by 
Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 100N/m, που το πάνω άκρο του είναι ακλόνητα δεμένο στο ταβάνι, είναι προσαρμοσμένο σώμα, μάζας m = 1kg και ισορροπεί ακίνητο. Απομακρύνουμε το σώμα κατά A0 = 2m, από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο, χωρίς αρχική ταχύτητα. Εκτός από τη δύναμη επαναφοράς F=-kx , υπάρχει δύναμη τριβής αντίθετη της ταχύτητας της μορφής F=-bυ .Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με σταθερά απόσβεσης b = 2kg/s, η οποία θεωρείται «μικρή» για τις συνθήκες του προβλήματος.
Η συνέχεια…
Καλημέρα Στάθη. Αν και στην ανάρτησή μου δεν ισχύει η προσέγγιση αφού 1 δεν είναι πολύ μικρότερο του 10, τα στοιχεία με τα ποσοστά σφαλμάτων δείχνουν ότι το λάθος τείνει στο μηδέν όταν Λ << ω0. Όμως κυκλοφορούν ασκήσεις όπου η συνθήκη αυτή δεν ισχύει ή δεν αναφέρεται η απόσβεση ως πολύ μικρή. Σε αυτές τις περιπτώσεις το γενικό υπερισχύει του ειδικού.
Για τους μαθητές όμως που δίνουν εξετάσεις έβαλα ήδη τη σχετική προσθήκη, στη λύση του γ.
Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση και τα διαγράμματα.
Καλημέρα Άρη. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τη θέση σου. Η μέση οδός πάντα μας βγάζει από τη δύσκολη θέση. Παλαιότερα υπήρχε στο σχολικό η εκθετική σχέση μέγιστων θετικών απομακρύνσεων με το χρόνο t = kT, δηλαδή κουκίδες. Με Λ << ω0 οι κουκίδες ανήκουν στην πάνω περιβάλλουσα. Ας το άφηναν έτσι. Λιγότερα προβλήματα δημιουργούσε. Ένα από αυτά ήταν ότι το πλάτος πρέπει να είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου, αφού αυτό αντανακλά και την ενέργεια.
Το ΙΕΠ ίσως προλαβαίνει ακόμα και τώρα, να στείλει μια οδηγία για το θέμα.
Να είσαι καλά!
Καλημέρα Ανδρέα,
έχεις δίκιο ότι στην δική σου ανάρτηση το μέγιστο ποσοστό σφάλματος είναι συγκρίσιμο με την ενέργεια στα πολλαπλάσια της περιόδου (10%).
Μετά την συζήτηση αυτή αναρωτήθηκα, σε συνθήκες εργαστηρίου τι πάει να πει «μικρή» σταθερά απόσβεσης; Ποιες θα ήταν οι τιμές των διαφόρων χαρακτηριστικών μεγεθών του συστήματος της φθίνουσας ταλάντωσης παρουσία αέρα, που εξετάζει το σχολικό;
Ας υποθέσουμε ότι η δύναμη της απόσβεσης δίνεται κατά μέτρο από την τύπο του Stoke’s, ήτοι F=(6πnR)υ για μία σφαίρα ακτίνας R, όπου n ο συντελεστής του δυναμικού ιξώδους στον αέρα και υ το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας. Η προσέγγιση είναι ικανοποιητική για κίνηση σε αρχικά ακίνητο αέρα σε θερμοκρασία δωματίου (περίπου 20C) και για «μικρές» ταχύτητες (ας μην μπλέξουμε με τον αριθμό Reynolds, με το «μικρές» εννοώ της τάξεως των δεκάδων εκατοστών το sec). Τότε η σταθερά απόσβεσης ισούται με b=6πnR, όπου στο SI, n=1.8 10^(-5) Pas. Συνεπώς για μία σφαίρα ακτίνας R=0.1m, προκύπτει η σταθερά απόσβεσης b=3.4 10^(-5) Kg/s. Αν η μάζα της σφαίρας ισούται με m=1Kg (πχ για αυτές τις διαστάσεις, μία ξύλινη σφαίρα) τότε ο συντελεστής απόσβεσης γίνεται Λ=b/2m=1.7 10^(-5) Hz. Ενδεικτικά αναφέρω ότι με σταθερά επαναφοράς k=100N/m, για να μειωθεί το πλάτος στο 1/2 της αρχικής του τιμής απαιτούνται δεκάδες χιλιάδες ταλαντώσεις (ο τύπος ln(2)/ΛT, βγάζει 65028!!!). Εφ’ όσον η περίοδος της κίνησης ισούται με Τ=2π/ω, όπου ω=sqrt((k/m)^2-Λ^2)=0.62s, o χρόνος που απαιτείται για να μειωθεί το πλάτος το μισό, είναι περίπου 11ώρες! Αν και ο χρόνος αναμένεται να είναι σημαντικά μικρότερος λόγω των μηχανικών αποσβέσεων των μερών του συστήματος, και πάλι θα είναι εξαιρετικά μεγάλος.
Για την πειραματικά μελέτη του φαινομένου, μία λύση θα ήταν να καταγράφεται ηλεκτρονικά με κατάλληλο αισθητήρα, η κάτω θέση της μάζας και αντίστοιχος χρόνος, σε κάθε ταλάντωση (υποθέτω μάζα αναρτημένη από το πάνω άκρο του ελατηρίου). Τότε η σχέση A=A0Εxp(-ΛΤ) θα μπορούσε να δώσει τον πειραματικό συντελεστή απόσβεσης Λ.
Δυστυχώς δεν έχω ασχοληθεί στα σοβαρά με πειράματα, ίσως κάποιος «πειραματικός» θα μπορούσε να αναλύσει την κατάσταση πολύ καλύτερα από μένα. Εκείνο που θέλω να αναδείξω με αυτό το σχόλιο είναι ότι στην πράξη, στις φθίνουσες ταλαντώσεις με απόσβεση λόγω του αέρα (τουλάχιστον στο μοντέλο που έχω στο μυαλό μου παραπάνω), οι τύποι του βιβλίου αποτελούν όντως εξαιρετικές προσεγγίσεις.
Καλησπέρα Στάθη. Τόσο μικρό Λ οδηγεί σε ω = 9,999999999985rad/s και εξίσωση χ = 2,000000000003.e^(-0,000017t).ημ(9,999999999985t+0,49π). Είναι περιττό να την παραστήσουμε γραφικά. Θέλει 63025 ταλαντώσεις περίπου για να μειώσει το πλάτος στο μισό!!!
Σχεδόν αμείωτη!
Όντως ο τύπος του βιβλίου αποτελεί άριστη προσέγγιση για το πλάτος.
Υπάρχει στο εργαστήριο το Mathlab πρόγραμμα με αισθητήρα για ταλάντωση. Αν κάποια στιγμή το κάνω, θα το ανεβάσω.
Σε ευχαριστώ για την ιδέα.