοιχει το Τmax.
Αρα : P*V = Pμ * Vμ ==> P = [P0 – (P0/V0)*Vμ] * Vμ * V^(-1) ===>
(dP/dV)μ = (-1)* [P0 – (P0/V0)*Vμ] * Vμ * Vμ^(-2) = κλιση της ευθειας = – (P0/V0) ===>
(V0 – Vμ)/(V0*Vμ) = P0/V0 ==> (V0 – Vμ)/Vμ = 1 ===> Vμ = V0/2
Τοτε Pμ = P0 – (P0/V0)*(V0/2) ==> Pμ = P0/2
επομενως απο την καταστατικη εξισωση βρίσκουμε και το Τμ = 400 K που οπως ειπαμε ειναι και η μεγιστη θερμοκρασια για την μεταβολη ΑΒ .
Σωστό Κώστα.
Καλησπέρα σε όλους,
Κώστα ωραία η σκέψη σου.
Γιάννη, προσπαθούσα να σκεφτώ κάτι γεωμετρικό για να βρούμε το σημείο Ζ αποφεύγοντας την εντροπία, οπότε μου ήρθε η εξής ιδέα (όχι πολύ γεωμετρική βέβαια 🙂 ):
Έστω αντιστρεπτή μεταβολή, γραμμική σε διάγραμμα P–V, που διέρχεται από τα σημεία (0,Po) και (Vo,0) των δύο αξόνων. Αναζητάμε το σημείο Ζ (Vz,Pz) στο οποίο αλλάζει η κατεύθυνση ροής θερμότητας.
Σε κάθε απειροστό τμήμα της θα ισχύει dQ = dU + dW.
Αν όμως βρισκόμαστε γύρω στο ζητούμενο σημείο Ζ, τότε dQ = 0 και επομένως:
dU = – dW → n·Cv·dT = – Pz·dV → n·Cv·d(Pz·Vz / nR) = – Pz·dV →
→ (Cv/R)·(Vz·dP + Pz·dV) = – Pz·dV → Vz·dP / (γ–1) + Pz·dV / (γ–1) = – Pz·dV →
→ Vz·dP = – γ·Pz·dV → dP / dV = – γ·Pz / Vz
Η μεταβολή μας όμως έχει σταθερή κλίση οπότε:
ΔP / ΔV = – γ·Pz / Vz → (Pz – Po) / (Vz – 0) = – γ·Pz / Vz → Pz = Po / (γ+1)
ή (0 – Pz) / (Vo – Vz) = – γ·Pz / Vz → Vz = γ·Vo / (γ+1)
Διονύση μάλλον δεν μπορούμε να κάνουμε κάτι διαφορετικό. Κάτι σκέτα γεωμετρικό.
Αν είχαμε ένα διάγραμμα P/(γ+1)-V.γ/(γ+1) η γραμμή θα μετασχηματιζόταν σε άλλη. Άντε όμως να βρεις το φυσικό της περιεχόμενο.
Μάλλον Γιάννη.
Πώς σου φαίνεται όμως η πιο πάνω λύση;
Παρακάμπτω τη χρήση της αδιαβατικής σχέσης PV^γ = σταθ., ξεκινώντας κατευθείαν από τον 1ο νόμο, και αποφεύγω και τη χρήση της δευτεροβάθμιας Q(V) που είναι υπο “αμφισβήτηση”.
Η μόνη απαίτηση είναι σε κάποιο απειροστό τμήμα της γραμμικής P(V) να ισχύει dQ=0.
Γεια σου Διονύση.
Το ερώτημα απευθύνεται στο Γιάννη, αλλά μιας και παλιότερα είχα εκφράσει κάποιους ενδοιασμούς για “τη συνάρτηση Q” νομίζω ότι η παραπάνω απόδειξη είναι πολύ … ανώτερη, χωρίς να επιτρέπει αντιρρήσεις!!!
Καλημέρα Διονύση,
Απεύθυνα το ερώτημα στον Γιάννη επειδή μ’ αυτόν είχαμε διάλογο, αλλά το μυαλό μου ακριβώς σ’ εκείνη τη συζήτηση ήταν, με τη “συνάρτηση” Q=f(V) που είχε γίνει μια ολόκληρη συζήτηση με τις δικές σου (δικαιολογημένες) αντιρρήσεις, αλλά και του Θρασύβουλου, και είχε πάρει θέση κι ο εκλιπών Βαγγέλης Κορφιάτης, κατά πόσον είναι το dQ τέλειο διαφορικό.
Ακριβώς Διονύση.
Γι΄αυτό και γω παρενέβην…
Μου άρεσε που έφυγε το μη τέλειο διαφορικό dQ!!!