by 
Εκτός πεδίου βαρύτητας ένα σημειακό σώμα βάλλεται με ταχύτητα υ κάθετη στο ιδανικό λεπτό νήμα.
Το νήμα τυλίγεται σε κύλινδρο ακτίνας R.
Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου.
Σε πόσο χρόνο το σώμα θα χτυπήσει τον κύλινδρο;
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Καλησπέρα κ. Γιάννη.
Το πρωί με μπέρδεψε το γεγονός ότι η λύση σας γίνεται σε μια τετριμμένη θέση. Δεν προλάβαινα να το δω τότε, οπότε το κοίταξα αναλυτικά τώρα.
Σας έχει ξεφύγει κάτι. Το πρόβλημα είναι αρκετά πιο περίπλοκο. Παρόλα αυτά ερωτήματα όπως: Ποια η γωνιακή ταχύτητα όταν το σώμα χτυπά στον κύλινδρο ή ποια η τάση του σώματος στην τάδε θέση, μπορούν να απαντηθούν.
Ο χρόνος όμως δεν βρίσκεται αναλυτικά, απαιτεί αριθμητική ολοκλήρωση. Έχω γράψει λύση στο πρόβλημα και θα την ανεβάσω σε λίγο.
Το λάθος σας είναι ότι κοιτάζετε μόνο την αρχική θέση και όχι μια θέση που το νήμα έχει τυλιχθεί κατά μια γωνία φ. Σε αυτήν την τυχαία σχέση δεν ισχύει ταυτόχρονα
ημφ=R/r και dr/dt=-υσυνφ όπως γράφετε.
Αν φυσικά δεν μου έχει διαφύγει κάτι.
Καλησπέρα.
Υπάρχει μαθηματικό πρόβλημα στην λύση σας. Όταν παίρνετε μια στιγμιαία θέση, τότε η συσχέτιση αυτής με μια γενική συνάρτηση είναι αδύνατη.
Με άλλα λόγια υπάρχει loop στην απόδειξη. Η γωνιακή ταχύτητα ω δεν ισούται με την παράγωγο θ. Η παράγωγος θ εκφράζει την γωνιακή ταχύτητα του ακραίου σημείου επαφής.
Σπύρο γιατί να είναι η αρχική θέση;
Ποιος είπε ότι το νήμα δεν έχει ήδη τυλιχτεί κατά μία γωνία οιανδήποτε;
Υπόθεσε ότι είναι ήδη τυλιγμένο κατά 2π/3.
Το σχήμα μου αναφέρεται σε τυχαία χρονική στιγμή.
Τα L και r είναι L(t) και r(t).
Ο χρόνος βρίσκεται αναλυτικά. Δες και την απόδειξη του Θρασύβουλου.
Με πιο απλά λόγια, η αρχική χρονική στιγμή δεν διαφέρει από μία μεταγενέστερη ποιοτικά. Η ταχύτητα έχει ίδιο μέτρο.
Πάντως αναμένω τη λύση σου.
κ. Γιάννη αυτό που κάνετε είναι να αντιμετωπίζετε το πρόβλημα σε μια συγκεκριμένη θέση και να προσπαθείτε να εξάγετε γενικό συμπέρασμα από αυτό.
Είναι σαν να θέλουμε να παραγωγίσουμε μια συνάρτηση και αντί να παραγωγίζουμε πρώτα τον τύπο και μετά να βάζουμε την τιμή x=.. που θέλουμε, να παραγωγίζουμε κατευθείαν το f(5) π.χ.
Αλλά για να γίνω πιο αναλυτικός. Στο σχήμα παρακάτω οι γωνίες θ και φ δεν είναι ίσες Μόνο αν είναι ίσες ισχύει η σχέση ημφ=R/r και dr/dt=υσυνφ που γράφετε. Εφόσον δεν ισχύουν οι σχέσεις αυτές τότε αλλάζει όλη η λύση
Η απόδειξη του κ. Θρασύβουλου σφάλει στο γεγονός ότι η γωνιακή ταχύτητα ω δεν ίση με την παράγωγο θ. Αυτό το αναλύω στην ανάρτηση.
Σπύρο δεν ανέφερα κάποια γωνία θ.
Ασχολούμαι μόνο με τη φ η οποία είναι ίση με τη γωνία μεταξύ υ και V.
Οξείες με κάθετες πλευρές.
Ναι κ. Γιάννη αλλά μετά προχωράτε γράφοντας ότι ημφ=R/r.
Αυτό ισχύει μόνο στην θέση την οποία αντιμετωπίζετε στο σχήμα σας. Δείτε μια τυχαία θέση όπως αυτή του δικού μου σχήματος ή του κ. Θρασύβουλου. Δεν ισχύει ότι ημφ=R/r. Ισχύει ότι ημθ=R/r. Αλλά φ είναι διαφορετική της θ.
Γίνεται προσομοίωση στο πρόβλημα?
Σπύρο δεν σφάλει ο Θρασύβουλος.
Θα σου στείλω ένα σχήμα.
Το σχήμα:
Αν η γωνία dθ είναι στοιχειώδης, τότε τα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και οι γωνίες dθ kai dφ ίσες.
Εξ άλλου καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα που κατέληξα και εγώ που δεν χρησιμοποίησα την γωνία θ.
Τα πράγματα είναι απλά.
Πάρε το κείμενο που έγραψα και σημείωσε ποια από τις σχέσεις είναι λάθος.
Εγώ δεν επικαλέστηκα πουθενά την γωνιακή ταχύτητα ή το πόσο νήμα έχει τυλιχτεί. Η γωνία είναι για την στιγμή εκείνη ώστε να βρεθεί η σχέση dr/dt=-υ.R/r.
Αυτή την σχέση θα μπορούσα να την βγάλω και με όμοια τρίγωνα. Δεν μου χρειαζόταν το ημίτονο.
Αυτή η σχέση κ. Γιάννη δεν ισχύει γενικά. Ισχύει μόνο όταν το νήμα είναι οριζόντιο.
Για να πω καλύτερα αυτό που εννοώ. Πάρτε μια τυχαία θέση όπως στο σχήμα του κ. Θρασυβούλου. Μπορείτε να αποδείξτε ότι u=υR/r?
Θα δείτε ότι δεν ισχύει αυτή η σχέση γενικά. Μόνο όταν το νήμα είναι οριζόντιο όπως το δικό σας στην ανάρτηση.
Χρησιμοποιωντας τους συμβολισμους του κυριου Κυριακοπουλου οι παραμετρικες εξισωσεις της καμπυλης που διαγραφει το σωμα ειναι:
x=R(cost+tsint) , y=R(sint-tcost). Aποδεικνυεται με στοιχειωδη διαφορικη γεωμετρια οτι το Arc length της καμπυλης ειναι S=(Rt^2)/2
Η σχεση μεταξυ της παραμετρου t και του μηκους L ειναι L=Rt οποτε το Arc Length ειναι S=(L^2)/2R. Αυτο το μηκος το διανυει το σωμα με ταχυτητα σταθερου μετρου υ διοτι η ταση του νηματος δεν παραγει εργο. Αρα ο ζητουμενος χρονος ειναι t=S/υ ή
t=(L^2)/2Rυ. Αυτη βασικα ειναι ασκηση στοιχειωδους διαφορικης γεωμετριας Η λυση του κυριου Κυριακοπουλου ειναι σωστη και ο υπολογισμος του μπορει να αποτελεσει μια εναλακτικη μεθοδο υπολογισμου του μηκους τοξου της καμπυλης χωρις χρηση διαφορικης γεωμετριας.
Κάνεις λάθος Σπύρο.
Ισχύει γενικά.
Ευχαριστώ Κωνσταντίνε.