by 
Ένα ακόμη πρόβλημα, αυτό είναι αυστηρά μη σχολικό 🙂
Ίσως ενδιαφέρει όσους έχουν μια αδυναμία προς την αστροφυσική.
Άσκηση (νέφος υδρογόνου)
Σφαιρικό νέφος υδρογόνου ακτίνας R εμφανίζει πυκνότητα μάζας ρ ∝ r-2 όπου r η απόσταση από το κέντρο του νέφους. Έστω επίσης ρout η πυκνότητα μάζας του νέφους στα εξωτερικά του στρώματα. Θεωρούμε ότι το νέφος βρίσκεται σε κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας.
α) Να βρεθεί η βαρυτική δυναμική ενέργεια του νέφους U.
β) Να βρεθεί έκφραση για την θερμοκρασία στο κέντρο του νέφους Tc .
Στο α, η U θα είναι ανάλογη τής R.
Καλησπέρα Πρόδρομε. Ποιος ο στόχος του προβλήματος; Το έχεις λύσει και ζητάς επιβεβαίωση; Ή ζητάς βοήθεια για τη λύση του;
Προφανώς είναι Πανεπιστημιακού επιπέδου. Θέλει να βρούμε το ολοκλήρωμα της
-G dm m / r, με m = 4/3πr^3*ρ, dm = 4πr^2 dr, με ρ / ρout = (R/r)^2, αφού είναι αντίστροφα ανάλογες του τετραγώνου στης ακτίνας. Θέλει πράξεις.
Για το β΄δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι παρά μόνο με θερμοδυναμική μέση Κ = 3/2ΝkT αλλά δε μπορώ να συσχετίσω τη δυναμική ενέργεια του α΄ερωτήματος.
Γεια σας κ.Ανδρεα, το πρόβλημα είναι δικής μου κατασκευής και έχω λύση, είναι από μια συλλογη που έχω φτιάξει για προετοιμασία για τις ολυμπιαδες αστρονομίας όπου τετοια θέματα είναι κοινά
Γεια σου Πρόδρομε και καλώς ήρθες στην παρέα μας. Κατά παράδοση στο υλικονέτ, αυτός που προτείνει μια άσκηση, δίνει και τη λύση της.
Περιμένουμε λοιπόν και τη δική σου…
Κατανοητό, απλώς σκέφτηκα ότι πιθανόν με την άμεση δημοσίευση της λύσης να αποθάρρυνα κάποιον να αναρτήσει την δική του προσέγγιση, ας είναι, δίνω την λύση μου, την έκανα πριν αρκετό καιρό, λίγο πρόχειρα που την είδα είναι okay αν υπάρχει κάποια αμφιβολία θα την ξανακοιτάξω:
Λοιπόν Πρόδρομε έχω κάνει τις ίδιες πράξεις και μου βγαίνει
U = -16π2/3 * G * ρ2out * ολοκλήρωμα(dr) από 0 ως R
άρα
U = -16π2/3 * G * ρ2out * R5
Νομίζω δε φεύγει το 3 στον παρονομαστή.
Καλησπέρα, έλεγξα ξανά τις πράξεις και δεν βλέπω κάτι λάθος, από που προκύπτει το /3;
Πάντως, βλέπω στην προηγούμενη ανάρτησή σας αναφέρεται m = 4/3πr^3*ρ, το οποίο αν καταλαβαίνω καλά το τι υπολογίζει (μάζα μέσα σε ακτίνα r) δεν ισχύει καθότι η πυκνότητα δεν είναι σταθερή, όπως δείχνω στην λύση η m(r) είναι 4πΑr ίσως από εκεί σας προκύπτει ένα /3
Σωστά! Δε χρειάζεται το 3…
Ωραίο πρόβλημα. Ιδιαίτερα το (β). Η βαρυτική έλξη σε ισορροπία με τις πιεστικές δυνάμεις! Κάτι σχετικό δεν ισχύει και στα άστρα, όπου η βαρυτική έλξη εξισορροπεί την πίεση της ακτινοβολίας; Και αν χαλάσει αυτή ισορροπία το άστρο μπορεί να διογκωθεί ή να εκραγεί.
Χαίρομαι που το βρήκατε ενδιαφέρον, πράγματι και στα αστέρια συμβαίνει κάτι παρόμοιο οπότε μπορούμε με παρόμοιο τρόπο (συνήθως πιο πολύπλοκο, ανάλογα το μοντέλο) να υπολογίζουμε χαρακτηριστικές ποσότητες όπως εδώ. Τέτοιου είδους προβλήματα είναι πολύ ωραία νομίζω και δίνοντας ένα απλοποιημένο μοντέλο είναι προσιτά και σε μαθητές λυκείου με το αντίστοιχο θεωρητικό υπόβαθρο βέβαια.
Καλησπέρα σε όλους.
Πρόδρομε συγχαρητήρια για το ενδιαφέρον πρόβλημά σου.
Από την ανάγνωσή του διαμόρφωσα την πεποίθηση ότι η εξάρτηση της πυκνότητας από την απόσταση θα πρέπει να προκύπτει από την απαίτηση του προβλήματος για ισορροπία και επομένως δεν θα έπρεπε να δίνεται. Επιπλέον προβληματίστηκα αν η δοθείσα εξάρτηση είναι σωστή (αν και υπέθεσα ότι το έχεις ψάξει). Στο σύντομο σημείωμα ΕΔΩ επιβεβαιώνεται η συγκεκριμένη εξάρτηση (αν βέβαια δεν μου έχει ξεφύγει κάποιο λάθος). Οπότε το πρόβλημα σε μια πιο “σκληρή” εκδοχή μπορεί να δοθεί χωρίς την εξάρτηση της πυκνότητας.
Να είσαι καλά.
Ωραία η μελέτη σας, εξετάζει όμως αν δεν κάνω λάθος την περίπτωση όπου η θερμοκρασία είναι σταθερή σε όλη την έκταση του νέφους, στην εκφώνηση δεν δόθηκε τέτοιο δεδομένο έτσι ίσως η συνθήκη για την πυκνότητα να είναι αναγκαία. Τώρα γενικότερα ομολογώ ότι δεν έχω διαβάσει κάπου για το αν υπάρχει κάποια στάνταρ κατανομή πυκνότητας σε τέτοιου είδους δομές πάντως νομίζω υπάρχουν και περιπτώσεις με σταθερή κατανομή μάζας.
Πάντως η περίπτωση με Τ σταθερό φαίνεται να παρουσιάζει και αυτή ενδιαφέρον, αν μου επιτρέπεται θα την προσθέσω στο φυλλάδιο μου ως extra ερώτημα.
Ναι πράγματι για σταθερή θερμοκρασία έκανα την προσπάθεια. Δεν έχω κάποια ιδιαίτερη γνώση στο συγκεκριμένο πεδίο οπότε πολύ πιθανό η αντιμετώπιση αυτή να έχει λανθασμένη αφετηρία. Σίγουρα το φαινόμενο είναι αρκετά πιο πολύπλοκο από τη δική μου θεώρηση, αλλά σαν μια απλούστευση ίσως μπορεί να είναι αποδεκτή.
Καλό απόγευμα.