by 
Δοχείο εμβαδού βάσης , A=0,4m^2 βρίσκεται πάνω σε βάθρο ύψους h=1.25m και έχει στη βάση του μια μικρή οπή Ο εμβαδού Ao=1cm^2 που κλείνεται με τάπα. Αρχικά το δοχείο είναι άδειο . Δεύτερο μικρό δοχείο (1) μάζας m=0.5kg , ύψους h1=0,8m και πλάτους L=0,8m , βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση s από το Ο, και μπορεί να κινηθεί χωρίς τριβές . Ανοίγουμε τη βρύση , και όταν το νερό φτάσει σε ύψος H=1.8m , ανοίγουμε την τάπα (χρονική στιγμή to=0) έχοντας προηγουμένως ρυθμίσει τη βρύση σε παροχή Π ,τέτοια ώστε το ύψος του νερού στο δοχείο να είναι διαρκώς Η, και η φλέβα βρίσκει το σημείο Γ.
Θεωρούμε ότι μετά την ‘’κρούση’’ της φλέβας με το δοχείο, μηδενίζεται η ταχύτητά της.
Δίνονται: πυκνότητα νερού ρ=10^3kg/m^3 , και επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s^2 .
Υπολογίστε την τελική ταχύτητα V του δοχείου .
Είναι σωστή η παρακάτω λύση; λύση
Επισης στην διαφορικη εξισωση F=mα για να παρακαμψουμε τελειως τον χρονο πρεπει να γραψουμε
α=dυ/dt=(dυ/dx)(dx/dt)=υ(dυ/dx) οποτε προκυπτει η διαφορικη εξισωση F(υο-υ)= υ(dυ/dx), οπου υο ειναι η ταχυτητα, εξοδου του νερου.
η οποια ειναι διαφορικη εξισωση χωριζομενων μεταβλητων και ολοκληρωνεται ευκολα.
Δεν χρειαζεται να μεσολαβησει ο χρονος για να λυθει η ασκηση. Η ολοκληρωση γινεται απο μηδεν εως την αγνωστη τελικη ταχυτητα για την μια μεταβλητη,και απο μηδεν εως το ποσο προχωρησε το δοχειο για την αλλη μεταβλητη.
Δίκιο έχεις Κωνσταντίνε. Είναι και η dm/dt που βγάζει τη σχετική ταχύτητα.
Καλησπέρα Πρόδρομε, καλησπέρα και στην υπόλοιπη παρέα.
Στην παρακάτω εικόνα δίνω μία πιθανή αντιμετώπιση του θέματος. Συγκεκριμένα υπολογίζεται η δύναμη όταν μία δέσμη νερού προσπίπτει πάνω σε μία επιφάνεια και δημιουργεί δύο φλέβες παράλληλα σε αυτήν. Οι φλέβες θεωρούνται διδιάστατες για ευκολία (υποθέστε ότι στην κάθετη στην σελίδα διεύθυνση η διάστασή τους a είναι πολύ μικρότερη του πάχους τους h στο επίπεδο της σελίδας). Επίσης το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό.
ΥΓ: Δεν έχω στην διάθεσή μου υπολογιστή εδώ που είμαι, ελπίζω η εικόνα (φωτογραφία από κινητό) και τα γράμματά μου να “βγαίνουν” (δυστυχώς δεν γράφουμε όλοι όπως ο Ψυλάκος και ο Μητρόπουλος…).
Καλησπέρα Στάθη κι ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου.
Από την τελική σχέση που βγάζεις
παρατηρώ ότι είναι η ίδια σχέση που έβγαλα κι εγώ στη δεύτερη λύση.
Άρα στην ”κρούση” βάζουμε την κανονική παροχή Πο=Αο.υο , όπως την υπολόγισα εγώ, και όχι την Π=Α.υ(σχ.)=Α.(υο-v).
Τότε , αν δεν έκανα λάθος στους υπολογισμούς μου, πρέπει να έβγαλα σωστό αποτέλεσμα!
Πρόδρομε η αλήθεια είναι ότι όταν σκεφτόμουν το πρόβλημα, υπέθεσα σταθερό (ακίνητο) το εμπόδιο. Άρα η δύναμη που υπολογίζεται είναι η δύναμη μίας μόνιμης κατάστασης για την ροή. Αν το δοχείο είναι ελεύθερο να κινηθεί, η ροή καθίσταται μη μόνιμη, άρα η συγκεκριμένη λύση δεν ισχύει (λάθος η Bernoulli).
Είναι τόσες πολλές οι προσεγγίσεις που γίνονται ακόμη και στην μόνιμη εκδοχή του προβλήματος (οριζόντια φλέβα, το νερό δεν ανακλάται και δεν «πιτσιλά», αλλά συνεχίζει στρωτά στην διεύθυνση του εμποδίου), οπότε δεν συνέχισα για την μη μόνιμη εκδοχή του.
Θεωρώ πως αυτήν και παρόμοιες είναι ασκήσεις που δεν λύνονται αναλυτικά πέραν της υπέρ -απλούστευσης της μόνιμης κατάστασης (κατά την γνώμη μου καλό είναι να μην τις δούμε σε εξετάσεις, αν και είδα ένα παρόμοιο ερώτημα στο s4exams φέτος ).
Στάθη την έβαλα στο φόρουμ για ..εσωτερική κατανάλωση, για τους καθηγητές.
Αν ήταν ακίνητη η επιφάνεια, δεν υπάρχει θέμα. Το θέμα, όπως σε αυτή, η λύση της δεν αντιμετωπίζεται όπως την έγραψα με την πρώτη λανθασμένη (ενσυνείδητα )λύση!
Έχω απομακρυνθεί (χρονικά!) από την Πανεπιστημιακή Φυσική, και δυσκολεύομαι να τα χειριστώ όπως εσείς οι νεότεροι.
Αναρωτιέμαι αν η δύναμη που ασκεί το νερό στην επιφάνεια του δοχείου είναι
είναι σωστό; Τη συνέχισα και , αν δεν έκανα λάθος έβγαλα t=0,15s που νομίζω ότι έχει λάθος. Αν μπορείς να το δεις , θα σου ήμουν υπόχρεος!
Καλό βράδυ.
Kυριε Προδρομε το dt στον παρανομαστη της πρωτης σειρας ισουται με
dx/(υο-υ) οποτε F=ρΑ(υο-υ)^2. Το F=ρΠ(υο-υ)^2 δεν ειναι και διαστατικα σωστο δεν δινει Newton
Ευχαριστώ Κωνσταντίνε, έχεις δίκιο.
Προσπαθώ να λύσω το πρόβλημα με τις νέες συνθήκες.
Αν θέλεις το λύνεις πλήρως με τη δύναμη F=ρΑ(υο-υ)^2 και τη γράφεις εδώ , θα τη λύσω κι εγώ .
Υ.Γ. θα σε παρακαλούσα να με αποκαλείς σκέτα Πρόδρομος, νοιώθω καλύτερα. Να είσαι πάντα καλά.
Πιστεύω ότι η σωστή λύση είναι η παρακάτω!
Kαλημέρα Πρόδρομε. Βρισκουμε το ιδιο.Aυτο ειναι το σωστο αποτελεσμα.Αν θελεις μπορεις να επαληθευσεις με calculator οτι η αλγεβρικη εξισωση στην οποια καταληγω οντως ικανοποιειται απο την τιμη υ=2.8m/s.Εγω παρακαμπτω τον χρονο και λυνω μια διαφορικη εξισωση χωριζομενων μεταβλητων f(υ(x),dυ(x)/dx)=0
Καλημέρα Κωνσταντίνε. Ωραία και συνοπτική η λύση σου, συγχαρητήρια!
Δεν γλυτώνεις ούτε τα ολοκληρώματα ούτε και τις διαφορικές!
Η δεύτερη και σωστή λύση που πρόσθεσα και πρόσθεσες, αλλά και έθιξε και ο Διονύσης, απαιτεί ως ταχύτητα ”κρούσης” της φλέβας με το δοχείο, τη σχετική ταχύτητα στον οριζόντιο άξονα υο-v η οποία είναι μεταβλητή λόγω της επιταχυνόμενης κίνησης του δοχείου, που είναι μειούμενη διαρκώς.
Η πρώτη λάθος λύση που έβαλα (επίτηδες), είναι για να αποφύγει κάποιος να μη το προσέξει και κάνει την κίνηση του δοχείου επιταχυνόμενη ομαλά.
Οι ενδεδειγμένες ασκήσεις του είδους, με ”κρούση” φλέβας υγρού με επιφάνεια ακίνητη, λύνονται σχετικά εύκολα! Δες και στο study4exams , έβαλαν στο Γ4 να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί η φλέβα στην κατακόρυφη ακίνητη επιφάνεια του δοχείου! Υπάρχει.. δεδικασμένο, άρα κάτι σχετικό είναι στη ζώνη επικινδυνότητας!
Να έχεις μια καλή μέρα.
Eυχαριστώ Πρόδρομε.Aυτη η λυση ειναι αρκετα ακριβης. Δεν εχει γινει καμμια χονδροειδης παραδοχη. Oταν ενα water jet χτυπαει καθετα πανω σε μια ακινητη επιφανεια,το νερο χανει σχεδον ολη την ορμη του κατα μηκος της καθετης στην επιφανεια παρα τα καποια “splashes” που υπαρχουν.Οταν η επιφανεια κινειται,οπως στο συγκεκριμενο προβλημα,τοτε παλι το νερο χανει ολη την ορμη του κατα τον ιδιο αξονα, ως προς ενα παρατηρητη που βρισκεται πανω στην επιφανεια.