ΑΔΟ σε πυραύλους – εφαρμογές

Αρχή διατήρησης ορμής σε πυραύλους

Έστω πύραυλος μάζας Μ + Δm  μαζί με τα καυσαέρια κινούμενος με ταχύτητα V εκτός πεδίου βαρύτητας ή σε τροχιά καθώς δεν υπάρχει δύναμη στη διεύθυνση της ταχύτητας , Δm είναι μια στοιχειώδης μάζα καυσαερίων. Κάποια στιγμή ο πύραυλος εκτοξεύει τη μάζα Δm με σταθερή ταχύτητα u ως προς τον πύραυλο αυξάνοντας την ταχύτητά του κατά ΔV. To σύστημα πύραυλος – καυσαέρια είναι μονωμένο έτσι η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερη.

ΑΔΟ ως προς τον πύραυλο, οπότε η ταχύτητα της Δm είναι V – u όπου u η ταχύτητα εξόδου των καυσαερίων.

Ρ_i = Ρ_f => (M + Δm)V = Δm(V -u) + M(V + ΔV) =>

MV + ΔmV = ΔmV – Δmu + MV + MΔV => Δmu = MΔV (1)

Ρυθμός κατανάλωσης καυσίμου: μ = Δm/Δt

=>M(ΔV/Δt) = u(Δm/Δt)  => Μα = uμ => F = uμ = σταθερή

Η ταχύτητα εξόδου καυσαερίων είναι διαφορετική σε κάθε στάδιο στους πυραύλους που λειτουργούν σε στάδια.

Στη διαστημική η σταθερή δύναμη F ονομάζεται ώθηση.

Όμως η αύξηση Δm της μάζας των καυσαερίων είναι ίση με τη μείωση της μάζας Μ του πυραύλου: Δm = – ΔM (2)

(1)(2)=> ΔV  – uΔΜ/Μ (3) και για Δt -> 0

(3) => dV = – udM/M => ολοκλήρωση  => (V_f – V_i) = -uln(M_f/M_i)  =>

ΔV = uln(Μ_i/M_f) (4) => M_i = M_fe^ΔV/u  (5)     όπου  Μi η αρχική μάζα του πυραύλου μαζί με τα καύσιμα, M_f η τελική, u η ταχύτητα εξόδου των καυσαερίων και ΔV το κρίσιμο μέγεθος της διαστημικής η αύξηση της ταχύτητας του πυραύλου. Σε πυραύλους που λειτουργούν σε στάδια η συνολική ΔV είναι το άθροισμα των ΔV κάθε σταδίου.

Οι εξισώσεις (4),(5) είναι οι εξισώσεις Tsiolkovsky.

Συμπεράσματα από την εφαρμογή 2

Παρατηρούμε ότι όσο μικρότερη είναι η αρχική μάζα Μ₀ της κατασκευής τόσο λιγότερη είναι η κατανάλωση καυσίμου για δεδομένα ΔV και u. Επιπλέον για διπλάσια ΔV η κατανάλωση καυσίμου δεν διπλασιάζεται αλλά γίνεται 4,8 φορές μεγαλύτερη(εκθετική αύξηση). Προκειμένου επομένως να αντιμετωπιστούν τα ζητήματα που θέτει η εξίσωση Tsiolkovsky οι πύραυλοι είναι ελαφρές κατασκευές με πολλά καύσιμα(πάνω από 90% της συνολικής μάζας). Επιπλέον συνήθως οι πύραυλοι είναι σε  στάδια τα οποία απορρίπτονται μετά την καύση μέχρι να μείνει το ωφέλιμο φορτίο το οποίο φέρει καύσιμα ή άλλου τύπου κινητήρες και γεννήτριες για τυχόν ελιγμούς. Οι κινητήρες με υγρά καύσιμα(χημικοί κινητήρες) είναι οι μόνοι που μπορούν να οδηγήσουν ένα διαστημόπλοιο στην απαιτητική έξοδο από το πεδίο βαρύτητας της γης ή να θέσουν δορυφόρους σε τροχιά.

Συμπεράσματα από την εφαρμογή 4

Τελικά ο πύραυλος με φουλ καύσιμα οδηγεί ένα διαστημόπλοιο έξω  από το πεδίο βαρύτητας της γης με ταχύτητα (14,088 – 11,2) = 2,888 km/s  + 30 km/s = 32,888 km/s όπου 30 km/s η ταχύτητα του διαστημόπλοιου ως προς τον ήλιο καθόσον μετά την έξοδο από το πεδίο βαρύτητας της γης το διαστημόπλοιο κινείται σε ηλιοκεντρική τροχιά υπό την επίδραση της βαρύτητας του ήλιου. Το διαστημόπλοιο οδηγείται σε κατάλληλη τροχιά γύρω και πίσω από έναν πλανήτη όπου βοηθιέται βαρυτικά(gravity assist ή Flyby) και εκσφενδονίζεται με πολύ μεγαλύτερη ταχύτητα εξοικονομώντας καύσιμα. Μπορεί επίσης να περάσει μπροστά από τη γη ή την Αφροδίτη προκειμένου να μειώσει ταχύτητα και να μεταβεί στην Αφροδίτη ή στον Ερμή.

ΕΔΩ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ