by 
Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες Α και Β με μάζες 3m και m, αντίστοιχα, ηρεμούν αρχικά μέσα σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Τη στιγμή t = 0 δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά με σταθερή γραμμική ταχύτητα υ και μετά από χρόνο t0 = 2 sec συγκρούεται για 1η φορά, κεντρικά, με τη σφαίρα Β.
Να βρείτε:
α. Ποια χρονική στιγμή και σε ποια θέση οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν για 2η φορά.
β. Με ποιες ταχύτητες θα κινηθούν οι σφαίρες μετά τη 2η κρούση;
Η απάντηση με κλικ εδώ
Μπορείτε να δείτε και τις εξής δύο παραλλαγές:
Δύο σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι και «το παράδοξο της 2ης κρούσης»
Με κλικ εδώ
Δύο ελαστικές σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι – πότε θα ξανασυγκρουστούν. Με κλικ εδώ
Καλημέρα Τάσο.
Πολύ ωραία διερεύνηση των διαδοχικών κρούσεων, των δύο σφαιρών.
Σε ευχαριστούμε που την μοιράστηκες.
πρωτότυπη και έξυπνη άσκηση, συμφοιτητή
θα μπορούσε να ζητηθεί και η δύναμη που δέχεται κάθε σφαίρα από την απ΄ έξω πλευρά του αυλακιού, που είναι και η κεντρομόλος
(καλύτερα, πάντως, με σταθερή κατά μέτρο γραμμική ταχύτητα υ)
Διονύση και Βαγγέλη ευχαριστώ για τα σχόλιά σας.Συμφοιτητή, καλώς διορθώνεις: “σταθερή κατά μέτρο γραμμική ταχύτητα” και στην πρότασή σου για το μέτρο της κεντρομόλου, θα πρόσθετα και τον προσδιορισμό της στροφορμής.
Πραγματικά όμορφες συμμετρίες κρούσεων… και ανταλλαγής ενεργειών
οι σφαίρες συγκρούονται κάθε 4s,ενώ το φαινόμενο επαναλαμβάνεται ανά 8s
Τάσο σ’ ευχαριστούμε
Διαβάζοντας το σχόλιο του Βαγγέλη, μου γεννήθηκε η απορία:
Ρόλο κεντρομόλου δύναμης σε κάθε σφαίρα έχει η δύναμη από το εξωτερικό
τοίχωμα ή μήπως η συνισταμένη των αντίρροπων δυνάμεων από τα δύο τοιχώματα;
Θοδωρή, ευχαριστώ και εγώ που αφιέρωσειςλίγο χρονο να ασχοληθείς με το θέμα που ανάρτησα. Σε ό,τι αφορά το ερώτημά σου, αν καταλαβαίνω καλά, εννοείς τη συνισταμένη δύναμη που ασκούν ταυτόχρονα πάνω σε κάθε σφαίρα οι αντιδιαμετρικές πλευρές του εσωτερικού τοιχώματος του αυλακιού. Νομίζω ότι δεν είναι απαραίτητο το εσώτερο – το πλησιέστερο προς το κέντρο – εσωτερικό τοίχωμα να ασκεί δύναμη στη σφαίρα. Η διάμετρος των εσωτερικών τοιχωμάτων του αυλακιού δεν είναι απαραιτήτως ίση με τη διάμετρο της σφαίρας, ώστε η σφαίρα να εφάπτεται σε όλη την εσωτερική περίμετρο του τοιχώματος. Σε κάθε όμως περίπτωση, η αδρανειακή δύναμη σπρώχνει τη σφαίρα προς το εξώτερο μέρος του εσωτερικού τοιχώματος, οπότε δύναμη επαφής της σφαίρας με το εσώτερο μέρος του εσωτερικού τοιχώματος -ακόμα και αν η σφαίρα είναι σε επαφή με αυτό- να μην υφίσταται.
Καλησπέρα Τάσο, σε ευχαριστώ για την απάντηση, αλλά και για την λόγια χρήση της γλώσσας: “το εσώτερο – το πλησιέστερο προς το κέντρο ” που σε όλους εμάς τους νεότερους δείχνει τον δρόμο…
Θα επιμείνω με τον κίνδυνο κάτι να παρανοώ…
Γράφεις:
“Η διάμετρος των εσωτερικών τοιχωμάτων του αυλακιού δεν είναι απαραιτήτως ίση με τη διάμετρο της σφαίρας, ώστε η σφαίρα να εφάπτεται σε όλη την εσωτερική περίμετρο του τοιχώματος.”
Αν πράγματι δεχτούμε κάτι τέτοιο, νομίζω δεν χρειάζεται κυκλικό αυλάκι… αρκεί μια πακτωμένη κυκλική στεφάνη….
Επίσης διαβάζω:
“Τη στιγμή t = 0 δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά”
Η κύλιση απαιτεί σφαίρα, δηλαδή στερεό σώμα και όχι υλικό σημείο. Η σφαίρα έχει διάμετρο, η οποία από το σχήμα φαίνεται να ισούται με το εύρος που έχει το αυλάκι.
Αντιλαμβάνομαι λοιπόν, πως η λεία σφαίρα εφάπτεται και στα δύο τοιχώματα, στα άκρα της οριζόντιας διαμέτρου της… Επειδή δεν αναπτύσσεται τριβή, οι δυνάμεις επαφής είναι στη διεύθυνση της οριζόντιας διαμέτρου. Διέρχονται λοιπόν από το κέντρο της σφαίρας και δεν δημιουργούν ροπή ως προς αυτό. Ταυτόχρονα είναι κάθετες στην ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας, άρα στην εκάστοτε μετατόπιση αυτού…
Δεν εκτελούν έργο, δεν μεταβάλλουν την κινητική ενέργεια της σφαίρας…
Δεν μπορούμε νομίζω να υπολογίσουμε κάθε μία χωριστά, παρά μόνο τη συνισταμένη τους η οποία συμπεριφέρεται ως κεντρομόλος…
Αν ο παραπάνω συλλογισμός έχει λάθος, παρακαλώ διόρθωσέ με….
Ωραία εφαρμογή, Τάσο, για να ελέγξει και την κεντρική ελαστική κρούση και την κυκλική από τη Β τάξη.
Παρακολουθώ τα ερωτήματα, που θέτει ο Θοδωρής.
Η πρώτη δική μου σκέψη ήταν πως μάλλον το εσωτερικό τοίχωμα δεν ασκεί δύναμη… ακόμη κι αν το ακουμπά η σφαίρα, νομίζω δεν το σπρώχνει…
Όσο για το “κυλά”, θα προτιμούσα και ‘γώ το “κινείται”, για να μην παραπέμπει σε σύνθετη κίνηση στερεού.
Σε ευχαριστούμε.
Καλησπέρα Ελευθερία, μπορούμε (;;;;;) να αποδείξουμε πως
“… το εσωτερικό τοίχωμα δεν ασκεί δύναμη… ακόμη κι αν το ακουμπά η σφαίρα, νομίζω δεν το σπρώχνει…”
Μην μου πεις για φυγόκεντρο…. δεν έχει νόημα…..
Με δεδομένη την επαφή της σφαίρας με τα δύο τοιχώματα, μόνο τη συνισταμένη τους, δηλαδή την κεντρομόλο, μπορώ να υπολογίσω….
Αν λοιπόν θέλουμε να μιλήσουμε για δυνάμεις, ο Τάσος δεν είχε τέτοια πρόθεση,
ας επιλέξουμε πακτωμένη κυκλική στεφάνη….
Έτσι το αντιλαμβάνομαι και νομίζω πως έτσι μπορεί να γίνει κατανοητό από τους μαθητές….
Δεν ξέρω Θοδωρή, αλλά τις μεταμεσονύχτιες ώρες –σαν να νοσταλγεί τα χρόνια τα νεανικά– ο νους, σκέφτεται στη γλώσσα μου τη φοιτητική. Ναι, στην περίπτωση που περιγράφεις, και, έχεις δίκιο, αυτό φαίνεται στο σχήμα, η διάμετρος των λείων σφαιρών που κυλιούνται χωρίς τριβές στο εσωτερικό του σωλήνα είναι ίση με τη διάμετρο του σωλήνα. Έτσι, οι σφαίρες βρίσκονται σε συνεχή επαφή με τα τοιχώματα του σωλήνα. Οπότε, ναι:
Φυσικά, ισχύουν και τα υπόλοιπα συμπεράσματα που αναφέρεις: οι δύο αυτές δυνάμεις επαφής δεν δημιουργούν ροπή ως προς το κέντρο της σφαίρας στην οποία ενεργούν αλλά ούτε και ως προς το κέντρο του δακτυλίου (συνεπώς δεν μεταβάλλουν την στροφορμή των σφαιρών ως προς τα κέντρα αυτά), δεν μπορούμε να υπολογίσουμε καθεμιά από αυτές, είναι διαρκώς κάθετες στην ταχύτητα του κέντρου κάθε σφαίρας και, για το λόγο αυτό, δεν παράγουν έργο και δεν μεταβάλλουν την κινητική ενέργειά τους.
Συνεπώς, δεν θεωρώ λάθος τον συλλογισμό σου και σε ευχαριστώ για την ευκαιρία που μου έδωσες, αλλά και την επιμονή που έδειξες ώστε να διευκρινιστεί αυτό το θέμα.
Ελευθερία σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Πάντως εδώ, όπως έγραψα πιο πριν, έχει δίκιο ο Θοδωρής. Δική μου αβλεψία να μην λάβω υπόψη ότι σφαίρες και αυλάκι, να το πούμε καλύτερα σωλήνα, έχουν την ίδια διάμετρο.
Τάσο σε ευχαριστούμε, αυτές οι συζητήσεις κάνουν εμάς τους νεότερους καλύτερους δασκάλους