by Ένα σώμα Σ μάζας 2kg, εκτελεί αατ στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.
- Να αποδείξετε ότι το ύψος h του σώματος από το έδαφος, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
- Αν η γραφική παράσταση του ύψους του σώματος από το έδαφος είναι της μορφής του παραπάνω σχήματος, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.
- Αφού βρεθεί η εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο (Κ=Κ(t)), να γίνει η γραφική της παράσταση.
- Αν τη χρονική στιγμή t1=1s το σώμα Σ συγκρουστεί πλαστικά με ένα άλλο σώμα Σ1 το οποίο κινείται κατακόρυφα, τότε η γραφική παράσταση του ύψους με το χρόνο, παίρνει την μορφή του παρακάτω σχήματος. Ζητούνται:
α) Η μάζα του σώματος Σ1.
β) Η ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
γ) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την πλαστική κρούση, μεταξύ των δύο σωμάτων.
Δίνεται π2=10 και g=10m/s2.
ή
Αρη η κριτικη που εκανα αφορα μονο την υποψηφιοτητα της ερωτησης ως ερωτηση πανελληνιων εξετασεων.Τα παιδια δεν προκειται να αντιδρασουν απλως δεν θα απαντησουν.Η περιοδικη συναρτηση ειναι εννοια που διδασκεται στα Μαθηματικα στο Λυκειο αυτο το ξερω σιγουρα.Ομως το βιβλιο Φυσικης της Γ μιλαει για περιοδικα φαινομενα οχι για περιοδικες συναρτησεις.Παντως ναι θα ηταν πιο οικειο για τα παιδια και παντως ειναι σωστο το οτι η συναρτηση f(t)=c+ ημt ειναι περιοδικη. Παντως ουτε με αυτην την ερωτηση συμφωνω δηλαδη να λεει αποδειξτε οτι η συναρτηση ειναι περιοδικη διοτι ειναι ερωτηση μαθηματικων.Τελευταιως εχει συζητηθει αρκετα μεταξυ μας το αν το ενα η το αλλο θεμα επιτρεπεται να ερωτηθει η οχι.Χρησιμοποιειται συχνα εδω η λεξη “νομιμοτητα.” Μια αμαζη ραβδος εχει στροφορμη? Ενα σωμα που ενω ειναι αρχικα ακινητο,αν αφεθει να κινηθει μεσα στο ομογενες πεδιο βαρυτητας τι θα κανει γωνιακα? Αυτες για μενα ειναι ερωτησεις που με δεδομενη την υλη των εξετασεων,μπορει καλλιστα να ερωτηθουν.Ομως υπαρχει η αποψη οτι μπορει καποιοι καθηγητες να μην εχουν προετοιμασει σωστα τους μαθητες τους για τετοιες ερωτησεις και για αυτον τον λογο δεν ειναι δικαιο να ερωτηθουν.Στα πλαισια αυτου του πνευματος,δεν ειναι λογικο να μπει ως θεμα εξετασεων η αποδειξη του οτι μια συναρτηση ειναι αρμονικη,η οποια τελικα καταληγει να ειναι της μορφης c+ ημt. Δες μια συζητηση εδω. Εντός και εκτός ύλης ερωτήσεις.
Θεωρούσα μέχρι τώρα, χωρίς να το ψάξω ιδιαίτερα, ότι οι συναρτήσεις που περιγράφουν τις αρμονικές κινήσεις, θα έπρεπε να είναι συνώνυμες με τ όνομα αυτών των κινήσεων
Απ τον Κωνσταντίνο έμαθα ότι αρμονικές συναρτήσεις είναι εκείνες που ικανοποιούν την εξίσωση Λαπλάς
Κοίταξα τα γνωστά πανεπιστημιακά βιβλία εισαγωγικής φυσικής και διαπίστωσα ότι τα περισσότερα αποφεύγουν να αποδώσουν τον οποιοδήποτε χαρακτηρισμό στις εξισώσεις που περιγράφουν τον αρμονικό ταλαντωτή (Χαλιντέι, Σεργουέι, Φορντ, Μπέρκλεϊ, Φάινμαν)
Υπάρχει βέβαια ένα που ρητά ονομάζει αυτές τις συναρτήσεις αρμονικές (Οχανιάν) κι άλλο ένα (Αλόνσο – Φιν) που διαχωρίζει τους όρους της γενικευμένης εξίσωσης που περιγράφει αυτή την ομάδα των κινήσεων σε αρμονικούς όρους, αυτούς που αντιπροσωπεύουν την αρμονική ταλάντωση, απ τους άλλους που περιγράφουν την εξαναγκασμένη
Καταφεύγω στην ιστορία της συγκεκριμένης ορολογίας για να διαπιστώσω αν η μικρή απόκλιση που διαπίστωσα στα βιβλία φυσικής οφείλεται σε αβλεψία ή σε κάτι άλλο
Ο χαρακτηρισμός των συγκεκριμένων κινήσεων ως αρμονικών οφείλεται στον Χόιχενς που το 1673 διαπίστωσε ότι η κίνηση σώματος σε κυκλοειδές έχει ημιτονοειδή περιγραφή και την χαρακτήρισε ως αρμονική
Τον επόμενο αιώνα προτάθηκε απ τον Λαπλάς η εξίσωση που επαληθεύεται από μια ομάδα συναρτήσεων που ονομάστηκαν αρμονικές
σχετικά με την ονοματοδοσία αυτών των συναρτήσεων διάβασα ότι αν η κάθε παράμετρος x, y, z συναρτήσεων που ακολουθούν την εξίσωση Λαπλάς μετασχηματιστεί κατάλληλα, γίνεται ισόμορφη με την εξίσωση του … αρμονικού ταλαντωτή και γι αυτό οι συναρτήσεις που επιβεβαιώνουν την εξίσωση Λαπλάς λέγονται αρμονικές
παραθέτω το κρίσιμο εδάφιο
και την πηγή:
The Laplace Equation and Harmonic Functions – MathPages
επιχειρώ να απλοποιήσω: οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν αρμονικές έχοντας νονό τον αρμονικό ταλαντωτή, αλλά οι εξισώσεις που περιγράφουν τον αρμονικό ταλαντωτή δεν εντάσσονται σ αυτές
που έγινε το μπέρδεμα; στους συγγραφείς φυσικής που δεν σεβάστηκαν την μαθηματική ορολογία ή στην μαθηματική ορολογία που ευθέως παραπέμπει στη φυσική και μπερδεύει τους δάσκαλους φυσικής χωρίς εμπειρίες απ την μαθηματική ορολογία και γι αυτό την αγνόησαν ο Οχανιάν και οι Αλόνσο – Φιν;
Σ αυτές τις περιπτώσεις τα διλήμματα που εγείρονται, απαντώνται απ τις πρακτικές που συνήθως εφαρμόζονται
Δηλαδή θα συνεχίσω να αναφέρομαι στις συναρτήσεις που περιγράφουν τον αρμονικό ταλαντωτή ως αρμονικές, γιατί δεν σκόνταψα μέχρι τώρα ποτέ ούτε σε ζητήματα κατανόησης ούτε στα άλλα που τα βαφτήσαμε “νομιμότητας”
χωρίς από δω και πέρα να ξεχνώ αυτά που έμαθα απ τον Κωνσταντίνο για την συνώνυμη μαθηματική ορολογία
Καλημέρα Πρόδρομε και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Πάνω σε αυτό που λες, ας πάρουμε μια παραβολή. Είναι η πρώτη καμπύλη στο παρακάτω σχήμα, όπου δίνει την μετατόπιση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα ομαλά μεταβαλλόμενα.
Και αν ορίσουμε εμείς ένα σύστημα αξόνων, όπως στα επόμενα σχήματα, η καμπύλη παύει να είναι παραβολή και να περιγράφει την παραπάνω κίνηση; Επειδή κάποιος όρισε αυθαίρετα την αρχή των αξόνων, αλλάζει και το όνομα ή η μορφή της καμπύλης;
Ας έρθουμε σε μια αρμονική καμπύλη, όπως στο πρώτο σχήμα.
Η καμπύλη είναι μια αρμονική. Παύει να είναι η ίδια καμπύλη στα επόμενα σχήματα όπου έχουμε ορίσει ένα σύστημα αξόνων; Δεν είναι η ίδια;
Και με την ευκαιρία: Στο τελευταίο σχήμα έχουμε μια ημιτονοειδή ή μια συνημιτονοειδή καμπύλη;
Άρη και Γιώργο σας ευχαριστώ για τις παρεμβάσεις και τις τοποθετήσεις.
Γιώργο τα ευρήματά σου είναι εντυπωσιακά! Ποιες συναρτήσεις ονομάζονται αρμονικές και ποιες όχι;
Μια συνάρτηση f(x,y,z)=Α(x)Β(y)Γ(z), μπορεί να ονομασθεί «αρμονική» επειδή αν υποστεί κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία, μπορεί να καταλήξουμε σε επιμέρους μορφές:
Όπου θυμίζουν την αρμονική κίνηση!!!
Και επειδή κάτι θυμίζει την διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί μια αρμονική ταλάντωση, οι μαθηματικοί ονόμασαν αυτές τις συναρτήσεις αρμονικές!!!
Και για το λόγο αυτό, όταν εγώ χρησιμοποιώ στην ταλάντωση τον όρο «αρμονική συνάρτηση», κάνω λάθος γιατί «προσβάλω» όλα τα βιβλία των μιγαδικών συναρτήσεων!!!
Καταπληκτικό….
Καλησπέρα Συνάδελφοι
Αυτά για τις αρμονικές συναρτήσεις στα μαθηματικά πράγματι δεν τα ήξερα ή δεν τα θυμάμαι ( μα καθόλου ). Κάτι μάθαμε λοιπόν.
Αλλά
Τα πάντα είναι μαθηματικά;.
Δηλαδή;
Με δεδομένο ότι οι παρατηρητές 1(0,0) , 2(-5,0) , 3(-5,-3) , και 4 είναι μεταξύ τους ακίνητοι
τότε δεδομένου ότι
Ο 1 παρατηρεί την κίνηση x1= 2t και την χαρακυρίζει Κίνηση Ευθ. Ομαλή
Τότε
α) Ο 2 που παρατηρεί την ίδια κίνηση με εξίσωση x2=5+2t πρέπει να αποδείξουμε ότι η κίνησή που παρατηρεί χαρακτηρίζεται και πάλι ως Ευθ. Ομαλή ; o.k. εύκολο
β) Ο 3 που παρατηρεί την ίδια κίνηση με εξίσωση (x,y) 3=(5+2t ,3) πρέπει να αποδείξουμε ότι και αυτή χαρακτηρίζεται ως ευθ. Ομαλή. o.k. δεν είναι δύσκολο
γ) Ο 4 που παρατηρεί την ίδια κίνηση με εξίσωση
(r,φ)= ( sqrt{(3^2) +(4*t^2)} , (π/2 –τοξεφ{3/2t}) πρέπι να αποδείξουμε ότιkai ο 4 πρέπει να χαρακτηρίσει την κίνηση που βλέπει ως Ευθ. Ομαλή;
Η Φυσική δεν προβλέπει ότι ακίνητοι μεταξύ τους παρατηρητές βλέποντας την ίδια κίνηση πρέπει να την χαρακτηρίζουν με τον ίδιο τρόπο ; Μόνο τα μαθηματικά θα απαντήσουν; Και αν δεν ξέρουμε που βρίσκεται ο παρατηρητής 4 και ποια εξίσωση γράφει τότε πως πρέπει να χαρακυρίσει ο παρατηρητής 4 που παρατηρεί την ίδια κίνηση με (τον ακίνητο ως προς αυτόν) παρατηρητή 1 δεν μπορούμε να απαντήσουμε ;
Νομίζω πως δεν είναι έτσι ή δεν θα έπρεπε να είναι έτσι .
Καλημέρα Μήτσο.
Σε ευχαριστώ για τον σχολιασμό και την παρέμβαση.