by Ένα σώμα Σ μάζας 2kg, εκτελεί αατ στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.
- Να αποδείξετε ότι το ύψος h του σώματος από το έδαφος, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
- Αν η γραφική παράσταση του ύψους του σώματος από το έδαφος είναι της μορφής του παραπάνω σχήματος, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.
- Αφού βρεθεί η εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο (Κ=Κ(t)), να γίνει η γραφική της παράσταση.
- Αν τη χρονική στιγμή t1=1s το σώμα Σ συγκρουστεί πλαστικά με ένα άλλο σώμα Σ1 το οποίο κινείται κατακόρυφα, τότε η γραφική παράσταση του ύψους με το χρόνο, παίρνει την μορφή του παρακάτω σχήματος. Ζητούνται:
α) Η μάζα του σώματος Σ1.
β) Η ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
γ) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την πλαστική κρούση, μεταξύ των δύο σωμάτων.
Δίνεται π2=10 και g=10m/s2.
ή
Καλημερα Διονύση. Δεν εχω διαβασει ακομα ολη την ασκηση εχω μια απορια στο πρωτο ερωτημα.Το ερωτημα αυτο ειναι ερωτημα μαθηματικων καθαρα,οχι φυσικης και για να απαντηθει μας χρειαζεται ο ορισμος της αρμονικης συναρτησης.Δεν ξερω τι μαθαινουν τα παιδια στα μαθηματικα τους στο Λυκειο αλλα αρμονικες συναρτησεις λεγονται αυτες που ικανοποιουν την εξισωση Laplace.Δεν ημουνα τελειως σιγουρος κοιταξα βιβλια για να το επιβεβαιωσω.Ετσι η συναρτηση x=sint δεν ειναι αρμονικη. Δεν ξερω τι υπαρχει στην ελληνικη βιβλιογραφια Μαθηματικων αλλα το ερωτημα αυτο μαλλον μπαινει σε ξενα χωραφια.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Άρα η απλή αρμονική ταλάντωση, δεν είναι αρμονική;
Δεν ξέρω αν μπαίνει σε ξένα χωράφια ή απλά λέει αυτό που διδάσκεται στο σχολείο στη Φυσική.
Από την wikipedia, αφού αναφέρει την εξίσωση Laplace:
Ο όρος “αρμονική” στην ονομασία αρμονική συνάρτηση προέρχεται από την αρμονική κίνηση στην οποία υποβάλλεται ένα σημείο σε μια τεντωμένη χορδή. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης για αυτόν τον τύπο κίνησης μπορεί να εκφραστεί με όρους ημιτόνων και συνημιτόνων, συναρτήσεις δηλαδή που αναφέρονται ως αρμονικές.
Οι ορισμοι στα μαθηματικα δεν προκυπτουν ετσι.Το οτι η κινηση χ=Αημt λεγεται αρμονικη ταλαντωση δεν προυποθετει οτι η συναρτηση χ=Αημt λεγεται αρμονικη συναρτηση.Πουθενα το βιβλιο φυσικης δεν λεει ποιες λεγονται αρμονικες συναρτησεις ουτε αυτο διδασκεται στην φυσικη.Τα Μαθηματικα τι λενε.
Ειναι πολυ τεχνικο ζητημα Μαθηματικων και για αυτο ειπα οτι μπαινει σε ξενα χωραφια.Παντως στην Φυσικη δεν Διδασκεται.
Αναζήτησα διαδικτυακά μια μαθηματική αναφορά πάνω στο θέμα.
Βρήκα:
Το αρχείο εδώ.
Αλλά και μια συζήτηση στο mathematika:
Η ερώτηση:
και η απάντηση:
Πρέπει να πάρεις τα πράγματα με τη σειρά. Ασχολείσαι με εξισώσεις Laplace, ξέρεις ότι η sinx είναι αρμονική και δεν μπορείς να αποφανθείς για το αν είναι αρμονική η 3sinx;
Διονυση οι συζητησεις μεταξυ τυχαιων ανθρωπων στο ιντερνετ δεν λενε τιποτα.Αν τα βιβλια μαθηματικων του Λυκειου γραφουν οτι οι συναρτησεις ημ,συν ειναι αρμονικες τοτε παω πασο.Δεν το ξερω.Στην παγκοσμια βιβλιογραφια οι αρμονικες συναρτησεις οριζονται αλλοιως και οι συναρτησεις ημ,συν δεν ικανοποιουν τον ορισμο.Παντως μια τετοια ερωτηση δεν ειναι ερωτηση εντος υλης Φυσικης Γ Λυκειου.Δεν μπορω να το εξηγησω πιο απλα.Εδω εισαι τρομερα ευαισθητος και δεν βαζεις την υπογραφη σου σε ερωτηση προφανως εντος υλης που ρωταει τι θα κανει στροφικα ενα σωμα αν αφεθει να κινηθει μεσα στο ομογενες πεδιο βαρυτητας και βαζεις την υπογραφη σου εδω οπου η ερωτηση ειναι τελειως εκτος πλαισιου Φυσικης?
Εντάξει Κωνσταντίνε επιμένεις ότι η ερώτηση που έβαλα στην άσκηση, είναι εκτός πλαισίου Φυσικής.
Μπορώ να έχω το δικαίωμα να έχω αντίθετη άποψη;
Οι φίλοι που μας διαβάζουν, νοήμονες άνθρωποι είναι, ας αποφασίσουν και ας ονομάζουν την συνάρτηση x=Aημωt ως αρμονική συνάρτηση ή ας μην την ονομάζουν και ας κρατήσουν τον ορισμό για τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση:
Προσωπικά κρατώ την ετυμολογία του όρου, όπως την δίνει η wikipedia (το έδωσα και παραπάνω):
“Ο όρος “αρμονική” στην ονομασία αρμονική συνάρτηση προέρχεται από την αρμονική κίνηση στην οποία υποβάλλεται ένα σημείο σε μια τεντωμένη χορδή. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης για αυτόν τον τύπο κίνησης μπορεί να εκφραστεί με όρους ημιτόνων και συνημιτόνων, συναρτήσεις δηλαδή που αναφέρονται ως αρμονικές.”
Αποδίδοντας αρμονία, στην “πιο όμορφη καμπύλη” , όπως έγραφε και ο Ανδρέας:
Το πρώτο μάθημα στη φυσική και «η ωραιότερη καμπύλη του κόσμου“
Εγω Διονυση ειμαι πιστος στην αποψη μου οτι οι ορισμοι με βαση τους οποιους συζηταμε με τους μαθητες μας ειναι αυτοι οι οποιοι υπαρχουν στα επισημα σχολικα βιβλια. Αυτο παντα ειναι το βασικο μου επιχειρημα Και εδω,και στην ΑΑΤ και σε μια συζητηση που γινεται τωρα παρραλληλα σε αναρτηση του Θοδωρη.Η μονη περιπτωση ορισμου που εχω διαφοροποιηθει απο το σχολικο ειναι το Free Fall. Αν εσυ τις συναρτησεις ημ συν τις ονομαζεις αρμονικες απο τοτε που ησουνα στον Καισαρα Αλεξοπουλο και τωρα σου ειναι δυσκολο να αλλαξεις αυτο ειναι αλλο θεμα.
Αρμονική συνάρτηση
Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι οι ίδιες συναρτήσεις, η μία είναι αποτέλεσμα της μετατόπισης της άλλης.
Παρατηρήθηκε ότι ισχύει cosx=sin(x+π/2). Επιπλέον, στη μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων, όπως η απλή αρμονική ταλάντωση εμφανίζονται συναρτήσεις της μορφής sin(x+α), όπου α μπορεί να είναι οποιαδήποτε γωνία (σε ακτίνια).
Έτσι, μπορεί να οριστεί μια τριγωνομετρική συνάρτηση, η αρμονική συνάρτηση, η οποία είναι της παραμετρικής μορφής sin(x+α).
Ουσιαστικά η αρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση ημίτονο μετατοπισμένη στον άξονα x’x κατά -α μονάδες.
Πεδίο ορισμού της αρμονικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (sin(x+α))’=sin(x+α+π/2), δηλαδή η παράγωγός της αρμονικής συνάρτησης είναι αρμονική συνάρτηση. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα [-α,2π-α) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση ημίτονο είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [-α,π/2-α], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2-α,π-α], γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [π-α,3π/2-α], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [3π/2-α,2π-α). Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή 1 στο π/2-α, ελάχιστο την τιμή -1 στο 3π/2-α και δύο σημεία καμπής, ένα στο -α και ένα στο π-α.
Η αρμονική συνάρτηση έχει άπειρα σημεία συμμετρίας, όλες τις ρίζες της. Επιπλέον έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας, όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από τα μέγιστα και τα ελάχιστά της.
Με βάση τον ορισμό της αρμονικής συνάρτησης προκύπτει ότι οι συναρτήσεις sinx, cosx, -sinx, -cosx, είναι περιπτώσεις της αρμονικής συνάρτησης. Επιπλέον, η αρμονική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως cos(x+α). Ανεξάρτητα ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιηθεί ως βάση για τον ορισμό της το νόημα είναι ότι οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο, όπως και άλλες παρόμοιες συναρτήσεις, είναι παραμετρικές μορφές της ίδιας συνάρτησης.
Καλησπέρα Διονύση και Κωνσταντίνε.
Η άσκηση είναι όμορφη και η συζήτηση
αναλώνεται στο αν η θέση του σώματος από το έδαφος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου κλπ!
Χωρίς να ανατρέξω σε βιβλία μαθηματικών, ξέρω από τη θεωρία του βιβλίου της φυσικής Γ, ότι οι σχέσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης που δίνουν την απομάκρυνση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη συνισταμένη δύναμη είναι αρμονικές συναρτήσεις του χρόνου. x=Aημ(ωt+φο).
Δεν ξέρω αν το ύψος h=H+Aημ(ωt+φο)
μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι λόγω της σταθεράς Η.
Ίσως έπρεπε να τεθεί διαφορετικά η ερώτηση, δηλαδή να ζητηθεί ότι η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου, και να ζητηθεί η απομάκρυνση του σώματος από το έδαφος ως συνάρτηση του χρόνου καθώς και η γραφική παράσταση της.
Κατά τα άλλα ερωτήματα, η άσκηση διδάσκει αρκετά πράγματα που αξίζει να διδαχθεί στους υποψηφίους..
Kαλησπερα Προδρομε.Δεν διαφωνω σε κατι.Απλως λεω οτι η ερωτηση αυτη αφορα ορολογια των μαθηματικων και αρα ειναι εκτος υλης.Δεν εχω δει καπου στο βιβλιο Φυσικης της Γ να γραφει οτι τα μεγεθη που ταλαντωνονται ειναι αρμονικες συναρτησεις του χρονου.Ισως μου διαφευγει.Το τι γραφουν διαφορα σαιτ στο ιντερνετ δεν με ενδιαφερει.Με ενδιαφερει τι γνωριζει ο μαθητης που ερωταται.Αν το παμε αυστηρα μαθηματικα τοτε οι τριγωνομετρικες συναρτησεις δεν ικανοποιουν τον ορισμο των αρμονικων συναρτησεων και αρα δεν ειναι αρμονικες συναρτησεις.Ανοιξα δεκα βιβλια μαθηματικων απο το πρωι.Εγω παντως την αντιρρηση μου δεν την βασισα σε αυτο.Την βασισα στο οτι η ερωτηση μπαινει σε ξενα χωραφια.Ως προς την αξια της ασκησης δεν αμφιβαλλω καθολου οπως αλλωστε ολες οι ασκησεις του Διονυση.
Κωνσταντίνε καλησπέρα.
Τώρα είδα τον διάλογο με τον Διονύση περί αρμονικών συναρτήσεων και πραγματικά…με ξεπερνάει η τοποθέτησή σου.
Δεν είναι το ότι κανείς μαθητής δεν θα μπερδευτεί γιατί δεν ξέρει τον αυστηρό ορισμό των αρμονικών ως λύσεων της Laplace -αν τον ήξερε θα υπήρχε πρόβλημα-, είναι κυρίως πόσο σοβαρή είναι η όποια πιθανή, κατά την άποψή σου, αβαρία στην αυστηρή μαθηματική ορολογία, στο νοητικό μαθησιακό πλαίσιο που πρόδηλα κινείται η άσκηση και την στόχευση της.
Ειλικρινά αυτόματα μου πέρασε από το νου η εξής εικόνα. Είμαστε εποχή μνημονίων σε κάποια πλατεία μοιράζεται φαγητό σε ανθρώπους που το έχουν ανάγκη, περνά όμως κάποιος άνθρωπος που ίδιος κάνει διατροφή εκείνο τον καιρό και κάνει παρατήρηση στους μαγείρους ότι οι μερίδες έχουν πολλά λιπαρά με βάση τα θέσφατα της υγιεινής διατροφής.
Υποθέτω ότι εκτιμάς την ειλικρινή αν και συναισθηματική αντίδρασή μου, ξέροντας πολύ καλά την εκτίμησή μου στο πρόσωπό σου.
Φυσικα Αρη αμοιβαια η εκτιμηση. Το ποια ειναι αρμονικη συναρτηση και ποια οχι ειναι εκτος πλαισιου μιας ερωτησης φυσικης Γ Λυκειου.Αυτο ειπα και ημουν σαφης.Ολοι οι μαθητες θα μπερδευτουν οχι διοτι ξερουν τον σωστο ορισμο αλλα γιατι δεν ξερουν κανεναν ορισμο και τετοιος ορισμος δεν προκυπτει απο πουθενα στο βιβλιο φυσικης της Γ.Και εν παση περιπτωσει το να αποδειχθει οτι μια συναρτηση ειναι αρμονικη ειναι καθαρα θεμα Μαθηματικων και οχι Φυσικης.Τετοιο θεμα θα ειχε διορθωθει στο πρωτο δεκαλεπτο αν ειχε πεσει πανελληνιες.Ελπιζω να με καταλαβαινεις.
Κωνσταντίνε σκέφτομαι ως εξής. Καλά ή κακά από την αυστηρή μεριά των μαθηματικών, την λέξη αρμονική την έχουν ακούσει τα παιδιά κατά κόρον στην αατ όπου βασιλεύουν οι τριγωνομετρικές και μάλιστα κατά το σχολικό
«Αν η απομάκρυνση x του σώματος δίνεται από τη σχέση
X=ημωt 1.1
η κίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση.»
δηλαδή ο όρος αρμονική συνδέεται άμεσα με την τριγωνομετρική, άρα τουλάχιστον κατ’ οικονομίαν που λένε και οι νομικοί εκεί θεωρώ βέβαιο ότι θα πάει το μυαλό τους.
Ας πούμε σκέφτομαι αν αντί για την λέξη αρμονική έλεγε περιοδική –που νομίζω δεν έχει πρόβλημα από μαθηματική άποψη- θα ήταν πιο οικείο για τα παιδιά;
Θα άξιζε τον κόπο να την δώσετε οι μάχιμοι σε κάποια τμήματα να κάνουμε μια στατιστική αν υπάρξουν μαθητές που θα αντιδράσουν.