by 
Ενας κυκλικος αγωγιμος βροχος μαζας m εμβαδου Α και αντιστασης R,πεφτει κατακορυφα,απο μεγαλο υψος σε χωρο οπου υπαρχει ομογενες πεδιο βαρυτητας εντασης g και μαγνητικο πεδιο εντασης Β, χρονικά σταθερό.Το διανυσμα Β εχει κατακορυφη συνιστωσα,το μετρο της οποιας ειναι αναλογο του υψους z,με συντελεστη αναλογιας την θετικη σταθερα c.Καθως πεφτει ο αγωγος,το επιπεδο του παραμενει συνεχως οριζοντιο.
1. Να δειξετε οτι η ενταση του μαγνητικου πεδιου εχει αναγκαστικα και οριζοντια συνιστωσα.
2.Να υπολογισετε την μεγιστη ταχυτητα που θα αποκτησει ο αγωγος.
Καλησπερα.Η λυση θα ανεβει σε λιγη ωρα.
Γεια σου Κωνσταντίνε.
Πολύ έξυπνη και πρωτότυπη για τα λυκειακά δεδομένα η άσκηση, τουλάχιστον ως προς το πρώτο ερώτημα.
Ως προς το δεύτερο σκέφτομαι τα εξής.
Βάζω το Α προς τα κάτω να συμφωνεί με την φορά του επαγωγικού ρεύματος με βάση τον κανόνα του δεξιού χεριού (δεν αλλάζει η ουσία). Θα έχουμε την μαγνητική ροπή μ στην διεύθυνση και φορά του Α. Θα υπάρξει μια ροπή Μ=μ x B η οποία θα περιστρέψει το πλαίσιο φέρνοντας το Α στην διεύθυνση του Β (γενικά για γωνία 00 μεταξύ Α και Β ευσταθής ισορροπία για γωνία 1800 ασταθής ). Μετά από κάποιες μικροταλαντώσεις θα έχουμε έναν επίπεδο ρευματοφόρο αγωγό με το επίπεδό του κάθετο στο Β. Ξέρουμε σε αυτή την περίπτωση ότι η συνισταμένη δύναμη από το Μ.Π. είναι μηδέν, άρα η μόνη δύναμη που δέχεται είναι το βάρος του, δηλαδή θα κάνει ελεύθερη πτώση.
Καλησπερα Αρη.Το πρωτο ερωτημα ειναι δικο μου.Χαιρομαι που σου αρεσε.Και εγω νομιζω οτι εχει ενδιαφερον.Το δευτερο ερωτημα ειναι απο εξετασεις στο Moscow Phys-Tech, και υπαρχει στο βιβλιο https://dejanphysics.files.wordpress.com/2016/10/cahn_1.pdf
pr. 3.36.Εγω εχω τροποποιησει καπως την διατυπωση.
To μαγνητικο πεδιο που εχω δωσει εχει φορα προς τα πανω και το μετρο του ελατωνεται καθως κινουμαστε προς τα κατω.Αρα καθως πεφτει ο δακτυλιος,η ροη ελλατωνεται.Αρα ο δακτυλιος θα δημιουργησει δικο του Β προς τα πανω και η μαγνητικη του ροπη θα ειναι προς τα πανω,δηλ.ομοροπη με το ηδη υπαρχον Β.Αρα η ισορροπια ως προς τις στροφες του δακτυλιου καθως πεφτει ειναι ευσταθης.Δεν παιζει ρολο προς τα που θα ορισεις το διανυσμα της επιφανειας.Η φυση αποφασιζει μονη της.Το πρωτο ερωτημα που σου αρεσε,εγω θα το διατυπωνα ως αυτουσια ασκηση που θα ελεγε: “Nα αποδειξετε οτι δεν υπαρχει μαγνητικο πεδιο της μορφης Β(r)=Bx(x,y,z)i oπου η συναρτηση Bx(x,y,z) να εχει σαφη εξαρτηση απο το x.”(Στο Bx το x ειναι δεικτης).Η διατυπωση αυτη ομως ειναι πολυ δυσκολη για το Λυκειο αν δεν δωσουμε Hint που να λεει να θεωρησουμε εναν κινουμενο δακτυλιο σαν αυτον της ασκησης.
Γεια σου Κωνσταντίνε, μια άποψη για το πρόβλημα που έθεσες:
Αν πάρουμε το νόμο του Gauss για το μαγνητικό πεδίο και
θεωρήσουμε έναν “κοντό κύλινδρο , θα πρέπει η ροή από τις βάσεις και την παράπλευρη επιφάνεια να είναι μηδέν. Αν δεν υπήρχε ακτινική συνιστώσα η ροή από την πάνω βάση δεν θα αντιστάθμιζε τη ροή από την κάτω.
Βρίσκω (αν δεν έχω κάνει λάθος) Β ακτινικό προς το κέντρο = (c/2)*ρίζα(Α/π). Σε αυτό το πεδίο οφείλεται η δύναμη Laplace που αντιστέκεται στην πτώση.
Η επαγόμενη μεταβαλλόμενη τάση προκύπτει =c v Α
Το μεταβαλλόμενο ρεύμα Ι=c v Α/R.
Τελική ταχύτητα προκύπτει όταν βάρος = δύναμη Laplace και = (m g R)/(c^2 A^2)
Καλημέρα Κωνσταντίνε και Δημήτρη.
Η βασική διαφορά μας για το δεύτερο ερώτημα λύθηκε για εμένα.
Και στο αρχικό βιβλίο υπάρχει η φράση-περιορισμός-υπόθεση «The loop of diameter D is always parallel to the plane.» και εσύ στην εκφώνηση σου το μεταφέρεις «Καθως πεφτει ο αγωγος,το επιπεδο του παραμενει συνεχως οριζοντιο.» (θεωρώ πιο σωστό θα ήταν διατυπωμένο «να θεωρήσετε ως δεδομένο ότι καθώς,,,,,,,» ) οπότε η λύση είναι αυτή που γράφεις ή η αντίστοιχη του Δημήτρη.
Εγώ μην προσέχοντας αυτό το δεδομένο –δικαίωμα του συγγραφέα- απάντησα στο τι θα γίνει κατά την άποψή μου αν αφεθεί ελεύθερος ο δακτύλιος.
Υποθέτω ότι συμφωνούμε ότι τότε θα περιστραφεί και θα κατεβαίνει όντας κάθετος στο εκάστοτε Β άρα με συνολική Laplace μηδέν.
Να πω εδώ ότι υπάρχει ένα μικρό προβληματάκι, κατά την άποψή μου, στο τρόπο των ρώσων. Ναι μεν είναι Ι=Αcu/R αλλά η Laplace θα είναι
F=IB2πr =Ikz2πr= Αcukz2πr /R αλλά τότε μεγαλώνει το u αλλά μικραίνει το z και έχω πρόβλημα αν και πότε αυτή θα εξισωθεί με το βάρος. Αυτός είναι ο λόγος υποθέτω που ξανά στην εκφώνηση βλέπουμε το «is falling from a great height h » ώστε η αύξηση της ταχύτητας να καλύψει την μείωση του z.
Στον τρόπο του Δημήτρη αυτό ξεπερνιέται, νομίζω.
Κωνσταντίνε και με πιο απλή διατύπωση, περίπου αυτή που έχεις και εδώ, θα μπορούσε να αυτονομηθεί το πρώτο ερώτημα, που πράγματι είναι πολύ καλό για προβληματισμό των παιδιών.
Καλησπέρα σε όλους,
Έστω ένα μαγνητικό πεδίο που έχει Β(z) συνιστώσα ίση με αυτήν της άσκησης, και ακτινική συνιστώσα Β(ρ). Η επαγωγική ΗΕΔ είναι Ε=A.dB(z)/dt.
Για να παραμένει το πλαίσιο οριζόντιο, πρέπει να υπάρχει οριζόντια συμμετρία του μαγνητικού πεδίου ως προς το κέντρο του αγωγού, δηλαδή ένα οποιαδήποτε ακτινικό πεδίο Β(ρ)=Β.διαν(ρ), διατηρεί τον αγωγό οριζόντιο. Ταυτόχρονα αυτό το πεδίο δημιουργεί και δύναμη προς τα πάνω στον αγωγό.
Άρα, θα μπορούσαμε να έχουμε ένα οσοδήποτε μεγάλο ακτινικό πεδίο, και ο αγωγός θα παρέμενε οριζόντιος, θα κινούνταν προς τα κάτω λόγω βαρύτητας, και θα δέχονταν δύναμη Laplace προς τα πάνω, έως ότου αυτές θα γινόταν ίσες (mg=FL).
Με την λογική όμως που χρησιμοποιείται στην απάντηση τόσο του κ. Κωνσταντίνου όσο και του συνδέσμου, το ακτινικό πεδίο Β(ρ) παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή.
Σπύρο κάτι δεν καταλαβαίνω.
Ένα πεδίο με κατακόρυφη και οριζόντια συνιστώσα κάθε μορφής έχει διεύθυνση τελικά μη κατακόρυφη. Το δαχτυλίδι που διαρρέεται από ρεύμα είναι ένα μαγνητικό δίπολο με συγκεκριμένη μαγνητική ροπή. Τι μπορεί να εμποδίσει την ευθυγράμμιση της μαγνητικής ροπής με το Β ώστε το ελεύθερο δαχτυλίδι να μείνει οριζόντιο;
Καλησπέρα παιδιά.
Σκόφτομαι ότι, για να μεγαλώνει το Β με το ύψος, πρέπει να πυκνώνουν οι δυναμικές γραμμές. Επομένως να είναι καμπύλες. Επομένως να υπάρχει συνιστώσα οριζόντια.
κ. Άρη εννοώ ότι υπάρχουν άπειρα πεδία για τα οποία το δαχτυλίδι να είναι οριζόντιο. Σε κάθε ένα από αυτά μπορούμε να κάνουμε την ακτινική συνιστώσα όσο μεγάλη θέλουμε. Αυτό σημαίνει ότι εφόσον η δύναμη Laplace εξαρτάται από το ακτινικό πεδίο, τότε μπορούμε να κάνουμε και την δύναμη Laplace όσο μεγάλη θέλουμε.
Το ρεύμα όμως εξαρτάται από την ταχύτητα (σύμφωνα με Faraday). Αν συνδυάσουμε όλα τα παραπάνω, παρατηρούμε ότι η εξίσωση κίνησης mg-FL=mα, εξαρτάται από το ακτινικό πεδίο. Συνεπώς για α=0 (οριακή ταχύτητα), είναι mg=FL, όπου το FL, εξαρτάται από το ακτινικό πεδίο.
Έτσι, για διάφορα ακτινικά πεδία, έχουμε διαφορετικές οριακές ταχύτητες. Οπότε το ερώτημα “2.Να υπολογισετε την μεγιστη ταχυτητα που θα αποκτησει ο αγωγος.”, νομίζω, ότι αδυνατεί να απαντηθεί άμα δεν γνωρίζουμε την μορφή του ακτινικού πεδίου, γιατί στην άσκηση δίνεται μόνο το Β(z)
Άρα η σωστή διατύπωση της ερώτησης κατά την άποψη μου, θα έπρεπε να είναι “να βρεθεί για ποιο ακτινικό μαγνητικό πεδίο, ο αγωγός αποκτά την μέγιστη δυνατή ταχύτητα”.
Γεια σου Σπύρο.
Αμφιβάλλω αν μπορούμε να κάνουμε την ακτινική συνιστώσα όο μεγάλη θέλουμε. Ας μην ξεχνάμε ότι διπλασιασμός του z σημαίνει διπλάσια πυκνότητα δυναμικών γραμμών. Οπότε ακτινική συνιστώσα όχι όση θέλουμε.
Δηλαδή όσο μεγαλύτερη η c τόσο μεγαλύτερη η ακτινική συνιστώσα.
κ. Γιάννη ποιος μας απαγορεύει να βάλουμε όποια τιμή θέλουμε στην ακτινική συνιστώσα?
Εμάς μας νοιάζει το πλαίσιο να είναι οριζόντιο (ισχύει για κάθε ακτινική συνιστώσα).
κ. Γιάννη, το Β(z) δεν είναι ανεξάρτητο της ακτινικής συνιστώσας?
Ας είναι όσο θέλει το Β(z), αυτό πως επηρεάζει την ακτινική συνιστώσα?
Ισχύει Β(z)=cz, και όχι Βολ=cz.
Από εκεί και πέρα, άμα επιθυμούμε να βρούμε το ακτινικό Β για το οποίο έχουμε την μέγιστη ταχύτητα, τότε είναι προφανές ότι το ακτινικό πεδίο θα εξαρτάται από το c.
Στην εκφώνηση που διαβάζω, τα δεδομένα είναι Β(z)=cz, και δαχτυλίδι οριζότνιο.
Μπορώ να βρω άπειρα ακτινικά πεδία που να ικανοποιούν το παραπάνω.
Ο περιορισμός Σπύρο μας το απαγορεύει.
Θέλουμε η Β(z) να είναι ανάλογη του z
Για να μεγαλώσει το Β(z) πρέπει να μεγαλώσει το Β, δηλαδή να πυκνώσουν οι δυναμικές γραμμές. Ταυτόχρονα να παραμείνουν συνεχείς καμπύλες.