Ένας δακτύλιος «κυλίεται» ανάποδα

Ένας λεπτός και ομογενής δακτύλιος μάζας M = 2kg και ακτίνας R = 1,5m έχει αμελητέο πάχος σε σχέση με την ακτίνα του. Ο δακτύλιος βρίσκεται πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του Ο με στροφορμή κατά τον άξονα περιστροφής του που έχει μέτρο L = 9kgm²/s. Η στροφορμή του δακτυλίου έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδό του και φορά από το Ο προς τον αναγνώστη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δακτύλιος έρχεται σε επαφή με το έδαφος στο σημείο Α, το οποίο απέχει από ένα λείο κατακόρυφο τοίχο απόσταση d = 7,5m.

Τη χρονική στιγμή t = 0 δίνουμε στον δακτύλιο μία οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ_Ο = 3m/s και με φορά προς τον τοίχο, όπως στο σχήμα.

Α.        Να αποδείξετε ότι για το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του δακτυλίου και το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου του Ο ισχύει η σχέση υ_Ο = ωR.

Β.        Να χαρακτηρίσετε το είδος της κίνησης που εκτελεί ο δακτύλιος και να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας των σημείων Α, Β, Γ και Δ αυτού, όπου η ΑΒ είναι μία κατακόρυφη διάμετρός του και η ΓΔ μία οριζόντια διάμετρός του.

Γ.        Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή της κρούσης του δακτυλίου με τον κατακόρυφο τοίχο και να περιγράψετε το είδος της κίνησης που θα εκτελέσει μετά την κρούση, εάν αυτή θεωρηθεί ελαστική.

Δ.        Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής και τη μεταβολή της στροφορμής (κατά τον άξονα περιστροφής) του δακτυλίου λόγω της κρούσης του με τον τοίχο.

Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

Η συνέχεια…