Εφόσον το κέντρο μάζας ισορροπεί η συνισταμένη των τριών δυνάμεων πρέπει να είναι μηδέν. Με δεδομένο ότι οι δύο είναι διαδοχικές πλευρές του τριγώνου (διαδοχικά διανύσματα) με μέτρα όσο τα μήκη τους η τρίτη για μηδενικό άθροισμα πρέπει να κλείνει το τρίγωνο, και άρα θα πρέπει να έχει μέτρο σε Ν όσο το μήκος και διεύθυνση τη διεύθυνσή της (δηλ. η τρίτη πλευρά του τριγώνου)
Η ροπή της κάθε δύναμης ως προς το κέντρο μάζας θα είναι η δύναμη (πλευρά τριγώνου) επί την απόσταση του κέντρου μάζας από την πλευρά του τριγώνου, που λόγω θεωρήματος Θαλή (σημείο τομής διαμέσων) θα ισούται με τα 2/3 του αντίστοιχου ύψους. Το γινόμενο όμως αυτό δεν είναι παρά τα 2/3 του εμβαδού του τριγώνου. Έτσι όλες οι δυνάμεις έχουν την ίδια ροπή ως προς το κέντρο μάζας και η συνολική ροπή τριπλάσια της μιας. Το ύψος πχ από το Α ισούται με γημΒ=βημΓ.
Έτσι: αγ=[3 (2/3)υα]/Ιcm=[2αγημΒ]/Icm = 2αβημΓ/Ιcm. Τα υπόλοιπα ομοίως.
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Κωνσταντίνος (Ντίνος) Σαράμπαλης
Χωρίς ημίτονα:
Μεταφέρουμε την F2 εκεί που τελειώνει η F1. Καταλήγει στο Β.
Για να είναι μηδέν η συνισταμένη θα πρέπει η F3 να είναι ίση με το ΒΑ διάνυσμα.
Οι τρεις δυνάμεις έχουμηδενική συνισταμένη, άρα ισοδυναμούν με ζεύγος.
Έτσι η ροπή τους είναι ίδια ως προς οιοδήποτε σημείο. Δηλαδή είναι όσι η ροπή τους ως προς το σημείο που τελειώνει η F1.
Επομένως είναι ίση με το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου.
Μια διόρθωση διότι εξέλαβα (απρόσεκτος) την πλάκα ως ομογενή, λάθος που μου το επεσήμανε ο Αρτέμιος (μέσω mesenger).
Έτσι η 2η απάντηση είναι λάθος.
Παρόλα αυτά, συνεχίζοντας στο ίδιο μοτίβο, αν το κέντρο μάζας είναι οπουδήποτε μέσα στο τρίγωνο και φέρουμε τους βραχίονες ροπής των τριών δυνάμεων (οι τρεις πλευρές του τριγώνου), δηλ.. τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από το κέντρο μάζας προς κάθε πλευρά, τότε το εμβαδόν του κάθε ενός τριγώνου (από τα τρία) που σχηματίζεται ισούται αριθμητικά με τη ροπή της αντίστοιχης δύναμης. Έτσι η συνολική ροπή ως προς το σταθερό κέντρο μάζας, ανεξαρτήτως θέσης του, ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ που ισούται με το ½ επί τη μια πλευρά επί το αντίστοιχο ύψος, πχ με βάση την α έχουμε (1/2)αγημΒ ή (1/2)αβημΓ.
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Κωνσταντίνος (Ντίνος) Σαράμπαλης
Διόρθωση στη διόρθωση.
Αν και η λύση του Διονύση είναι η πιο σύντομη (και ευφυής χρησιμοποιώντας το γνωστό θεώρημα) επιμένοντας στον τρόπο που ξεκίνησα διορθώνω.
file:///C:/Users/Dinos/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png
Η δύναμη F1 ασκείται στο Α και δεν είναι η ΒΓ (το λάθος). Αν G το κέντρο μάζας τότε η ροπή της ως προς G θα είναι η δύναμη επί το ΑΔ το οποίο μπορούμε να γράψουμε ως δύναμη επί τη διαφορά ΑΕ-ΔΕ=ΑΕ-GZ. Το πρώτο γινόμενο (επί τη δύναμη) είναι το διπλάσιο του τριγώνου ΑΒΓ και το δεύτερο το διπλάσιο του GΒΓ.
Αθροίζοντας για όλες τις δυνάμεις έχουμε 6 φορές το εμβαδόν του τριγώνου μείον δύο φορές (GAB+GΓΑ+ΓΑΒ), άρα η συνολική ροπή είναι 4 φορές το εμβαδόν του τριγώνου.
Έτσι: συν. Ροπή=4 (1/2)(ΑΕ).(ΒΓ)=2(γημΒ).α, κλπ
Καλό μεσημέρι συνάδελφοι. Αν κάποιος συνάδελφος θέλει να βάλει την ερώτηση στο σχολείο του, καλό θα είναι να την αλλάξει λίγο. Μπορεί να βάλει ορθογώνια ισοσκελή πλάκα.
by 
Αφιερωμένη στο Γιάννη Μπατσαούρα.
Μια γρήγορη απάντηση χωρίς σχήμα.
Εφόσον το κέντρο μάζας ισορροπεί η συνισταμένη των τριών δυνάμεων πρέπει να είναι μηδέν. Με δεδομένο ότι οι δύο είναι διαδοχικές πλευρές του τριγώνου (διαδοχικά διανύσματα) με μέτρα όσο τα μήκη τους η τρίτη για μηδενικό άθροισμα πρέπει να κλείνει το τρίγωνο, και άρα θα πρέπει να έχει μέτρο σε Ν όσο το μήκος και διεύθυνση τη διεύθυνσή της (δηλ. η τρίτη πλευρά του τριγώνου)
Η ροπή της κάθε δύναμης ως προς το κέντρο μάζας θα είναι η δύναμη (πλευρά τριγώνου) επί την απόσταση του κέντρου μάζας από την πλευρά του τριγώνου, που λόγω θεωρήματος Θαλή (σημείο τομής διαμέσων) θα ισούται με τα 2/3 του αντίστοιχου ύψους. Το γινόμενο όμως αυτό δεν είναι παρά τα 2/3 του εμβαδού του τριγώνου. Έτσι όλες οι δυνάμεις έχουν την ίδια ροπή ως προς το κέντρο μάζας και η συνολική ροπή τριπλάσια της μιας. Το ύψος πχ από το Α ισούται με γημΒ=βημΓ.
Έτσι: αγ=[3 (2/3)υα]/Ιcm=[2αγημΒ]/Icm = 2αβημΓ/Ιcm. Τα υπόλοιπα ομοίως.
Θα πρέπει να έχουμε το αντίστοιχο τριγωνο των δυνάμεων (για ΣF=0) , άρα το γ;
Καλησπέρα σε όλους,
Μία σκέψη κι από μένα:
Εφόσον CM ακίνητο → ΣF = 0 → Στ ίδια ως πτος οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου των δυνάμεων.
Οπότε: Στ(CM) = Στ(Γ) = F1h1 + F2h2 = αβημΓ + βαημΓ = 2αβημΓ
και: αγων = 2αβημΓ / Ιcm , σωστή η (iii)
Χωρίς ημίτονα:
Μεταφέρουμε την F2 εκεί που τελειώνει η F1. Καταλήγει στο Β.
Για να είναι μηδέν η συνισταμένη θα πρέπει η F3 να είναι ίση με το ΒΑ διάνυσμα.
Οι τρεις δυνάμεις έχουμηδενική συνισταμένη, άρα ισοδυναμούν με ζεύγος.
Έτσι η ροπή τους είναι ίδια ως προς οιοδήποτε σημείο. Δηλαδή είναι όσι η ροπή τους ως προς το σημείο που τελειώνει η F1.
Επομένως είναι ίση με το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου.
Δηλαδή:
Μια διόρθωση διότι εξέλαβα (απρόσεκτος) την πλάκα ως ομογενή, λάθος που μου το επεσήμανε ο Αρτέμιος (μέσω mesenger).
Έτσι η 2η απάντηση είναι λάθος.
Παρόλα αυτά, συνεχίζοντας στο ίδιο μοτίβο, αν το κέντρο μάζας είναι οπουδήποτε μέσα στο τρίγωνο και φέρουμε τους βραχίονες ροπής των τριών δυνάμεων (οι τρεις πλευρές του τριγώνου), δηλ.. τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από το κέντρο μάζας προς κάθε πλευρά, τότε το εμβαδόν του κάθε ενός τριγώνου (από τα τρία) που σχηματίζεται ισούται αριθμητικά με τη ροπή της αντίστοιχης δύναμης. Έτσι η συνολική ροπή ως προς το σταθερό κέντρο μάζας, ανεξαρτήτως θέσης του, ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ που ισούται με το ½ επί τη μια πλευρά επί το αντίστοιχο ύψος, πχ με βάση την α έχουμε (1/2)αγημΒ ή (1/2)αβημΓ.
Μια διόρθωση Ντίνο:
Το εμβαδόν κάθε τριγώνου είναι το μισό της ροπής.
Ο Αρτέμης ευχαριστεί όλους τους συμετέχοντες στην συζήτηση σε μήνυμα.
Εμποδίζεται από τεχνικά κωλύματα να το κάνει εδώ.
Γιάννη, έχεις δίκιο. Η βιασύνη γαρ. Προσπάθησα να το διορθώσω (το είδα αμέσως), αλλά δεν μου επέτρεπε το σύστημα. Συνεχίζω αύριο.
Καλησπέρα σε όλους.
Αρτέμη, ωραίο πρόβλημα!
Μία λύση και από μένα.
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλημέρα Αρτέμη.
Σε ευχαριστώ για την αφιέρωση.
Διόρθωση στη διόρθωση.
Αν και η λύση του Διονύση είναι η πιο σύντομη (και ευφυής χρησιμοποιώντας το γνωστό θεώρημα) επιμένοντας στον τρόπο που ξεκίνησα διορθώνω.
file:///C:/Users/Dinos/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png
Η δύναμη F1 ασκείται στο Α και δεν είναι η ΒΓ (το λάθος). Αν G το κέντρο μάζας τότε η ροπή της ως προς G θα είναι η δύναμη επί το ΑΔ το οποίο μπορούμε να γράψουμε ως δύναμη επί τη διαφορά ΑΕ-ΔΕ=ΑΕ-GZ. Το πρώτο γινόμενο (επί τη δύναμη) είναι το διπλάσιο του τριγώνου ΑΒΓ και το δεύτερο το διπλάσιο του GΒΓ.
Αθροίζοντας για όλες τις δυνάμεις έχουμε 6 φορές το εμβαδόν του τριγώνου μείον δύο φορές (GAB+GΓΑ+ΓΑΒ), άρα η συνολική ροπή είναι 4 φορές το εμβαδόν του τριγώνου.
Έτσι: συν. Ροπή=4 (1/2)(ΑΕ).(ΒΓ)=2(γημΒ).α, κλπ
Καλό μεσημέρι συνάδελφοι.
Αν κάποιος συνάδελφος θέλει να βάλει την ερώτηση στο σχολείο του, καλό θα είναι να την αλλάξει λίγο. Μπορεί να βάλει ορθογώνια ισοσκελή πλάκα.