Σφαίρα σε ισορροπία και σώμα που εκτελεί α.α.τ.

Ομογενής σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R είναι τοποθετημένη («έχει σφηνώσει») στο εσωτερικό κουτιού σχήματος κύβου με ακμή α = 2R το οποίο είναι ανοικτό στο επάνω μέρος. Το κουτί είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οριζόντιο επίπεδο. Το ένα πλαϊνό τοίχωμα του κουτιού είναι τραχύ και αναπτύσσεται τριβή μεταξύ αυτού και της σφαίρας ενώ όλα τα υπόλοιπα τοιχώματα του κουτιού με τα οποία η σφαίρα έρχεται σε επαφή είναι λεία. Σε σημείο Ο της σφαίρας είναι δεμένο το κάτω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k στο πάνω μέρος του οποίου ισορροπεί ακίνητο σώμα Σ μάζας m = Μ/3. Ο άξονας του ελατηρίου τέμνει την διάμετρο της σφαίρας που έχει άκρο το σημείο επαφής της Ε με το τραχύ τοίχωμα του κουτιού στο σημείο Τ. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (ΤΕ) ισούται με d = 3R/2 .
1) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης Ν που δέχεται η σφαίρα από την βάση του κουτιού συναρτήσει των Μ, g.
Θέτουμε το σώμα Σ σε κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α στην διάρκεια της οποίας η σφαίρα παραμένει ακίνητη.
2) Να υπολογίσετε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος Α συναρτήσει των m, g, k ώστε κατα την διάρκεια της ταλάντωσης του Σ να μηδενίζεται οριακά το μέτρο της δύναμης Ν που δέχεται η σφαίρα από την βάση του κουτιού.

Η άσκηση και η λύση της.