by 
Στο σχήμα απεικονίζονται δύο κύλινδροι μικρού πάχους (Κ,R), (Λ,2R) και μία ράβδος σε ισορροπία σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Όλες οι επαφές έχουν τον ίδιο συντελεστή οριακής τριβής μ.
Βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής ώστε να ισορροπεί το σύστημά τους.
Εξαρτάται αυτός από τις μάζες των στερεών;
Δίνεται ότι συν(2θ)=2(συνθ)^2-1 και ημ2θ=2ημθσυνθ
Απαντήσεις εδώ
αφιερωμένη στον Θανάση Βλάχο και Θρασύβουλο Πολίτη
Καλησπέρα Θανάση κι ευχαριστώ για το σχόλιο.
Ως προς αυτό που λες, κάνοντας ένα πρόχειρο σχήμα, βλέπω ότι είναι δυνατόν να ισορροπούν. Δεν έκανα πράξεις. Ίσως κάποια στιγμή να λύσω το θέμα σου.
Να είσαι καλά.
Κύριε Πρόδρομε, κάνοντας μια πρόχειρη επίλυση βρήκα κι εγώ συντελεστή τριβής √8 ή 2,82 κι επίσης βρίσκω ότι το Κ.Β. της δοκού (ή σανίδας) πρέπει να είναι ακριβώς ανάμεσα στα σημεία επαφής με τους κυλίνδρους, αλλιώς δεν διατηρείται η ισορροπία του συστήματος.
Καλησπέρα κύριε Πρόδρομε, και φίλοι της σελίδας. Εφόσον ισορροπεί το σύστημα, θεωρώ ότι η δοκός πιέζει κάθε κύλινδρο με μία κατακόρυφη δύναμη W/2. Αφού λοιπόν κάθε κύλινδρος δέχεται δύο κατακόρυφες δυνάμεις (η αντίδραση του λείου δαπέδου μόνο κατακόρυφη μπορεί να είναι) παράλληλες μεταξύ τους, δημιουργείται ροπή η οποία για να αντισταθμιστεί χρειάζεται να δράσει σε κάθε κύλινδρο μια τρίτη δύναμη επίσης κατακόρυφη. Το σημείο εφαρμογής είναι το σημείο επαφής των κυλίνδρων μεταξύ τους. Βρίσκοντας γεωμετρικά την γωνία κλίσης Φ του διακέντρου ίση με 19,47°, βρίσκουμε εύκολα ότι ο συντελεστής τριβής είναι √8 ή 2,82. (κάπως αφύσικος στην πραγματικότητα). Ο μικρός κύλινδρος λειτουργεί ως μοχλός Α’ είδους (το υπομόχλιο ενδιάμεσα), και ο μεγάλος κύλινδρος λειτουργεί ως μοχλός Γ’ είδους (η δύναμη ενδιάμεσα). Παρατηρούμε ότι και οι δύο “μοχλοί” έχουν την ίδια σχέση μοχλισμου. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα θα ισορροπεί μόνο αν η δοκός πιέζει ισόποσα τους κυλίνδρους. Το άθροισμα των αντιδράσεων από το δάπεδο είναι ίσο με το βάρος της δοκού ( θεώρησα αμελητέο το βάρος των κυλίνδρων). Επισυνάπτω μία φωτογραφία (σε δύο κομμάτια) της επίλυσή μου.
Το δεύτερο κομμάτι της φωτογραφίας.
.
Καλησπέρα σε όλους
Θανάση, πολύ καλή η προσέγγισή σου!
Πάνω σε αυτήν βασίστηκα για την ακόλουθη λύση.
Να’σαι καλά!
Για το ανάποδο σύστημα και για w1>>w2 :
.
Π.χ. για w1=25w2 και w2=w , είναι μmin=1,2√2
Καλησπέρα σε όλους. Θρασύβουλε σ’ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σου, να είσαι πάντα καλά! Θα ήθελα να προσθέσω ότι αν μειωθεί η ακτίνα του μικρού κυλίνδρου στο 1/3 της ακτίνας του μεγάλου κυλίνδρου, η γωνία κλίσης της διακέντρου ΛΚ γίνεται φ=30°, και ο ελάχιστος συντελεστής τριβής μ=√3.
Ευχαριστώ πολύ!
Καλημέρα Θανάση.
Ευφυέστατη η λύση σου!!!
Γλυτώνεις πολλές πράξεις.
Τώρα την είδα και έμεινα έκπληκτος!
Να είσαι πάντα καλά κι ευχαριστώ. Θα τη γράψω σαν εναλλακτικό τρόπο, ίσως σήμερα.
Θρασύβουλε καλημέρα κι ευχαριστώ για την εκ νέου ενασχόληση σου με το θέμα, στη βάση της ιδέας του Θανάση.
Να είσαι πάντα καλά.
Καλημέρα Θανάση Βλάχο και Θρασύβουλε Πολίτη.
Πρόσθεσα και τη λύση σας κάνοντας ένα συγκερασμό τους , έτσι ώστε να είναι προσιτός στους μαθητές.
Σας αφιερώνω την ανάρτηση ως ελάχιστο φόρο τιμής για την ενασχόλησή σας!
Να είσαστε πάντα καλά.
Καλημέρα κύριε Πρόδρομε! Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια, χαίρομαι που σας άρεσε η λύση μου! Να είστε πάντα καλά!!!
Ευχαριστώ Πρόδρομε, με τιμά!
Κύριε Πρόδρομε, από την μεριά μου θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για την προσθήκη που κάνατε στην αρχική σας επίλυση. Πάντως θα ήθελα να διευκρινίσω ότι το επάγγελμά μου είναι οδηγός στον Δήμο όπου διαμένω. Απλά λατρεύω την Φυσική, την Γεωμετρία, και την Μηχανολογία. Σχετικά με την τελευταία είχα λάβει στο παρελθόν δίπλωμα ευρεσιτεχνίας από τον Ο.Β.Ι. για ένα σύστημα συνεχώς μεταβαλλόμενης σχέσης μετάδοσης, χωρίς χρήση συμπλέκτη.