by 
Ένα σώμα μάζας m τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με … άπειρη αρχική ταχύτητα (υ0=∞ ).Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του w=mg και η αντίσταση του αέρα που είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, F=λυ2, όπου λ μια σταθερά.
Είναι δυνατόν η ταχύτητα του σώματος να μηδενιστεί σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια το σώμα να επιστρέψει στην αρχική του θέση;
Προφανώς, η άπειρη αρχική ταχύτητα κάνει αδύνατη μια απευθείας επίλυση του προβλήματος, πέραν των παραδόξων που δημιουργεί η παραδοχή μιας άπειρης ταχύτητας.
Θα μπορούσαμε ίσως να προσεγγίσουμε το πρόβλημα έμμεσα, θεωρώντας ότι η αρχική ταχύτητα υ0 είναι πεπερασμένη. Τότε η διαφορική εξίσωση της κίνησης είναι:
mdυ/dt=mg+λυ2 με αρχική συνθήκη υ(0)=υ0.
Koπιάζοντας λιγάκι μπορούμε να φτάσουμε στη λύση:
Τώρα στη λύση αυτή θεωρούμε ότι η αρχική ταχύτητα τείνει στο άπειρο (και εφόσον ), προκύπτει ότι η ταχύτητα του σώματος θα μηδενιστεί σε μια πεπερασμένη χρονική στιγμή:
Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι παρά τον αρχικό απειρισμό της ταχύτητας, το χρονικό διάστημα της κίνησης είναι πεπερασμένο.
Μια κοσμολογική αναλογία
Διαβάστε τη συνέχεια: physicsgg.me
Αρκετά εντυπωσιακό όπως και η κοσμολογική αναλογία. Μου γέννησσε την εξής απορία:
Εδώ έχουμε F=λυ2 ενώ στις ταλαντώσεις F=bυ. Από τι εξαρτάται αυτό;
Καλημέρα Βασίλη και καλό μήνα.
Η αντίσταση του αέρα, είναι συνήθως ανάλογη με την ταχύτητα, υψωμένη σε δύναμη μεταξύ 1 και 2.
Ούτε και στις ταλαντώσεις η απόσβεση είναι της μορφής F=-bυ. Πρόκειται για μια προσέγγιση, όπως μαθηματική προσέγγιση είναι το να πούμε ότι είναι ανάλογη του τετραγώνου…
Το βέβαιο είναι ότι για μικρότερες ταχύτητες ο εκθέτης πλησιάζει προς το 1, ενώ για μεγαλύτερες ταχύτητες προς το 2….
Και με την ευκαιρία, μια παλιότερη μελέτη του Γιάννη Φιορεντίνου:
Κίνηση με αντίσταση ανάλογη του τετράγωνου της ταχύτητας
Καλημέρα Διονύση. Ευχαριστώ για την επεξήγηση. Για άλλη μια φορά η φύση μας ξεπερνά σε πλουραλισμό δείχνοντας την αδυναμία μας να περιγράψουμε με απλότητα την πραγματικότητα. Καλή Άνοιξη να έχουμε.
Βασίλη αν θέλεις κ ενα ακόμη τμήμα μελέτης
Κίνηση σε μέσο με αντίσταση
Γεια σου Διονύση
Από την αρχή κατάλαβα ότι το ζήτημα αφορά παραξενιά μαθηματική κυρίως και όχι προσέγγιση φυσική. Όμως ο δάσκαλος Τραχανάς χρησιμοποίησε έξυπνα ένα παράξενο αποτέλεσμα μιας μη γραμμικής Δ.Ε. για να πάει σε κοσμολογικά ανάλογα.
Ίσως, νομίζω, θα έφτανε το δεύτερο παράδειγμα που είναι πιο εύγλωττο για την κοσμολογική αναλογία που ήθελε να πει. Γιατί ομογενές βαρυτικό πεδίο άπειρου μήκους (τόσο μήκος χρειάζεται), στην πρώτη περίπτωση, για να μηδενιστεί η ταχύτητα, και άπειρη αρχική ταχύτητα είναι λίγο μακριά από τα ειωθότα.
Αλλά εκείνος κάτι θα ξέρει περισσότερο γιατί τα είπε έτσι.