by 
Δύο όμοια κυλινδρικά δοχεία Δ1, Δ2 εμβαδού βάσης Α=0.2m2, συνδέονται στη βάση τους με οριζόντιο σωλήνα διατομής ΑΣ=4cm2. Εντός του δοχείου Δ2 μπορεί να κινείται έμβολο μάζας m=20kg , που κλείνει αεροστεγώς αυτόν, και είναι δεμένο με ελατήριο σταθεράς k=500N/m, που το άλλο άκρο του είναι δεμένο στην οροφή. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι στη βάση του δοχείου. Στο έμβολο υπάρχει μια μικρή οπή εμβαδού Αο=1cm2 , που κλείνεται καλά με τάπα Τ2 . Στην κάτω βάση του δοχείου Δ1 υπάρχει όμοια οπή που κλείνεται με τάπα Τ1. Αρχικά τα δοχεία είναι άδεια . Ανοίγουμε τη βρύση παροχής Π=10-4 m3/s για t=2000s και μετά την κλείνουμε. To νερό ισορροπεί στα δύο δοχεία σε ύψη h1 και h2 .Δίνεται g=10m/s2.
1. Υπολογίστε τα ύψη h1 και h2
Συγκρατούμε το έμβολο στο ύψος h2 και ανοίγουμε ταυτόχρονα τις τάπες. 2. Α) Υπολογίστε τις αρχικές ταχύτητες υ1 και υ2 από τις οπές.
B) Εκφράστε τη δύναμη Fεξ. που ασκούμε στο έμβολο για να το συγκρατούμε, σε συνάρτηση του ύψους y1 της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στο δοχείο Δ1 από τη βάση του δοχείου, με δεδομένο ότι το νερό που βγαίνει από την οπή στο έμβολο, απομακρύνεται αμέσως από το δοχείο με κατάλληλο τρόπο (αναρρόφηση).
3. Υπάρχει ροή νερού από τον οριζόντιο σωλήνα που συνδέει τα δύο δοχεία, όταν ανοίξουμε τις τάπες. Υπολογίστε την αρχική ταχύτητα υ στο Σ , καθώς και τη φορά της.
Όταν αδειάσουν τα δοχεία, αφήνουμε ελεύθερο το έμβολο να κινηθεί χωρίς τριβές με τα τοιχώματα.
4. Υπολογίστε τη χρονική στιγμή t που θα συγκρουσθεί με τον πυθμένα του δοχείου, καθώς και την ταχύτητα με την οποία θα συγκρουσθεί. Αμελείστε την αντίσταση του αέρα.
Απαντήσεις σε word και σε pdf
Αφιερωμένη στον φίλο Ντίνο Σαράμπαλη
Προδρομε χαιρετω !
Θα σταθω στα ερωτηματα 2. και 3.
Στο ερωτημα 2. εφαρμοζεις εξ.συνεχειας γραφοντας Π(επ1) + Π(επ2) = Π(τ1) + Π(τ2) και δεδομενων των εμβαδων που εχεις δωσει
καταληγεις στο συμπερασμα οτι οι ταχυτητες των επιφανειων ειναι σχεδον μηδεν . Αυτο σου επιτρεπει να βρεις τα υ1 και υ2.
Μετα ομως θεωρεις υποθετικα ροη απο το Δ2 —–>Δ1 οποτε εχεις ως παροχη εισροης στο Δ1 την Π(Σ)
και δεδομενου οτι ο ογκος του υγρου στο Δ1 μικραινει αρα η παροχη εκροης Π(τ1) ειναι μεγαλυτερη απο την Π(Σ) επομενως :
Π(Σ) – Π(τ1) = – (ΔV1/Δt) = – Π(επ1) ==> Π(επ1) + Π(Σ) = Π(τ1) εχεις βγαλει ομως οτι το η ταχυτητα της επιφανειας ειναι αμελητεα
βγαζεις στην ουσια οτι Π(Σ) = Π(τ1) ==> υ(Σ) = υ1/4 .
Δεν θα μπορουσε ομως καποιος να κανει την ιδια σκεψη προς την αντιστροφη πορεια ;
Να υποθεσει δηλαδη ροη απο το Δ1 ——> Δ2 και μεσα απο την ιδια θεωρηση να καταληξει οτι υ(Σ) = υ2 /4 .
Προδρομε καπου η ολη σκεψη με προβληματιζει !
Κώστα ευχαριστώ για το σχολιασμό. καθώς και για τον προβληματισμό σου!
Με απασχόλησε κι εμένα πριν το αναρτήσω, εδώ και δύο μέρες!
Η απάντηση που δίνω, όχι μόνο σε εσένα, αλλά και στον εαυτό μου, είναι:
Αφού η ταχύτητα από την τάπα στο έμβολο είναι μικρότερη από την ταχύτητα στο Τ1, και με δεδομένο ότι οι ταχύτητες των επιφανειών είναι αμελητέες, θα πρέπει να εισρέει από το αριστερό δοχείο προς το δεξί, νερό. Άρα η ταχύτητα στο Σ είναι προς τα δεξιά.
Να δούμε και τι θα πουν οι συνάδελφοι που θα τη διαβάσουν!
Αν βγαίνει αόριστο σύστημα, θα βάλω ως δεδομένο στην εκφώνηση, ότι η ροή στον οριζόντιο σωλήνα είναι προς τα δεξιά.
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Πρόδρομε, καλημέρα Κώστα.
Διάβασα και τη λύση σου Πρόδρομου και τον προβληματισμό σου Κώστα.
Να θέσω και εγώ κάποιους προβληματισμούς.
Εφαρμόζουμε τον νόμο Bernoulli για μια μόνιμη ροή. Δηλαδή για μια ροή στην οποία σε κάθε σημείο η ταχύτητα παραμένει σταθερή και δεν έχουμε επιτάχυνση ρευστού. Όταν λοιπόν μιλάμε για αρχική ταχύτητα ροής, εννοούμε, όχι ακριβώς αρχική, αλλά την ταχύτητα μετά από λίγο, όταν έχει σταθεροποιηθεί.
Αν αρχίσουμε τις προσεγγίσεις τις οποίες θέλουμε να κάνει και ένας μαθητής, πρέπει να είναι σαφείς και αδιαμφισβήτητες. Το να παίρνουμε το άθροισμα π.χ. των δύο ταχυτήτων ως πολύ μικρότερο από το άθροισμα των δύο ταχυτήτων:
Δεν μου εξασφαλίζει κάτι για την σύγκριση των υΕ και υ2 για παράδειγμα.
Το να υπολογίζω ταχύτητα τελικά στο δεξιό δοχείο δεχόμενος Bernoulli από την επιφάνεια στην έξοδο και στη συνέχεια να δέχομαι μια είσοδο νερού από έναν άλλο δρόμο, μας απομακρύνει πολύ από την θεωρία που καλούμαστε να εφαρμόσουμε. Δεν υπάρχει καμιά φλέβα και κανένας νόμος Bernoulli δεν μπορεί να εφαρμοστεί.
Αν τώρα αφήσουμε στην άκρη όλα αυτά και πάμε λίγο πρακτικά, μάλλον η ταχύτητα από την δεξιά τάπα είναι μεγαλύτερη, οπότε για να εξασφαλίζεται μια “ισορροπία” ανάμεσα στα δύο δοχεία, μάλλον βλέπω ροή, όπως την έχει σημειώσει ο Πρόδρομος, από αριστερά προς τα δεξιά.
Δεν ξέρω βέβαια για πόσο χρόνο μπορεί να συμβαίνει κάτι τέτοιο, αφού το κατέβασμα των δύο επιφανειών θα έχει διαφορετική επίδραση στις πιέσεις, αφού μπαίνει και η δύναμη του ελατηρίου, μεταβλητού μέτρου…
Καλημέρα Διονύση και Κώστα.
Ο προβληματισμός του Κώστα με ..προβλημάτισε, κι έτσι άλλαξα λίγο την εκφώνηση και τη λύση στα ερωτήματα 2 και 3. Τα ερωτήματα 1 και 4 μένουν ως έχουν.
Αφού συγκρατούμε το έμβολο ασκώντας δύναμη σε αυτό,( κάτι που το έθεσα και ως ερώτημα), η ροή γίνεται από το δεξί δοχείο προς τις οπές στα Τ1 και Τ2 !
Έτσι, έχουμε ροή από τον σωλήνα από το δεξί δοχείο προς το αριστερό, μέχρι να φτάσει η ελεύθερη επιφάνεια του δεξιού δοχείου στο ίδιο ύψος h2 του αριστερού. Μετά κατέρχονται και οι δύο επιφάνειες μαζί, μέχρι να αδειάσουν τα δοχεία , άρα δεν έχουμε ροή από την τάπα στο έμβολο, αλλά μόνο από την οπή στον πυθμένα του δεξιού δοχείου.
Η αρχική ταχύτητα του σωλήνα που συνδέει τα δοχεία, βρίσκεται με το νόμο της συνέχειας:
Ασ.υ=Αο.υ2 , όπου υ2=ρίζα[2g(h1-h2)]
Νομίζω τώρα ότι είναι εντάξει. Να είστε καλά.
Καλημέρα και πάλι Πρόδρομε.
Τώρα νομίζω ότι είναι απολύτως σωστή, αλλά κυρίως άσκηση που δεν θα κολλήσει ένας μαθητής, χωρίς να ξέρει, από πού να πιαστεί!
Άσκηση για επίλυση…
Την παίδεψα αρκετά Διονύση, στην αρχή για αλλού το πήγαινα και αλλού πήγα! Τώρα είναι μπορεί να την επιλύσει κάποιος υποψήφιος, χωρίς απαραίτητα να κάνει την ανάπτυξη που έκανα.
Είναι μια δύσκολη, ως συνήθως, άσκηση, που για μένα ξεχωρίζει το 1ο ερώτημα ως μη συνηθισμένο.
Δευτερευόντως το 2ο και το 3ο, και φυσικά το κλασσικό 4ο που είναι καθαρά α.α.τ.
Να είσαι καλά.
Καλημερα !
Προδρομε τωρα ειναι καλυτερα τα πραγματα .
Να προσεξεις το εξης : Ο αναγνωστης – λυτης διαβαζοντας την εκφωνηση δεν μπορει να ξερει την φορα της ροης κατι το οποιο ειναι πολυ σημαντικο για την επιλυση της ασκησης και μαλιστα των ερωτηματων που αφορουν τα υ1 και υ2 . Πρεπει να φτασει στο μετα απο το 2 ερωτημα να διαβασει αυτο που λες για την εξωτερικη δυναμη για να καταλαβει την φορα της ροης . Που ειναι ομως κατι σημαντικο για να υπολογισει τις ταχυτητες ! Εφοσον λοιπον υπαρχει μια τετοια ροη ειναι περιττο το ερωτημα για το αν υπαρχει ροη στο σωληνα που συνδεει τα δυο δοχεια .
Προσοχη στο σημειο που πας να βρεις την υΣ γραφεις :
=2⟹∙=2⟹=2/ 4=1 /s ομως το υ2=2m/s —> υΣ = 0.5 m/s
Φυσικα αυτες ειναι οι ταχυτητες με το που ξεκιναει η ροη . Αμεσως μετα μεταβαλλονται συνεχως μεχρι να φτασουμε στην κατασταση οπου το υγρο να ειναι στο ιδιο υψος και στα δυο δοχεια .
Προσοχη και στο εξης γραφεις : Για 0≤1<0,4⟹.=+.= Δηλαδη ; Αυτο αναφερεται σε ποια κατασταση ; Οταν το υγρο φτασει στο Δ1 στο ιδιο υψος με το Δ2 μετα ; Το σιγουρο ειναι οτι τα δοχεια θα αδειασουν . Επισης προσοχη στο οτι εχεις γραψει πως το εμβολο κλεινει αεροστεγως το Δ2 . Επομενως οταν το υγρο δεν θα ειναι σε επαφη με το εμβολο τοτε ισως στην κενη περιοχη να μην υπαρχει εγλωβισμενος αερας !
Μια προταση : Κλεισε την ταπα Τ2,δηλαδη δεν εχουμε ταπα Τ2 . Ανοιγουμε την Τ1 και ασκουμε καταλληλη δυναμη στο εμβολο ωστε το υψος h2 να παραμενει σταθερο . Ποια ειναι η αρχικη ταχυτητα εκροης απο την Τ1 ;
Αμεσως μετα εχουμε ως δεδομενο οτι η ταχυτητα εκροης απο την ταπα 1 δινεται απο την σχεση υ = υαρχ – κ*ψ , οπου υαρχ η ταχυτητα αμεσως μετα το ανοιγμα της ταπας , το ψ ειναι το υψος της ελευθερης επιφανειας του νερου με τιμες απο h1 εως h2 και το κ μια σταθερα . Να εκφραστει η Fεξ. που ασκουμε στο εμβολο μεχρι την στιγμη που το ψ = h2.
πιο πανω δεν εγινε σωστη αντιγραφη
Προσοχη στο σημειο που πας να βρεις την υΣ γραφεις :
=2⟹∙=2⟹=2/ 4=1 /s ομως το υ2=2m/s —> υΣ = 0.5 m/s
Κανονικα ειναι: ΠΣ = Πτ2 == ΑΣ *υΣ = Αο* υ2 ==> υΣ= υ2/4 = 1 m/s ομως το υ2=2m/s —> υΣ = 0.5 m/s
Κώστα καλησπέρα. Έκανα τη διόρθωση ως προς την ταχύτητα από τον σωλήνα.
Επίσης έβαλα στην εκφώνηση ότι το νερό που βγαίνει από την οπή στο έμβολο, απομακρύνεται αμέσως με αναρρόφηση. Οπότε, όταν η στάθμη του νερού φτάσει στο ύψος του εμβόλου, η οπή είναι ανοικτή και μπαίνει αέρας. Πράγμα που δεν εμποδίζει την κίνηση του υγρού, το οποίο κατέρχεται μαζί και στα δύο δοχεία.
Να είσαι καλά φίλε μου για την προσεκτική μελέτη σου, καθώς και τις εύστοχες παρατηρήσεις σου!!