Καλησπέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε ο Χότζας το είπε.
Αν αναφερόμαστε σε σύστημα δύο αντίθετες δυνάμεις εξουδετερώνονται. Τότε συνήθως μιλάμε για εσωτερικές δυνάμεις. Λέμε ότι η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν. Όταν μιλάμε για δράση – αντίδραση υπονοούμε ότι μιλάμε για τα σώματα ξεχωριστά.
Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Επειδή και γω έχω την άποψη του Παύλου, του Ανάργυρου και του Γιώργου, είπα να ρωτήσω το Copilot, μήπως κάνω λάθος.
Η απάντηση στο ερώτημα πότε δεν προστίθενται δύο διανύσματα:
Καλησπέρα σε όλους! Παύλο ευχαριστούμε για το διαγώνισμα. Τι βιβλίο αυτό υπάρχει 25 χρόνια τώρα ( όπως και η πρόταση αυτή) και η αντίστοιχη ερώτηση είναι η συνηθέστερη και η τυπικότερη, στην εν λόγω ενότητα, σε άπειρο υλικό (βοηθήματα, διαγωνίσματα, διαδικτυακά πολλαπλής κλπ) όλα αυτά τα χρόνια. Μου προκαλεί εντύπωση η κουβέντα αυτή το 2026. Η άποψή μου ταυτίζεται με τους περισσότερους και αυτό διδάσκω.
Είπα να ρωτήσω και τους φίλους μας τους Γάλλους (mistral)…
Αν είναι το ίδιο πράγμα να λέμε “η συνισταμένη δύο δυνάμεων” και το “διανυσματικό άθροισμα δύο δυνάμεων”.
Η απάντηση:
Ο Αλεξόπουλος γράφει: Προς τούτο ανάγομεν όλας τας δυνάμεις εις το κέντρον βάρους , οπότε ως γνωστόν θα προκύψει μία συνισταμένη δύναμις και μία συνισταμένη ροπή.
Πιο κάτω γράφει: Όταν η συνισταμένη δύναμις των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίση προς μηδέν, η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερά.
Η πρόσθεση δυνάμεων παρουσιάζεται ως προϊόν της αναγωγής που αναφέρει.
Οι Χαλιντέυ και Ρέσνικ γράφουν: Λόγω της ισότητας των ζευγαριών δράσεως – αντιδράσεως αυτές εξουδετερώνονται….
Ο Εντμίνιστερ μιλάει για συνισταμένη εξωτερική δύναμη. Αυτό όμως είναι ίσως περίφραση μια και στις αποδείξεις του είναι φανερό ότι εννοεί ένα διανυσματικό άθροισμα ορμών (των μελών του συστήματος) και ένα διανυσματικό άθροισμα δυνάμεων που εμφανώς στην απόδειξη ασκούνται σε διαφορετικά σώματα.
Έτσι δεν με απασχολεί το θέμα αν η συζήτηση είναι εκτεταμένη ή μάθημα στην τάξη όπου θα πούμε πολλά και θα φανεί τι εννοούμε.
Μπερδεύομαι όταν πρέπει να χαρακτηρίσω σωστή ή λανθασμένη μια πρόταση του τύπου: -Προστίθενται δύο δυνάμεις που ασκούνται σε διαφορετικά σώματα ναι ή όχι; Λέγε χωρίς πολλά λόγια. Απάντα μονολεκτικά. -Λυπάμαι δεν μπορώ να απαντήσω μονολεκτικά.
Ακριβως για αυτους τους λογους Γιάννη και για αυτους που εγραψα εγω πριν.μια τετοια ερωτηση δεν κανει για εξετασεις. Η αποψη οτι οι δυναμεις δρασης -αντιδρασης ποτέ δεν εξουδετερωνονται i.e. δεν εχουν συνισταμενη μηδεν,βασιζεται περισσοτερο στην δυναμη της συνηθειας του να δυδασκει κανεις κατι για χρονια. Παντα οποιεςδηποτε δυναμεις μπορουμε να θεωρησουμε οτι ασκουνται σε διαφορετικα σωματα,ή να διευρυνουμε το συστημα ετσι ωστε να τις καταστησουμε εσωτερικες,οποτε τοτε αυτες αν ειναι αντιθετες,εχουν συνισταμενη μηδεν. Αυτες μπορει να ειναι δραση αντιδραση δυο επι μερους σωματων του συστηματος. Η θεωρηση αυτη αποδεικνυει οτι οπως ειπες δεν υπαρχει μονολεκτική απαντηση. Το τι γραφει το σχολικο το οποιο ειναι γραμενο στο πόδι και πολλα άλλα επισης γραμμενα στο ποδι φροντιστηριακα τεύχη, φυλλαδια,βοηθήματα κλπ,δεν σημαινει τίποτα.Το πόσα χρονια το γραφει μεσα,δεν αποτελει σοβαρο επιχειρημα.To σχολικο οπως και φροντιστηριακα φυλαδια,λεει οτι παντα την χρονικη στιγμη που ξεκινανε τα σωματα,η επιταχυνση τους ειναι όχι μηδεν. Δεν θα το διδασκω αυτο το λαθος επειδη το ειδα γραμμενο.Ο Halliday ας πουμε που ειναι σοβαρο βιβλιο γραφει οτι σε καθε ζευγαρι δρασης -αντιδρασης εχουμε net δυναμη μηδεν,αρα βρισκει την συνισταμενη τους. Αρα μαλλον ετσι ειναι τα πραγματα. Επισης δεν κοιταμε Α.Ι.
Επαναλαμβανω οτι το point μου δεν ηταν ποια ειναι η απαντηση αυτη καθαυτη αλλα οτι αυτη η ερωτηση δεν κανει για εξετασεις.
Τελευταία διόρθωση2 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Κωνσταντίνε δεν είπα αυτό.
Είπα ότι εγώ δεν απαντώ μονολεκτικά. Όχι ότι θα προκαλούσε πρόβλημα σε Εξετάσεις Α’ Λυκείου.
Εκεί δεν θα είχαμε πρόβλημα μια και είναι εμφανές ότι η δυναμική συστημάτων δεν είναι γνωστή σε παιδιά της Α’ Λυκείου. Στα παιδιά αυτά κάποιες φορές λέμε:
Τα παιδιά πρέπει να μάθουν να μην προσθέτουν δυνάμεις που ασκούνται σε διαφορετικά σώματα. Να αποφεύγουν λάθη σαν αυτό της παρουσίασης.
Αργότερα θα μάθουν ότι ένα σύστημα είναι μία οντότητα και μπορούμε να προσθέσουμε δυνάμεις που στα πλαίσια της Α’ Λυκείου δεν προσθέταμε.
Εγω Γιαννη και οταν πηγαινα Α Λυκειου θΑ εβλεπα τις δυναμεις δραση-αντιδραση να ασκουνται ειτε στο ιδιο σωμα ειτε σε διαφορετικα σωματα αναλογως του ποιο θεωρω ως σωμα μελετης.Αυτο δεν το μαθαινουμε στο Πανεπιστημιο στην Α το μαθαινουμε.
Αναλογως βεβαιως του κατα ποσον ο διδασκων φροντιζει να εφοδιασει τους μαθητες με αυτη τη βασικη γνωση.Δεν μπορει να τραβας ενα σωμα καΙ μεσω ενος νηματος να τραβιεται και ενα δευτερο σωμα και ενας μαθητης που τελειωνει την Α να μην μπορει να γραψει τον δευτερο νομο για το σωμα Α,για το σωμα Β και για το σωμα Α+Β.
Επισης σε μια ερωτηση πολλαπλης μονολεκτικα απαντας και τσεκαρεις. Φυσικα και μια τετοια ερωτηση δημιουργρει προβλημα. Ο πιο ψαγμενος μαθητης θα απαντησει αλλοιως και θα χει δικιο.
Τελευταία διόρθωση2 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Υπάρχει το “πάντα” Δηλαδή ακόμα και στην περίπτωση που δεν αναφερόμαστε στο σύστημα που αυτά αποτελούν. Η πρόταση είναι λανθασμένη.
Θα είχε πρόβλημα μία άλλη πρόταση του τύπου: -Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες δύο δυνάμεις που έχουν σχέση δράσης – αντίδρασης έχουν συνισταμένη μηδέν.
Έριξα μια ματιά στα νέα βιβλία της Α Λυκείου. Και στα δύο αναφέρεται ο 3oς νόμος του Νεύτωνα πριν οριστεί η συνισταμένη δύναμη και δεν γίνεται καμία αναφορά για το αν ορίζεται ή όχι η συνισταμένη των δυνάμεων που έχουν σχέση δράσης – αντίδρασης. Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Κωνσταντίνε τα πόσα έτη κυκλοφορεί αυτή η ερώτηση δεν την καθιστά σωστή. Εγώ πάντως θεωρώ την πρόταση σωστή: πως δεν έχει νόημα η συνισταμένη δυνάμεων σε διαφορετικά σώματα και αυτό διδάσκω (και όπως λέω στα παιδιά δεν έχει νόημα να υπολογίσεις τη συνισταμένη μιας δύναμης που ασκείται στον μαθητή Λι στην Κίνα με μια δύναμη που ασκείται στον Γιωργάκη). Αυτό που με εντυπωσιάζει είναι πως ανακαλύπτουμε την προβληματική μιας πρότασης μετά από άπειρα χρόνια. Αν σε προβλημάτιζε η ισχύ αυτής της “πάνσυχνης” πρότασης-ερώτησης ας το έκανες ανάρτηση. Η κουβέντα αυτή στο πλαίσιο προσφοράς ενός διαγωνίσματος επειδή δεν είχες υπόψιν πως αυτό λέει το βιβλίο μου προκαλεί εντύπωση.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Χθες το απόγευμα προτίμησα να δώσω απαντήσεις Τ.Ν. και να μην επιχειρηματολογήσω για το σωστό ή το λάθος της συνισταμένης των δυνάμεων δράσης-αντίδρασης. Βλέπω όμως να μην πείθεσαι Κωνσταντίνε, παίρνοντας βοήθεια και από τις παραπομπές του Γιάννη, που βοήθησε να μεταφερθεί το παιχνίδι σε άλλο γήπεδο.
Και είναι άλλο πράγμα να μπεις στο γήπεδο να παίξεις ποδόσφαιρο και άλλο το γήπεδο να είναι του μπάσκετ και το παιχνίδι άλλο.
Ας δούμε λοιπόν ποιο είναι το ερώτημα. Μιλάμε για την Α΄ Λυκείου και για την δυναμική υλικούσημείου. Η συζήτηση δεν έχει να κάνει ούτε με τη θεωρία του στερεού σώματος, ούτε τη θεωρία του συστήματος σωμάτων που αναλυτικά υπάρχει στο βιβλίο της Γ΄ τάξης, στο κεφάλαιο των κρούσεων και εκτός ύλης!!! Μια φορά διδάχτηκε όλο και όλο…
Στην πρώτη τάξη λοιπόν διαβάζουμε τον ορισμό τι σημαίνει συνισταμένη δύναμη:
Τι πιο καθαρό στη διατύπωση; «Σε κάποιο σώμα» … «Μια δύναμη που μπορεί να αντικαταστήσει τις δυνάμεις αυτές».
Ο βασικός στόχος της δυναμικής στην Α΄τάξη, είναι ο σχεδιασμός των δυνάμεων σε ένα σώμα (διάβαζε υλικό σημείο) και η εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα, στο σώμα αυτό. Κάθε τι που δυσκολεύει το στόχο αυτό πρέπει να αποφεύγεται κατά τη διδασκαλία. Το σύστημα θα το συναντήσουν οι μαθητές και αυτό σε πρώτη επαφή, όταν χρειαστεί να μελετήσουν την ορμή. Τότε θα μάθουν για εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις και πιο ύστερα, στην Γ΄ τάξη θα ακούσουν και για κέντρο μάζας (όσο ακούσουν και όσο καταλάβουν με το κουτσούρεμα της ύλης)…
Εξάλλου και ο όρος «συνισταμένη δύναμη» είναι προβληματικός όταν μελετάμε το στερεό σώμα, αρκεί να σκεφτούμε ότι πολλές φορές για να αντικαταστήσουμε δύο δυνάμεις, δεν αρκεί μια άλλη (συνισταμένη) αλλά επιπλέον και κάποια ροπή. Ας αναφέρω εδώ τη συνισταμένη ενός ζεύγους δυνάμεων…
Συνεχίζω λοιπόν λέγοντας ότι στη Α΄Τάξη δεν μελετάμε σύστημα σωμάτων, αλλά κάθε φορά μελετάμε ένα σώμα (υλικό σημείο) και ο,τιδήποτε άλλο είναι το περιβάλλον του, με το οποίο αλληλεπιδρά. Έτσι ας πάρουμε το πιο απλό παράδειγμα, που έδωσε παραπάνω ο Κωνσταντίνος, με τα δυο σώματα, τα οποία σπρώχνει κάποιος ασκώντας δύναμη F.
Ο μαθητής πρέπει να μάθει να σχεδιάζει τις δυνάμεις (ας μείνουμε στην οριζόντια διεύθυνση εδώ, για ευνόητους λόγους), σε κάθε σώμα, όπως στα δυο διαφορετικά σχήματα, παραπάνω. Και στη συνέχεια να γράψει για κάθε σώμα το 2ο νόμο:
Και αφού οι δυνάμεις FΑΒ και FΒΑ είναι αντίθετες, ενώ τα δυο σώματα κινούνται μαζί, οπότε έχουν την ίδια επιτάχυνση, με πρόσθεση παίρνουμε:
Στο σημείο αυτό ο καθηγητής μπορεί να σχολιάσει και να διευκρινίσει ό,τι νομίζει απαραίτητο. Αλλά η λύση που επιβάλλεται να δει ο μαθητής είναι η παραπάνω. Μελετάει κινήσεις δύο υλικών σημείων…
Θα μπορούσε κάποιος να μιλήσει για ένα σώμα; Ναι θα μπορούσε. Θα μπορούσε από την αρχή να πει, ότι μην βλέπετε δύο σώματα που το ένα σπρώχνει το άλλο, αλλά ένα υλικό σημείο με μάζα m1+m2 το οποίο επιταχύνεται από μια δύναμη F. Και στην περίπτωση αυτή βέβαια, δεν θα σχεδιάσει καμιά άλλη οριζόντια δύναμη, πέραν της F, αφού κανένα σώμα δεν ασκεί δύναμη στον εαυτόν του και θα γράψει απευθείας την τελευταία εξίσωση όπως παραπάνω. Προσοχή όμως. Το σώμα ΑΒ δεν ασκεί δύναμη στον εαυτόν του σημαίνει δεν έχουμε δράση-αντίδραση, δεν έχουμε εσωτερικές δυνάμεις και συνισταμένη τους. Έχουμε ΜΟΝΟ ένα υλικό σημείο, το οποίο επιταχύνεται από μια δύναμη F.
Την ίδια αναλυτική λογική θα πρέπει να ακολουθήσει και στα παρακάτω δύο σχήματα, όπου μπορούμε τις τάσεις του νήματος και τις δυνάμεις από το ελατήριο να τις συνδέσουμε με ζευγάρια δράσης – αντίδρασης.
Βέβαια στην περίπτωση του νήματος τα δυο σώματα κινούνται με την ίδια επιτάχυνση, στη περίπτωση του ελατηρίου όχι! Συνεπώς δεν μπορεί κάποιος να εφαρμόσει τη λογική του «ενός σώματος». Εκεί πηγαίνουμε στο σύστημα και στην επιτάχυνση του κέντρου μάζας… που μπορεί κάθε δύναμη (εσωτερική) να μην μεταβάλει την επιτάχυνση του κέντρου μάζας, αλλά μεταβάλλει την επιτάχυνση κάθε επιμέρους σώματος…
Τελευταία διόρθωση2 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Να επανέλθω όμως στον ορισμό της συνισταμένης δύναμης.
Ας δούμε δυο παραδείγματα.
Το σώμα Α ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων, όπως στο σχήμα. Η συνισταμένη των δυνάμεων F1 και F2 είναι μηδενική.
Πράγμα που σημαίνει ότι μπορώ να τις αντικαταστήσω με μια μηδενική δύναμη, δηλαδή να μην ασκήσω καμιά δύναμη πάνω του και αυτό δεν θα αλλάξει κάτι. Το σώμα θα ηρεμεί, όπως στο δεξιό σχήμα.
Και έστω τώρα ότι σε ένα λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο αφήνω να κινηθούν δύο αντίθετα φορτισμένες σφαίρες όπως στο σχήμα:
Και αυτές πλησιάζουν η μία την άλλη.
Ας κάνω δεκτό το επιχείρημα ότι μπορώ να μιλάω για τη συνισταμένη δράσης- αντίδρασης στο σύστημα των δύο σφαιρών, οπότε η συνισταμένη τους είναι μηδενική. Συνεπώς μπορώ να αντικαταστήσω τις δυο δυνάμεις με μια άλλη μηδενική. Μπορώ να το κάνω όπως στο δεξιό σχήμα, αφαιρώντας τα φορτία τους, οπότε δεν ασκείται καμιά οριζόντια δύναμη πάνω τους. Προφανώς, με βάση τον ορισμό της συνισταμένης δύναμης, περιμένουμε η αντικατάσταση αυτή να μην αλλάξει κάτι. Τι λέτε συνάδελφοι; Θα κινηθούν τώρα οι δυο σφαίρες;
Μήπως το ότι οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μεταβάλλουν την ορμή του συστήματος, σημαίνει ότι έχουν συνισταμένη μηδενική και δεν αλλάζει τίποτα; Ωραία δεν μεταβάλλουν τη θέση του κέντρου μάζας (ένα γεωμετρικό σημείο, του χώρου!!!), αλλά μεταβάλουν την θέση και την ταχύτητα κάθε υλικού σημείου… Και αυτή η μεταβολή δεν είναι αμελητέα υπόθεση για να την πετάμε…
Τελευταία διόρθωση2 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
by 
Καλησπέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε ο Χότζας το είπε.
Αν αναφερόμαστε σε σύστημα δύο αντίθετες δυνάμεις εξουδετερώνονται. Τότε συνήθως μιλάμε για εσωτερικές δυνάμεις. Λέμε ότι η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν. Όταν μιλάμε για δράση – αντίδραση υπονοούμε ότι μιλάμε για τα σώματα ξεχωριστά.
Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Επειδή και γω έχω την άποψη του Παύλου, του Ανάργυρου και του Γιώργου, είπα να ρωτήσω το Copilot, μήπως κάνω λάθος.
Η απάντηση στο ερώτημα πότε δεν προστίθενται δύο διανύσματα:
Καλησπέρα σε όλους! Παύλο ευχαριστούμε για το διαγώνισμα. Τι βιβλίο αυτό υπάρχει 25 χρόνια τώρα ( όπως και η πρόταση αυτή) και η αντίστοιχη ερώτηση είναι η συνηθέστερη και η τυπικότερη, στην εν λόγω ενότητα, σε άπειρο υλικό (βοηθήματα, διαγωνίσματα, διαδικτυακά πολλαπλής κλπ) όλα αυτά τα χρόνια. Μου προκαλεί εντύπωση η κουβέντα αυτή το 2026. Η άποψή μου ταυτίζεται με τους περισσότερους και αυτό διδάσκω.
Είπα να ρωτήσω και τους φίλους μας τους Γάλλους (mistral)…
Αν είναι το ίδιο πράγμα να λέμε “η συνισταμένη δύο δυνάμεων” και το “διανυσματικό άθροισμα δύο δυνάμεων”.
Η απάντηση:
Γεια σου Δημήτρη. Δημήτρη και Διονύση σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και την κατάθεση της άποψη σας (και όχι μόνο – Α.Ι.).
Ο Αλεξόπουλος γράφει:
Προς τούτο ανάγομεν όλας τας δυνάμεις εις το κέντρον βάρους , οπότε ως γνωστόν θα προκύψει μία συνισταμένη δύναμις και μία συνισταμένη ροπή.
Πιο κάτω γράφει:
Όταν η συνισταμένη δύναμις των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίση προς μηδέν, η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερά.
Η πρόσθεση δυνάμεων παρουσιάζεται ως προϊόν της αναγωγής που αναφέρει.
Οι Χαλιντέυ και Ρέσνικ γράφουν:
Λόγω της ισότητας των ζευγαριών δράσεως – αντιδράσεως αυτές εξουδετερώνονται….
Ο Εντμίνιστερ μιλάει για συνισταμένη εξωτερική δύναμη. Αυτό όμως είναι ίσως περίφραση μια και στις αποδείξεις του είναι φανερό ότι εννοεί ένα διανυσματικό άθροισμα ορμών (των μελών του συστήματος) και ένα διανυσματικό άθροισμα δυνάμεων που εμφανώς στην απόδειξη ασκούνται σε διαφορετικά σώματα.
Έτσι δεν με απασχολεί το θέμα αν η συζήτηση είναι εκτεταμένη ή μάθημα στην τάξη όπου θα πούμε πολλά και θα φανεί τι εννοούμε.
Μπερδεύομαι όταν πρέπει να χαρακτηρίσω σωστή ή λανθασμένη μια πρόταση του τύπου:
-Προστίθενται δύο δυνάμεις που ασκούνται σε διαφορετικά σώματα ναι ή όχι; Λέγε χωρίς πολλά λόγια. Απάντα μονολεκτικά.
-Λυπάμαι δεν μπορώ να απαντήσω μονολεκτικά.
Ακριβως για αυτους τους λογους Γιάννη και για αυτους που εγραψα εγω πριν.μια τετοια ερωτηση δεν κανει για εξετασεις. Η αποψη οτι οι δυναμεις δρασης -αντιδρασης ποτέ δεν εξουδετερωνονται i.e. δεν εχουν συνισταμενη μηδεν,βασιζεται περισσοτερο στην δυναμη της συνηθειας του να δυδασκει κανεις κατι για χρονια. Παντα οποιεςδηποτε δυναμεις μπορουμε να θεωρησουμε οτι ασκουνται σε διαφορετικα σωματα,ή να διευρυνουμε το συστημα ετσι ωστε να τις καταστησουμε εσωτερικες,οποτε τοτε αυτες αν ειναι αντιθετες,εχουν συνισταμενη μηδεν. Αυτες μπορει να ειναι δραση αντιδραση δυο επι μερους σωματων του συστηματος. Η θεωρηση αυτη αποδεικνυει οτι οπως ειπες δεν υπαρχει μονολεκτική απαντηση. Το τι γραφει το σχολικο το οποιο ειναι γραμενο στο πόδι και πολλα άλλα επισης γραμμενα στο ποδι φροντιστηριακα τεύχη, φυλλαδια,βοηθήματα κλπ,δεν σημαινει τίποτα.Το πόσα χρονια το γραφει μεσα,δεν αποτελει σοβαρο επιχειρημα.To σχολικο οπως και φροντιστηριακα φυλαδια,λεει οτι παντα την χρονικη στιγμη που ξεκινανε τα σωματα,η επιταχυνση τους ειναι όχι μηδεν. Δεν θα το διδασκω αυτο το λαθος επειδη το ειδα γραμμενο.Ο Halliday ας πουμε που ειναι σοβαρο βιβλιο γραφει οτι σε καθε ζευγαρι δρασης -αντιδρασης εχουμε net δυναμη μηδεν,αρα βρισκει την συνισταμενη τους. Αρα μαλλον ετσι ειναι τα πραγματα. Επισης δεν κοιταμε Α.Ι.
Επαναλαμβανω οτι το point μου δεν ηταν ποια ειναι η απαντηση αυτη καθαυτη αλλα οτι αυτη η ερωτηση δεν κανει για εξετασεις.
Κωνσταντίνε δεν είπα αυτό.
Είπα ότι εγώ δεν απαντώ μονολεκτικά. Όχι ότι θα προκαλούσε πρόβλημα σε Εξετάσεις Α’ Λυκείου.
Εκεί δεν θα είχαμε πρόβλημα μια και είναι εμφανές ότι η δυναμική συστημάτων δεν είναι γνωστή σε παιδιά της Α’ Λυκείου. Στα παιδιά αυτά κάποιες φορές λέμε:
Τα παιδιά πρέπει να μάθουν να μην προσθέτουν δυνάμεις που ασκούνται σε διαφορετικά σώματα. Να αποφεύγουν λάθη σαν αυτό της παρουσίασης.
Αργότερα θα μάθουν ότι ένα σύστημα είναι μία οντότητα και μπορούμε να προσθέσουμε δυνάμεις που στα πλαίσια της Α’ Λυκείου δεν προσθέταμε.
Εγω Γιαννη και οταν πηγαινα Α Λυκειου θΑ εβλεπα τις δυναμεις δραση-αντιδραση να ασκουνται ειτε στο ιδιο σωμα ειτε σε διαφορετικα σωματα αναλογως του ποιο θεωρω ως σωμα μελετης.Αυτο δεν το μαθαινουμε στο Πανεπιστημιο στην Α το μαθαινουμε.
Αναλογως βεβαιως του κατα ποσον ο διδασκων φροντιζει να εφοδιασει τους μαθητες με αυτη τη βασικη γνωση.Δεν μπορει να τραβας ενα σωμα καΙ μεσω ενος νηματος να τραβιεται και ενα δευτερο σωμα και ενας μαθητης που τελειωνει την Α να μην μπορει να γραψει τον δευτερο νομο για το σωμα Α,για το σωμα Β και για το σωμα Α+Β.
Επισης σε μια ερωτηση πολλαπλης μονολεκτικα απαντας και τσεκαρεις. Φυσικα και μια τετοια ερωτηση δημιουργρει προβλημα. Ο πιο ψαγμενος μαθητης θα απαντησει αλλοιως και θα χει δικιο.
Ας δούμε γιατί δεν βλέπω πρόβλημα:
Υπάρχει το “πάντα” Δηλαδή ακόμα και στην περίπτωση που δεν αναφερόμαστε στο σύστημα που αυτά αποτελούν. Η πρόταση είναι λανθασμένη.
Θα είχε πρόβλημα μία άλλη πρόταση του τύπου:
-Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες δύο δυνάμεις που έχουν σχέση δράσης – αντίδρασης έχουν συνισταμένη μηδέν.
Έριξα μια ματιά στα νέα βιβλία της Α Λυκείου. Και στα δύο αναφέρεται ο 3oς νόμος του Νεύτωνα πριν οριστεί η συνισταμένη δύναμη και δεν γίνεται καμία αναφορά για το αν ορίζεται ή όχι η συνισταμένη των δυνάμεων που έχουν σχέση δράσης – αντίδρασης. Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Κωνσταντίνε τα πόσα έτη κυκλοφορεί αυτή η ερώτηση δεν την καθιστά σωστή. Εγώ πάντως θεωρώ την πρόταση σωστή: πως δεν έχει νόημα η συνισταμένη δυνάμεων σε διαφορετικά σώματα και αυτό διδάσκω (και όπως λέω στα παιδιά δεν έχει νόημα να υπολογίσεις τη συνισταμένη μιας δύναμης που ασκείται στον μαθητή Λι στην Κίνα με μια δύναμη που ασκείται στον Γιωργάκη). Αυτό που με εντυπωσιάζει είναι πως ανακαλύπτουμε την προβληματική μιας πρότασης μετά από άπειρα χρόνια. Αν σε προβλημάτιζε η ισχύ αυτής της “πάνσυχνης” πρότασης-ερώτησης ας το έκανες ανάρτηση. Η κουβέντα αυτή στο πλαίσιο προσφοράς ενός διαγωνίσματος επειδή δεν είχες υπόψιν πως αυτό λέει το βιβλίο μου προκαλεί εντύπωση.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Χθες το απόγευμα προτίμησα να δώσω απαντήσεις Τ.Ν. και να μην επιχειρηματολογήσω για το σωστό ή το λάθος της συνισταμένης των δυνάμεων δράσης-αντίδρασης. Βλέπω όμως να μην πείθεσαι Κωνσταντίνε, παίρνοντας βοήθεια και από τις παραπομπές του Γιάννη, που βοήθησε να μεταφερθεί το παιχνίδι σε άλλο γήπεδο.
Και είναι άλλο πράγμα να μπεις στο γήπεδο να παίξεις ποδόσφαιρο και άλλο το γήπεδο να είναι του μπάσκετ και το παιχνίδι άλλο.
Ας δούμε λοιπόν ποιο είναι το ερώτημα. Μιλάμε για την Α΄ Λυκείου και για την δυναμική υλικού σημείου. Η συζήτηση δεν έχει να κάνει ούτε με τη θεωρία του στερεού σώματος, ούτε τη θεωρία του συστήματος σωμάτων που αναλυτικά υπάρχει στο βιβλίο της Γ΄ τάξης, στο κεφάλαιο των κρούσεων και εκτός ύλης!!! Μια φορά διδάχτηκε όλο και όλο…
Στην πρώτη τάξη λοιπόν διαβάζουμε τον ορισμό τι σημαίνει συνισταμένη δύναμη:
Τι πιο καθαρό στη διατύπωση; «Σε κάποιο σώμα» … «Μια δύναμη που μπορεί να αντικαταστήσει τις δυνάμεις αυτές».
Ο βασικός στόχος της δυναμικής στην Α΄τάξη, είναι ο σχεδιασμός των δυνάμεων σε ένα σώμα (διάβαζε υλικό σημείο) και η εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα, στο σώμα αυτό. Κάθε τι που δυσκολεύει το στόχο αυτό πρέπει να αποφεύγεται κατά τη διδασκαλία. Το σύστημα θα το συναντήσουν οι μαθητές και αυτό σε πρώτη επαφή, όταν χρειαστεί να μελετήσουν την ορμή. Τότε θα μάθουν για εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις και πιο ύστερα, στην Γ΄ τάξη θα ακούσουν και για κέντρο μάζας (όσο ακούσουν και όσο καταλάβουν με το κουτσούρεμα της ύλης)…
Εξάλλου και ο όρος «συνισταμένη δύναμη» είναι προβληματικός όταν μελετάμε το στερεό σώμα, αρκεί να σκεφτούμε ότι πολλές φορές για να αντικαταστήσουμε δύο δυνάμεις, δεν αρκεί μια άλλη (συνισταμένη) αλλά επιπλέον και κάποια ροπή. Ας αναφέρω εδώ τη συνισταμένη ενός ζεύγους δυνάμεων…
Συνεχίζω λοιπόν λέγοντας ότι στη Α΄Τάξη δεν μελετάμε σύστημα σωμάτων, αλλά κάθε φορά μελετάμε ένα σώμα (υλικό σημείο) και ο,τιδήποτε άλλο είναι το περιβάλλον του, με το οποίο αλληλεπιδρά. Έτσι ας πάρουμε το πιο απλό παράδειγμα, που έδωσε παραπάνω ο Κωνσταντίνος, με τα δυο σώματα, τα οποία σπρώχνει κάποιος ασκώντας δύναμη F.
Ο μαθητής πρέπει να μάθει να σχεδιάζει τις δυνάμεις (ας μείνουμε στην οριζόντια διεύθυνση εδώ, για ευνόητους λόγους), σε κάθε σώμα, όπως στα δυο διαφορετικά σχήματα, παραπάνω. Και στη συνέχεια να γράψει για κάθε σώμα το 2ο νόμο:
Και αφού οι δυνάμεις FΑΒ και FΒΑ είναι αντίθετες, ενώ τα δυο σώματα κινούνται μαζί, οπότε έχουν την ίδια επιτάχυνση, με πρόσθεση παίρνουμε:
Στο σημείο αυτό ο καθηγητής μπορεί να σχολιάσει και να διευκρινίσει ό,τι νομίζει απαραίτητο. Αλλά η λύση που επιβάλλεται να δει ο μαθητής είναι η παραπάνω. Μελετάει κινήσεις δύο υλικών σημείων…
Θα μπορούσε κάποιος να μιλήσει για ένα σώμα; Ναι θα μπορούσε. Θα μπορούσε από την αρχή να πει, ότι μην βλέπετε δύο σώματα που το ένα σπρώχνει το άλλο, αλλά ένα υλικό σημείο με μάζα m1+m2 το οποίο επιταχύνεται από μια δύναμη F. Και στην περίπτωση αυτή βέβαια, δεν θα σχεδιάσει καμιά άλλη οριζόντια δύναμη, πέραν της F, αφού κανένα σώμα δεν ασκεί δύναμη στον εαυτόν του και θα γράψει απευθείας την τελευταία εξίσωση όπως παραπάνω. Προσοχή όμως. Το σώμα ΑΒ δεν ασκεί δύναμη στον εαυτόν του σημαίνει δεν έχουμε δράση-αντίδραση, δεν έχουμε εσωτερικές δυνάμεις και συνισταμένη τους. Έχουμε ΜΟΝΟ ένα υλικό σημείο, το οποίο επιταχύνεται από μια δύναμη F.
Την ίδια αναλυτική λογική θα πρέπει να ακολουθήσει και στα παρακάτω δύο σχήματα, όπου μπορούμε τις τάσεις του νήματος και τις δυνάμεις από το ελατήριο να τις συνδέσουμε με ζευγάρια δράσης – αντίδρασης.
Βέβαια στην περίπτωση του νήματος τα δυο σώματα κινούνται με την ίδια επιτάχυνση, στη περίπτωση του ελατηρίου όχι! Συνεπώς δεν μπορεί κάποιος να εφαρμόσει τη λογική του «ενός σώματος». Εκεί πηγαίνουμε στο σύστημα και στην επιτάχυνση του κέντρου μάζας… που μπορεί κάθε δύναμη (εσωτερική) να μην μεταβάλει την επιτάχυνση του κέντρου μάζας, αλλά μεταβάλλει την επιτάχυνση κάθε επιμέρους σώματος…
Να επανέλθω όμως στον ορισμό της συνισταμένης δύναμης.
Ας δούμε δυο παραδείγματα.
Το σώμα Α ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων, όπως στο σχήμα. Η συνισταμένη των δυνάμεων F1 και F2 είναι μηδενική.
Πράγμα που σημαίνει ότι μπορώ να τις αντικαταστήσω με μια μηδενική δύναμη, δηλαδή να μην ασκήσω καμιά δύναμη πάνω του και αυτό δεν θα αλλάξει κάτι. Το σώμα θα ηρεμεί, όπως στο δεξιό σχήμα.
Και έστω τώρα ότι σε ένα λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο αφήνω να κινηθούν δύο αντίθετα φορτισμένες σφαίρες όπως στο σχήμα:
Και αυτές πλησιάζουν η μία την άλλη.
Ας κάνω δεκτό το επιχείρημα ότι μπορώ να μιλάω για τη συνισταμένη δράσης- αντίδρασης στο σύστημα των δύο σφαιρών, οπότε η συνισταμένη τους είναι μηδενική. Συνεπώς μπορώ να αντικαταστήσω τις δυο δυνάμεις με μια άλλη μηδενική. Μπορώ να το κάνω όπως στο δεξιό σχήμα, αφαιρώντας τα φορτία τους, οπότε δεν ασκείται καμιά οριζόντια δύναμη πάνω τους. Προφανώς, με βάση τον ορισμό της συνισταμένης δύναμης, περιμένουμε η αντικατάσταση αυτή να μην αλλάξει κάτι. Τι λέτε συνάδελφοι; Θα κινηθούν τώρα οι δυο σφαίρες;
Μήπως το ότι οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μεταβάλλουν την ορμή του συστήματος, σημαίνει ότι έχουν συνισταμένη μηδενική και δεν αλλάζει τίποτα; Ωραία δεν μεταβάλλουν τη θέση του κέντρου μάζας (ένα γεωμετρικό σημείο, του χώρου!!!), αλλά μεταβάλουν την θέση και την ταχύτητα κάθε υλικού σημείου… Και αυτή η μεταβολή δεν είναι αμελητέα υπόθεση για να την πετάμε…