by 
Το σώμα και το ελατήριο έχουν ίσες μάζες 3 kg.
Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 100 N/m.
Βαρύτητα δεν έχουμε ή όλα γίνονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Εκτρέπουμε το σώμα κατά Α = 20 cm από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.
Υπενθυμίζεται ότι η ενεργός μάζα ενός μη ιδανικού ελατηρίου είναι το 1/3 της μάζας του.
Κάποιες ερωτήσεις:
- Ποιες δυνάμεις δέχονται από το ελατήριο το σώμα και ο τοίχος όσο το χέρι κρατάει το σώμα;
- Όταν το χέρι αφήνει ελεύθερο το σώμα, ποιες είναι τώρα οι προηγούμενες δυνάμεις;
- Είναι χωροεξαρτώμενη η δύναμη που δέχεται το σώμα από το ελατήριο;
- Ποια είναι η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος ;
- Πόσο έργο απαιτείται ώστε να τεθεί σε ταλάντωση τέτοιου πλάτους με το συγκεκριμένο σύστημα;
Ο Στάθης έχει δίκιο για ένα ελατήριο πραγματικό όταν το τέντωμα είναι συγκρίσιμο με το μήκος του. Τότε οι σπείρες είναι πιο πυκνές κοντά στο σημείο πρόσδεσης και το κέντρο μάζας του δεν είναι στη μέση.
Ας προσεγγίσουμε την υπόθεση με ένα μακρύ ελατήριο που τεντώνεται κατά το 1/20 του μήκους του.
Πάντως ακόμα και με απόλυτα ακριβή υπολογισμό θα βλέπαμε αλλαγή στη δύναμη.
Γιατί η δύναμη καλείται να προσδώσει και επιτάχυνση την οποία δεν έδινε πριν.
Ας προσεχθεί ότι η δύναμη είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση που το ελατήριο είναι μόνο του, παρά την ίδια παραμόρφωση. Τούτο διότι καλείται να προσφέρει μεγαλύτερη επιτάχυνση.
Ναι Στάθη, ο Βαγγέλης Κουντούρης.
Ήταν μεγαλύτερη αλλά δεν θυμάμαι. Ίσως ο ίδιος θυμάται.
Βρίσκουμε και στη Βικιπαίδεια:
Αυτό λέω Γιάννη, στο παράδειγμα της ανάρτησης οι μάζες είναι ίσες. Είναι λογικό να υπάρχουν αποκλίσεις όταν βάζεις ενεργό μάζα m/3. Με την σωστή ενεργό μάζα θα αλλάξει η συχνότητα, άρα και η δύναμη όταν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο.
Στάθη στις αποδείξεις που έχω δει αλλά και σε όσες έχω κάνει δεν βλέπω να εμπλέκεται η σχέση των μαζών.
Διασκευάζω σύντομα μία που έχει πλάκα.
Στάθη η απόδειξη που προανέφερα:
Γιάννη η μάζα του ελατηρίου εμπλέκεται εφ όσον αλλάζει την συχνότητα της κίνησης, οπότε και την σταθερά επαναφορά., Απλά η τιμή m/3 πρέπει να διορθωθεί κατά την γνώμη μου.
Στάθη δεν κατάλαβα ποια διόρθωση εννοείς.
Δεν βλέπω λάθος ούτε στην κλασική απόδειξη, ούτε σ’ αυτήν που μόλις έγραψα.
Ποιο λάθος εντοπίζεις;
Το κακό είναι ότι δεν θυμάμαι τι μάζα είχε βάλει ο Βαγγέλης και ότι το I.p. δεν έχει ελατήρια με μάζα. Ίσως βρω ισοδύναμο σύστημα να το βάλω σε προσομοίωση.
Γιάννη καλησπέρα.
Αν η μάζα του ελατηρίου είναι αμελητέα εν συγκρίσει με την μάζα του σώματος Μ, m/M->0, το όποιο μοντέλο πρέπει να οδηγεί στην ΑΑΤ.
Η ενεργός μάζα Μ+m/3 στο άκρο του ελατηρίου προϋποθέτει ότι η μάζα m του ελατηρίου είναι πολύ μικρότερη της μάζας Μ του σώματος, m<<Μ, (πολύ μικρότερη, όχι αμελητέα). Μόνον τότε η παραμόρφωση των σπειρών του ελατηρίου από την θέση ισορροπίας τους παραμένει σχεδόν γραμμική, κατά την διάρκεια όλης της κίνησης, με την απόσταση των σπειρών από το ακλόνητο άκρο (θυμίζει την γραμμική εξάρτηση της ταχύτητας των σημείων της ράβδου, εξ’ ού και το m/3). (Σχέσεις (23) και (24) εδώ).
Αν όμως η μάζα του σώματος είναι συγκρίσιμη με την μάζα του ελατηρίου (η περίπτωση m=M της παρούσης ανάρτησης), τότε κατά μήκος του ελατηρίου η ταχύτητα διάδοσης των διαταραχών που αναπτύσσονται είναι τέτοια ώστε ο χρόνος που χρειάζεται το κύμα για να φτάσει στο ακλόνητο άκρο του ελατηρίου να είναι πολύ μικρότερος από την περίοδο ταλάντωσης των σπειρών (στο παράδειγμά σου υπολογίζω περίοδο περίπου 1.3s και χρόνο διάδοσης από το ένα άκρο του ελατηρίου στο άλλο περίπου 0.2s). Συνεπώς το κύμα θα ανακλαστεί στα άκρα του ελατηρίου σε χρόνο μικρότερο της περιόδου και θα αλλάξει τον τρόπο ταλάντωσης των σπειρών. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσμα την αλλαγή της συχνότητας ταλάντωσης, σε ένα φαινόμενο ανατροφοδοτούμενο. Στο ελατήριο θα εγκατασταθεί ένα σύστημα στασίμων κυμάτων απείρων όρων. Ως συνέπεια η ενεργός μάζα και η ενεργός σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου δεν είναι πλέον Μ+m/3 και k, αλλά διαφέρει για κάθε συχνότητα του συστήματος των στασίμων κυμάτων στο ελατήριο
Έκανα έναν υπολογισμό (ελπίζω να μην έχει λάθη στο υπολογιστικό κομμάτι γιατί είναι αρκετά επίπονο ακόμα και στον υπολογιστή) , σύμφωνα με την ανάρτηση που παρέπεμψα, όπως περιγράφεται στην σελίδα 7, ακριβώς κάτω από την γραφική παράσταση του σχήματος 1. Η γραφική παράσταση της δύναμης σε διάφορες χρονικές στιγμές στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα, συμπεριλαμβάνοντας τους έξι πρώτους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης του ελατηρίου (τα πρώτα έξι στάσιμα κύματα). Η δύναμη την χρονική στιγμή μηδέν που αφήνεται ελεύθερο το σύστημα ισούται με 18.7Ν (έναντι των 20Ν). Παρατήρησε ότι πολύ κοντά στο ελεύθερο άκρο σταθεροποιείται στα 20 Ν (είναι 19.5 Ν στα 95cm και 19.9 Ν στα 92 cm από το ελεύθερο άκρο). Αν συμπεριληφθούν και ανώτεροι όροι αναμένεται τα αποτελέσματα να βελτιωθούν.
καλησπέρα σε όλους
είχα πραγματοποιήσει, Γιάννη, πείραμα ταλάντωσης ελατηρίου-σώματος, στο ΕΚΦΕ των Αγίων Αναργύρων, όπου και υπολόγισα τη δρώσα ή ενεργή μάζα του ελατηρίου που χρησιμοποίησα,
ήσουν παρών και εσύ και είχες καταθέσει και θεωρητική απόδειξη,
δυστυχώς δεν είχα σκεφτεί, και είναι τόσο απλό, ο Εργαστηριακός Οδηγός, πάντως, δεν το προέβλεπε, να ζυγίσω το ελατήριο και να φανεί ότι πράγματι είναι το 1/3 της μάζας του, ή, έστω, πολύ κοντά σ΄αυτό
https://ekountouris.blogspot.com/2011/12/blog-post_20.html
Καλησπέρα Στάθη και Βαγγέλη.
Στάθη μοιάζει να έχεις δίκιο. Και ο Βαγγέλης Κορφιάτης είχε επιφυλάξεις.
Όμως στα περισσότερα άρθρα βλέπουμε την ίδια διαπραγμάτευση και την ίδια απόδειξη.
Βαγγέλη θυμάμαι καλά. Ανταλλάξαμε και email τότε.
Αξίζει να προσεχθούν η μπλε γραμμή (t=0) και η πορτοκαλί γραμμή (t=T/8=0.158s). Στον χρόνο Τ/8=0.158s η διαταραχή δεν έχει φτάσει ακόμη στο ακλόνητο άκρο (χρειάζεται χρόνος 0.173s), και η δύναμη παραμένει εκεί 20Ν.
Μπορεί να έχεις δίκιο Στάθη και το μοντέλο να αποτυγχάνει παραβλέποντας το κύμα στο ελατήριο.