by 
Στο βιβλίο των Δεσμών βρίσκουμε το πρόβλημα 20:
Ένα αερόστατο ανεβαίνει από την επιφάνεια της γης με σταθερή κατακόρυφη ταχύτητα υο.
Ταυτόχρονα λόγω του ανέμου το αερόστατο έχει και μια οριζόντια ταχύτητα υx =K.y , ανάλογη με το ύψος που βρίσκεται.
α) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του αερόστατου.
β) Από ποια εξίσωση θα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο:
Ας βρούμε τη σωστή, αν υπάρχει, και κυρίως ας σχολιάσουμε.
Καλημέρα Παντελή.
Πέρασαν χρόνια και πολλοί φίλοι μπορεί να μην τα έχουν δει.
Καλημέρα σε όλους. Όταν διάβασα για πρώτη φορά τα κείμενα του Ανδρέα, κατάλαβα ότι δεν είχα αντιληφθεί την αρχή ανεξαρτησίας και ότι σε κάποιες περιπτώσεις απλά τύχαινε να προκύπτει το σωστό αποτέλεσμα. Οι παραπομπές του Γιάννη και του Διονύση αξίζει να μελετηθούν από συναδέλφους. Γιάννη η προσομοίωση είναι διαφωτιστικότατη.
Σε ποιες περιπτώσεις πιάνει η συνταγή:
-Άσε να ανέβει για χρόνο t, ακινητοποίησέ το και βάλτο να κινηθεί οριζόντια για χρόνο t ;
Ένα απόσπασμα από κάτι που γράφω ακόμα:
Γειά σου Γιάννη . Γειά χαρά σε όλους. Το λάθος βρίσκεται στην 1η λύση. Η σχέση χ=υx t δεν ισχύει γιατί η ταχύτητα υx δεν παραμένει σταθερή στο χρόνο .Είναι υx=K υ0 t . Αν βάζαμε τη μέση τιμή της υx σε αυτό το χρονικό διάστημα θα οδηγούμασταν στο ίδιο αποτέλεσμα με τον άλλο τρόπο. Αυτό το λάθος δεν έχει να κάνει με την ισχύ ή όχι της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων αλλά με το ότι θεωρούμε σταθερή την ταχύτητα υx ενώ δεν είναι! Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων δεν ισχύει εδώ . Ο λόγος που δεν ισχύει είναι ότι οι δύο κινήσεις ,στον άξονα x αφενός και στο y αφετέρου, δεν είναι ανεξάρτητες. Αυτό οφείλεται στο ότι το x εξαρτάται από το y. Δεν είναι θέμα σωστής ή λανθασμένης εφαρμογής της εν λόγω αρχής. Η σχέση όμως r=xi + yj και οι αντίστοιχες για την ταχύτητα και την επιτάχυνση ισχύουν σε κάθε περίπτωση. Είτε οι κινήσεις είναι ανεξάρτητες είτε όχι. Με άλλα λόγια η τελευταία σχέση ισχύει είτε ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων είτε όχι.
Ξέφυγε από την προσοχή μου το ότι η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων ισχύει! Τα x και y είναι συναρτήσεις του χρόνου και μόνο! Άλλωστε στον άξονα x ενεργεί σταθερή δύναμη. Όπως το βάρος στην οριζόντια βολή στον άξονα y.
Καλησπέρα Γιώργο.
Καλά τα λες στο πρώτο σχόλιο.
Επιφυλάσσομαι στο δεύτερο.
Υπάρχουν δύο προτάσεις.
Η πρώτη:
-Η μετατόπιση ενός σώματος ως προς παρατηρητή Α είναι το διανυσματικό άθροισμα της μετατόπισης του σώματος ως προς παρατηρητή Β και της μετατόπισης του Β ως προς τον Α.
Η δεύτερη:
-Κλείσε το πεδίο και άσε το σώμα να κινηθεί για χρόνο t. Εκεί που θα πάει ακινητοποίησέ το και άνοιξε το διακόπτη του πεδίου. Άσε το σώμα να κινηθεί για χρόνο t και έχεις βρει την τελική θέση.
Ποια από της δυο είναι η καλουμένη “Αρχή της ανεξαρτησίας των κίνήσεων”;
Με αφορμή το παρόν πρόβλημα η ανάρτηση:
Η ισχύς της αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων.
Γιάννη από όσα αντιλαμβάνομαι η πρώτη διατύπωσή σου είναι κάτι γενικότερο της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων. Η δεύτερη ισχύει όταν οι κινήσεις είναι ανεξάρτητες. Στο ομογενές βαρυτικό πεδίο είναι ανεξάρτητες και στο μη ομογενές- πλανητάκος – δεν είναι. Αυτό εύκολα διαπιστώνεται στο ομογενές . Στο ανομοιογενές η αρχική διαπίστωσή μου προέκυψε από συγκεκριμένο παράδειγμα. Μια εξήγηση στη περίπτωση της οριζόντιας βολής είναι ότι στον άξονα x της αρχικής ταχύτητας στο ομογενές η βαρυτική δύναμη δεν δίνει συνιστώσα ενώ στο ανομοιογενές δίνει. Και η συνιστώσα αυτή στη περίπτωση του ανομοιογενούς εξαρτάται από το y. Συνεπώς θα εξαρτάται από το y και το x όπως προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης στον άξονα x. Στην περίπτωση του αεροστάτου εύκολα διαπιστώνεται ότι στον οριζόντιο άξονα x ενεργεί σταθερή δύναμη συνεπώς είναι η περίπτωση της οριζόντιας βολής με τις προφανείς επουσιώδεις διαφοροποιήσεις. Αν βρω χρόνο θα αναφερθώ αναλυτικότερα.
Γιώργο στο πρώτο μου σχόλιο θα συμφωνήσω μαζί σου επί της ουσίας, ότι δηλαδή η πρώτη πρόταση είναι γενικότερη.
Στο δεύτερο θα εντοπίσω ένα λάθος που κάνω συστηματικά.
Η πρώτη πρόταση λέει :
-Η μετατόπιση ενός σώματος ως προς παρατηρητή Α είναι το διανυσματικό άθροισμα της μετατόπισης του σώματος ως προς παρατηρητή Β και της μετατόπισης του Β ως προς τον Α.
Οδηγεί στην:
Θέλεις να βρεις τη θέση τη στιγμή t ενός σημείου (υλικού ή όχι υλικού) που κάνει δύο κινήσεις ταυτόχρονα;
Βάλε το να εκτελέσει την πρώτη κίνηση για χρόνο t. Από το σημείο Β που θα πάει βάλε το να εκτελέσει τη δεύτερη κίνηση. Θα βρεθεί στο σημείο Γ. Αυτή είναι η ζητούμενη θέση.
Το τι σημαίνει όμως «Η πρώτη κίνηση» και «Η δεύτερη κίνηση» στο επόμενο σχόλιο με το λάθος μου.
Ποιο είναι το λάθος που κάνω συστηματικά;
Θεωρώ ότι όλοι έχουν διαβάσει και έχουν ενστερνιστεί όσα συζητούσαμε το 2010.
Και είπεν ο κύριος.
Κάτι φυσικά εντελώς παράλογο μια και ουδείς μπορεί να απαιτήσει να έχουν όλοι διαβάσει και ενστερνιστεί μια συζήτηση που αυτός συμμετείχε.
Την εποχή εκείνη όλοι ταυτίζαμε την «Αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων» με τη δεύτερη πρόταση:
-Κλείσε το πεδίο και άσε το σώμα να κινηθεί για χρόνο t. Εκεί που θα πάει ακινητοποίησέ το και άνοιξε το διακόπτη του πεδίου. Άσε το σώμα να κινηθεί για χρόνο t και έχεις βρει την τελική θέση.
Καταλήγαμε στην προϋπόθεση της ανεξαρτησίας των κινήσεων και αμφισβητούσαμε την καθολικότητα της ισχύος της, ούτως ειπείν, «αρχής».
Ο Ανδρέας Κασσέτας παρενέβη με το περίφημο ερώτημα της μαθήτριας και κάποιοι καταλάβαμε τι σημαίνει το «Κάνει δύο κινήσεις».
Κινείται πάνω σε κινούμενο όχημα. Ο παρατηρητής Β ουσιαστικά κάνει τη μία κίνηση και το σώμα την άλλη ως προς τον Β.
Κινηματική (Γεωμετρία μετά χρόνου) και όχι Δυναμική.
Δύο κινήσεις που δεν ταυτίζονται σε κάθε περίπτωση με συντεταγμένες. Που μπορεί να είναι από εξόχως απλές ως εξαιρετικά πολύπλοκες. Λόγου χάριν μια κυκλική κίνηση αναλύεται σε μια ευθύγραμμη ομαλή και μία με τροχιά κυκλοειδές! (Η περίπτωση της μαθήτριας).
Είχα δηλώσει τότε ότι κατάλαβα. Χρωστώ πολλά στον Ανδρέα και αυτό είναι ένα από αυτά.
Εν τούτοις βλέπω και σήμερα διαφωνίες και επιφυλάξεις. Βλέπω το «κάνει δύο κινήσεις» να ταυτίζεται με το «έχει δύο συντεταγμένες», κάτι που δεν με ενοχλεί βέβαια αλλά δεν είναι η μοναδική περίπτωση.
Γιάννη μπήκα πολύ αργά στο υλικό και έχω χάσει αυτές τις ωραίες συζητήσεις. Θα ήθελα όμως να συμμετέχω όπως είμαι τώρα .Του τώρα που ξεκινάει από την σχετική δήλωση – υπόσχεση μου. Με σεβασμό στον κάθε συνομιλητή στο κοινό πρωταρχικό σκοπό της βαθύτερης κατανόησης της φυσικής. Το “γηράσκω αεί διδασκόμενος” να ισχύει σε όλες του τις εκφάνσεις…
Αυτό είναι το λάθος μου Γιώργο.
Λάθος που κάνουν και άλλοι από τους παλιούς του υλικονέτ (με εξαίρεση τον Διονύση).
Πρέπει να λέμε καθαρά τι εννοούμε λέγοντας “Κάνει δύο κινήσεις” ή οτιδήποτε άλλο.
Θα πω Γιάννη το προφανές . Κανείς μας δεν έχει το αλάθητο. Και χρειάζεται γενναιότητα για να αναγνωρίσει κανείς το λάθος του! Και εσύ την έχεις και το κάνεις με ευθύτητα και παρρησία! Δεν το κάνουν όλοι…Όταν κάποιος αναλαμβάνει δημόσια την ευθύνη να ασχοληθεί με διάφορα ιδιαίτερα απαιτητικά θέματα της επιστήμης μας, ελλοχεύει πάντα το ενδεχόμενο του λάθους! Το έκανα κι εγώ και μεσολάβησε χρόνος για να το κατανοήσω. Όλους τους προσωπικούς εγωισμούς τους υπερβαίνουμε ευκολότερα όταν σκοπός μας είναι να κατανοήσουμε βαθύτερα την επιστήμη μας. Δηλαδή το πως λειτουργεί η φύση.
Καλημέρα Γιώργο.
Σωστά.