“Εξαιρέσεις” στην αρχή του Fermat.

Γιάννη, αυτό που κάνεις μετακινώντας το Α το Λ και το Μ είναι να αλλάζεις το μήκος της διαδρομής ΑΛΜ. Όταν τα βάλεις σε ευθεία γίνεται ελάχιστο. Εμένα, όμως, με ενδιαφέρει ο ελάχιστος χρόνος διαδρομής. Σ΄ αυτές τις μελέτες έδειξα:

• Όταν οι ακτίνες εκπέμπονται από το Α και συλλέγονται στο Β, οι χρόνοι διαδρομής των ακτίνων είναι ίση.
• Σε σημείο του κύριου άξονα πριν το Β φτάνει μόνο μια ακτίνα: αυτή που ακολουθεί τον Κ.Α. Αν, κατά λάθος (της φύσης), έφτανε και άλλη ακτίνα από άλλη διαδρομή, ο χρόνος που θα έκανε θα ήταν μεγαλύτερος του χρόνου που κάνει η ακτίνα του Κ.Α.
• Σε σημείο του Κ.Α μετά το Β συμβαίνουν τα αντίθετα. Και κει φτάνει μόνο μια ακτίνα, αυτή του Κ.Α, αλλά, αντίθετα από την προηγούμενη, κάνει μέγιστο χρόνο.

Το κρίσιμο σημείο είναι ότι, σε προβλήματα διάθλασης, εν αντιθέσει με τα προβλήματα ανάκλασης, ακρότατος χρόνος δεν σημαίνει ακρότατη διαδρομή. Εκεί στηρίζεται η ιδέα των φακών: Αν τα Α και Β είναι στον Κ.Α, το διάστημα ΑΒ είναι το συντομότερο από το Α στο Β. Αλλά, ακολουθώντας η ακτίνα τον συντομότερο δρόμο, περνά από το μέγιστο πάχος φακού και εκεί χάνει πολύ χρόνο. Αν μια ακτίνα πάει από το Α στο χείλος του φακού κι από κει στο Β κάνει τη μεγαλύτερη διαδρομή. Αλλά δεν περνά από γυαλί ώστε να χάσει χρόνο. Στο τέλος της ιστορίας όλες οι ακτίνες κάνουν τον ίδιο χρόνο να πάνε από το Α στο Β.

Εγώ Γιάννη πάσχω από αστιγματισμό. Κάθε αντικείμενο σχηματίζει δυο είδωλα στο μάτι. Το δεύτερο είναι λίγο πιο πάνω από το πρώτο και είναι αχνό. Επειδή κατανοώ τους φακούς, «κατασκεύασα» μόνος μου τα γυαλιά μου. Να σου εξηγήσω τι εννοώ:

Όταν πήγα στο γιατρό να εξεταστώ, με έβαλε στην καρέκλα και στον τοίχο απέναντι (περίπου τρία μέτρα μακριά) μου πρόβαλε διάφορα σχήματα (πχ γράμματα) ενώ περνούσε διάφορους φακούς από τα μάτια μου για να δει με ποιόν τα έβλεπα καλύτερα. Όταν τελείωσε το τεστ, έγραψε τα αποτελέσματα σε δυο καρτούλες (μια για κάθε μάτι) και μου τις έδωσε να πάω στον οπτικό να παραγγείλω γυαλιά.

Όταν πήρα τα γυαλιά και τα έβαλα στα μάτια μου, διαπίστωσα ότι έβλεπα καθαρά τα μακρινά αντικείμενα μόνο. Τα κοντινά τα έβλεπα χειρότερα από πριν. Η κρίσιμη απόσταση ήταν το 1 μ.

Το λάθος του γιατρού ήταν ότι ο αστιγματισμός και η υπερμετρωπία που διέγνωσε ήταν σωστά, αλλά μόνο για αντικείμενα που ήταν μακριά από το μάτι μου. Αφού εγώ ήθελα να διορθώσω τον αστιγματισμό για να διαβάζω καλά τα γράμματα σε απόσταση 20-40 εκ., έπρεπε να μου κάνει τεστ βάζοντας με να διαβάζω γράμματα σε τέτοιες αποστάσεις. Τώρα θα έπρεπε να φτιάξω καινούργια γυαλιά για διάβασμα. Όμως εγώ δεν πήρα καινούργια γυαλιά. Προσάρμοσα αυτά που έφτιαξα. Μπορείς να φανταστείς πως το έκανα;

Τα μακρινά αντικείμενα εστίαζαν στο μάτι με τα γυαλιά. Τα κοντινά εστιάζουν πάντα σε πιο μεγάλη απόσταση από το φακό. Άρα εστίαζαν πίσω από το μάτι. Για να τα κάνω να εστιάσουν στο μάτι (δηλ. στον αμφιβληστροειδή) θα έπρεπε να ελαττώσω την εστιακή απόσταση. Έτσι πήρα τα γυαλιά πρεσβυωπίας που άφησε ο πατέρας μου, έβγαλα του φακούς και τους κόλλησα στους δικούς μου.

Και… Εγέννετο φως.

Γιάννη, είναι λάθος να μη λάβουμε υπ΄ όψιν το χρόνο διαδρομής στο φακό. Το φως επιβραδύνεται στο φακό γιατί n>1. Η εστίαση είναι το αποτέλεσμα αυτής της επιβράδυνσης. Αν ο χρόνος διαδρομής στο φακό δεν λαμβάνονταν υπ΄ όψιν τότε τίποτα δεν θα άλλαζε αν το φως στο φακό πήγαινε με c αντί να πάει με c/n. Τότε τίποτα δε θα άλλαζε αν ο φακός είχε n=1. Αλλά τότε θα είχαμε "φακό αέρα". Δηλαδή δε θα είχαμε φακό.

Υπολογίζω τους συνολικούς χρόνους από το Α στο Β που περιλαμβάνουν και το χρόνο που κάνει η ακτίνα να περάσει από το φακό. Μετά απαιτώ όλοι αυτοί οι χρόνοι να είναι ίσοι. Είναι χάρη στο n>1 που μπορούν να γίνουν ίσοι.