by 
Έστω ένα αβαρές, μη εύκαμπτο σύρμα και μια χάντρα μάζας m περασμένη σε αυτό. Περιστρέφουμε το σύρμα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω κάθετη στην επιτάχυνση της βαρύτητας όπως στο σχήμα. Παρακάτω μελετάω την κίνηση της χάντρας καθώς και την δυναμική της κατάσταση συναρτήσει του χρόνου.
ή
Καλημέρα Σπύρο.
Όσο περνάει ο καιρός, παρά το ότι με έχεις συνηθίσει, με εντυπωσιάζεις.
Ο ρυθμός εξέλιξής σου είναι τουλάχιστον εντυπωσιακός!
Το παρόν πρόβλημα απλοποιείται πάρα πολύ αν το αντιμετωπίσεις ως απλή εφαρμογή φυγοκέντρου. Το πολύ δύο ολοκληρώσεις.
Μια γεύση από φυγόκεντρο και Coriolis.
Αν αντιμετωπίσει κάποιος το πρόβλημα ως εφαρμογή της φυγοκέντρου θα δει εύκολα ότι υπάρχει μια θέση ασταθούς ισορροπίας.
Η τοποθέτηση του σώματος αρχικά (πριν ή μετά από αυτήν) δίνει δυο διαφορετικά προβλήματα. Στο ένα απομακρύνεται από το Ο και στο άλλο το πλησιάζει.
Άκυρο το περί ασταθούς ισορροπίας.
Παρεξήγησα το σχήμα.
Θα την ξαναδώ.
Καλημέρα κ. Γιάννη,
Ευχαριστώ πολύ για τα όμορφα λόγια!!
Δεν διάβασα ακόμα τον σύνδεσμο, θα τον δω αμέσως.
Στην χάντρα δεν ασκείται κάποια τριβή. Μόνο το βάρος της και η αντίδραση Ν κάθετη στο σύρμα. Οπότε η μόνη συνιστώσα στην ακτινική διεύθυνση είναι του βάρους. Άρα αν αρχικά η χάντρα είναι σε κάποια απόσταση από το Ο ακίνητη και αρχίζουμε να περιστρέφουμε το σύρμα, αυτή θα πλησιάζει στο Ο.
Γενικά η επιτάχυνση της είναι προς το 0. Φαίνεται από την διαφορική.
Σπύρο ευτυχώς απουσιάζει η τριβή.
Το λάθος που έκανα ήταν ότι νόμισα πως διαγράφει κωνική επιφάνεια.
Παραμένει στην ομάδα της φυγοκέντρου πάντως.
Έχει ενδιαφέρον και με κάνεις να πιάνω χαρτί και μολύβι.
Διερεύνηση θέλει διότι αν η ω είναι μεγάλη θα απομακρύνεται από το Ο.
κ. Γιάννη η κίνηση είναι περίπλοκη. Περιγράφεται όμως απόλυτα από τις διαφορικές που έχω βγάλει.
Η χάντρα μπορεί να απομακρυνθεί από το Ο, αφού σε κάποια άλλη θέση θα υπάρχει συνιστώσα βάρους που θα σπρώχνει προς τα κάτω. Με άλλα λόγια σε 2 τεταρτημόρια η επιτάχυνση είναι προς το Ο και στα άλλα 2 μακριά από το Ο. Αυτό φαίνεται από την εξίσωση της επιτάχυνσης, παρατηρήστε ότι είναι “περιοδική” αφού οι εκθετικοί παράγοντες δεν επηρεάζουν το συγκεκριμένο.
Με άλλα λόγια, ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες, η χάντρα μπορεί είτε να απομακρύνεται είτε να πλησιάζει το Ο είτε να κάνει και τα δύο έως κάποια στιγμή που θα φύγει ή θα φτάσει το Ο.
Μια λύση. Δες αν έκανα λάθος.
Έτσι (πάλι αν δεν έκανα λάθος φυσικά) έχουμε την συντεταγμένη r.
Η φ είναι καλά προσδιορισμένη. Δηλαδή φ=ω.t
Με την προϋπόθεση φυσικά ότι ένα μοτεράκι στρέφει το σύρμα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.
Είναι όμορφη λύση!!
Διορθώστε μόνο την λύση της διαφορικής γιατί αλλάζει το αποτέλεσμα. Μετά τους εκθετικούς όρους, είναι + το ημίτονο και όχι –
Αναλυτική λύση της ΔΕ έχω γράψει στην εργασία.
Παρατηρήστε ότι αν διορθώσετε την διαφορική, τότε το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγετε είναι το ίδιο με το δικού μου. Αρκεί να αντικαταστήσετε στο δικό μου τις αρχικές συνθήκες που γράψατε.
Φυσικά μπορούμε να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα είτε με Lagragian (όπως έκανα) είτε με φυγόκεντρο (όπως κάνατε) είτε με απλή εφαρμογή 2ου νόμου σε πολικές για αδρανειακό παρατηρητή.
Στην αρχή της εργασίας έχω βρει την επιτάχυνση του σώματος σε πολικές. Αν εφαρμόσουμε τον 2ο νόμο στην ακτινική διεύθυνση, προκύπτει κατευθείαν η διαφορική μας.
Έχεις δίκιο. Θέλει συν και όχι πλην.
Η διορθωμένη λύση.
Μπράβο και στους δύο σας!!!
Να είστε καλά κ. Πρόδρομε!