Aλλη λυση: To Μοναδιαιο διανυσμα κατα μηκος της y=3x ειναι α=(i+3j)/ριζα10
Το μοναδιαιο διανυσμα κατα μηκος της y=x ειναι b=(i+j)/ριζα2
Το διανυσμα α+b ειναι κατα μηκος της y=kx (γιατι;) η κλιση του οποιου ισουται με k. H κλιση ομως του α+b ισουται με το λογο των μετρων των y,x συνιστωσων του i.e. (3+ριζα5)/(1+ριζα5)
Τελευταία διόρθωση7 ημέρες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Μία τριγωνομετρική λύση, με δεδομένα εφ45=1, ημ45=συν45 (προκύπτουν γεωμετρικά). Ισχύει
εφ(α+β)=(ημασυνβ+ημβσυνα)/(συνασυνβ-ημαημβ).
Τότε:
εφ(45+2θ)=(ημ45συν2θ+ημ2θσυν45)/(συν45συν2θ-ημ2θημ45)=
(συν2θ+ημ2θ)/(συν2θ-ημ2θ)=3
Άρα συν2θ=2ημ2θ οπότε συν²θ-ημ²θ=4ημθσυνθ.
ή ημ²θ+4συνθημθ-συν²θ=0.
Με √Δ=2√5 συνθ.
Άρα ημθ=(√5-2)συνθ(1)
Τότε εφ(45+θ)=(συνθ+ημθ)/(συνθ-ημθ).
Με αντικατάσταση της(1) προκύπτει Κ=(√5-1)/(3-√5).
Διαδρομή Λαμία Γραβιά μέσω Αράχωβας και Δελφών
Τελευταία διόρθωση7 ημέρες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Ετσι για παιχνιδι ψαχνοντας να δωσω λυση με εμβαδα κατεληγα στο αξιοπρεπες 0=0.
Αλλά αφου είχα βρει τα υψη d1, d2 ψάχνοντας γιατι η ταυτοτητα είπα προφανως αφου κάθε σημειο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές.
Τελευταία διόρθωση6 ημέρες πριν από Διονύσης Μάργαρης
by 
Το αποτελεσμα με το ματι μόνο ειναι tan[π/4 +((Arctan3-Αrctan1)/2)]. Ενας υπολογιστης δινει 1,618,αυτο ομως δεν ειναι λυση,αυτο εννοουσα.
Τελικά ολοι σκεφτηκαμε θεωρημα Διχοτόμων. Μας εχει εκπαιδευσει ο Κυριακοπουλος μου φαινεται 🙂
Aλλη λυση: To Μοναδιαιο διανυσμα κατα μηκος της y=3x ειναι α=(i+3j)/ριζα10
Το μοναδιαιο διανυσμα κατα μηκος της y=x ειναι b=(i+j)/ριζα2
Το διανυσμα α+b ειναι κατα μηκος της y=kx (γιατι;) η κλιση του οποιου ισουται με k. H κλιση ομως του α+b ισουται με το λογο των μετρων των y,x συνιστωσων του i.e. (3+ριζα5)/(1+ριζα5)
Αρκεί σε σημείο χ του άξονα 0χ να φέρω κάθετο στον 0χ ή σε σημειο ψ του 0ψ κάθετο στον 0ψ για να σχηματιστει τριγωνο. συντεταγμένες χ,ψ απλοποιούνται.
Nαι Γιώργο σωστο. Η επιλογη x=1 ειναι προσωπικος τροπος διατυπωσης.Η πιο γενικη μεθοδος που λες ειναι πολυ καλη.
A(1,k) στην y=kx =>d(A,y=3x)=d(A,y=x)<=>k=οι τιμές στο ggb.
Συνέχεια: Η αρνητική τιμή του κ απορρίπτεται. Για Β(-1,-κ) κ>0, από τύπο απόστασης δεκτή η τιμή στο ggb.
Καλημέρα σε όλους. Μια διαφορετική (όχι πιο απλή) λύση και από μένα στο ωραίο πρόβλημα του Κωνσταντίνου. Καλές γιορτές σε όλους.
Μία τριγωνομετρική λύση, με δεδομένα εφ45=1, ημ45=συν45 (προκύπτουν γεωμετρικά). Ισχύει
εφ(α+β)=(ημασυνβ+ημβσυνα)/(συνασυνβ-ημαημβ).
Τότε:
εφ(45+2θ)=(ημ45συν2θ+ημ2θσυν45)/(συν45συν2θ-ημ2θημ45)=
(συν2θ+ημ2θ)/(συν2θ-ημ2θ)=3
Άρα συν2θ=2ημ2θ οπότε συν²θ-ημ²θ=4ημθσυνθ.
ή ημ²θ+4συνθημθ-συν²θ=0.
Με √Δ=2√5 συνθ.
Άρα ημθ=(√5-2)συνθ(1)
Τότε εφ(45+θ)=(συνθ+ημθ)/(συνθ-ημθ).
Με αντικατάσταση της(1) προκύπτει Κ=(√5-1)/(3-√5).
Διαδρομή Λαμία Γραβιά μέσω Αράχωβας και Δελφών
Καλησπερα Κωνσταντίνε, Σπύρο και Θύμιο.Ευχαριστω για τις Λυσεις σας με αναλυτικη Γεωμετρια,oλιγον γραμμικη αλγεβρα και τριγωνομετρια αντιστοιχα 🙂
Ετσι για παιχνιδι ψαχνοντας να δωσω λυση με εμβαδα κατεληγα στο αξιοπρεπες 0=0.
Αλλά αφου είχα βρει τα υψη d1, d2 ψάχνοντας γιατι η ταυτοτητα είπα προφανως αφου κάθε σημειο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές.
Ωραίο Γιώργο.Το γενικεύσες και το έλυσες με αποσταση σημείου από ευθεία.