by Ένα σωματίδιο με καθορισμένη ορμή 
(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
δεν μπορεί να είναι ένα στιγμιότυπο της κυματοσυνάρτησης του σωματιδίου σε μια χρονική στιγμή t. A είναι μια σταθερά.
(β) Ποια είναι η χρησιμότητα ενός τέτοιου αρμονικού κύματος;
Οι απαντήσεις υπάρχουν εδώ:
Ανύπαρκτα σωματίδια γεννούν τα υπαρκτά – Πρότυπα Θέματα Φυσικής
Αφού το |ψ|^2 μηδενίζεται στους κόμβους, αυτό σημαίνει οτι υπάρχουν σημεία με μηδενική πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου. Αυτό αντίκειται στην εκφώνηση.
Η λύση θα πρέπει να είναι της μορφής ψ= Αcos(kx-ωt)+Bsin(kx-ωt) με τα Α, Β Μιγαδικούς. Αυτό δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμο-δεν γίνεται στην φύση. Aποτελεί την βάση για να χτίσουμε ένα κυματοπακέτο. Αν σε ένα τέτοιο κυματοπακέτο έχω μια αβεβαιότητα Δp η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών θα είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και θα υλοποιείται στην φύση.
Πολύ ωραίο θέμα
Μανώλη, σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.
Πράγματι, αν κάποιος θελήσει να δει το θέμα βαθύτερα, εμφανίζονται όλα όσα θυμόμαστε από τα φοιτητικά μας χρόνια: ο χώρος Hilbert, οι μιγαδικοί αριθμοί, οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και όλη αυτή η κομψή – αλλά προχωρημένη – μαθηματική δομή.
Αυτό που μπορούμε να κάνουμε στο Λύκειο και προσπαθώ να αναδείξω στην παρούσα αλλά και στις υπόλοιπες αναρτήσεις μου σχετικά με τη Λυκειακή Κβαντομηχανική, είναι ότι ακόμη και αυτά τα «μεγάλα» εργαλεία στηρίζονται σε ιδέες που διδάσκονται στο Λύκειο: στην ερμηνεία του Born, στη συνθήκη κανονικοποίησης και στην αρχή της επαλληλίας.
Με αυτές τις λυκειακές γνώσεις μπορεί ένας μαθητής να καταλάβει γιατί το αρμονικό κύμα δεν περιγράφει πραγματικό σωματίδιο και πώς η κυματοσυνάρτηση ενός πραγματικού ελεύθερου σωματιδίου κατασκευάζεται με τη σύνθεση αρμονικών κυμάτων. Από εκεί και πέρα βεβαίως ανοίγεται ο συναρπαστικός κόσμος που περιγράφεις.
Γεια σας κε Ανδρεα. Καταλαβαινω το πρίσμα υπό το οποίο το θετετε. Γενικά το ελεύθερο σωματίδιο είναι πολύ δύστροπο και μαθηματικά και φυσικά και ως εκ τούτου ένα πολύ δύσκολο για μένα διδακτικό εγχείρημα σε φοιτητές και πόσο μάλλον σε μαθητες.
Προσωπικά βρίσκω πιο εύκολο να μιλήσω (σε φοιτητές, για μαθητές όχι) για το απειροβαθο Πηγάδι για να αναδείξω αυτή τη συμπεριφορά και σιγά σιγά να πάμε προς το ελεύθερο.
Τι εκτιματε ότι θα πάρουν τα παιδιά από μια τέτοια διερεύνηση;
Μανώλη, έχεις απόλυτο δίκιο: το ελεύθερο σωματίδιο είναι από τα πιο «δύστροπα» πλάσματα της Κβαντομηχανικής: απλώνεται παντού και δεν κανονικοποιείται.
Το άπειρο πηγάδι, αντίθετα, έχει σύνορα και στάσιμα κύματα.
Για τους μαθητές Λυκείου όμως, ο στόχος εδώ είναι πιο ταπεινός – πιο σχολικός:
να δουν ότι ακόμη και ένα απλό αρμονικό κύμα δεν μπορεί να περιγράψει πραγματικό σωματίδιο, γιατί δεν μπορούμε να του δώσουμε συνολική πιθανότητα 1.
Και αυτό μπορούν να το καταλάβουν με τα εργαλεία που ήδη διαθέτουν:
την ερμηνεία του Born, την κανονικοποίηση και την επαλληλία.
Τι θα πάρουν λοιπόν τα παιδιά από αυτή τη διερεύνηση;
Με άλλα λόγια, δεν προσπαθούμε να τους βάλουμε να παλέψουν με το ελεύθερο σωματίδιο∙ απλώς τους δείχνουμε γιατί δεν μπορεί να περιγραφεί με ένα απλό ημίτονο. Και αυτό, στο επίπεδο του Λυκείου, είναι ήδη μια πολύ όμορφη και καθαρή ιδέα.
Με αφορμή το σχόλιο του Μανώλη Χανιωτάκη (τον οποίο και από εδώ ευχαριστώ) για λόγους πληρότητας και άμεσης πρόσβασης παραθέτω σε εικόνα τις Ενότητες από το σχολικό βιβλίο στις οποίες στηρίζεται η απάντηση στην παρούσα ανάρτηση.
Eυχαριστώ κε Αντρέα.
Νομίζω οτι είναι too much το κομμάτι αυτό να είναι μεσ’ στην ύλη. Ελπίζω ότι με το νέο πρόγραμμα σπουδών θα είναι καλύτερα τα πράγματα. To PSSC σταματούσε στα υλικά κύματα : έπιανε το σωματίδιο σε κουτί και στο τέλος το υδρογόνο προσεγγίζοντάς το με τo στάσιμο κύμα που κάνει το ηλεκτρόνιο (Bohr-Sommerfeld) στο άτομο του υδρογόνου. Mε έναν ωραίο ημικλασσικό υπολογισμό έβαζε τα παιδιά να υπολογίσουν την ενέργεια της θεμελιώδους στάθμης.
Πολλή έρευνα έγινε μετέπειτα για την αρχή της αβεβαιότητας (μεταξύ των οποίων και οι Βελέντζας και Χαλκιά έκαναν φοβερή δουλειά) και έχουμε πλέον καλά εργαλεία για να την παρουσιάσουμε σε παιδιά λυκείου.
Νομίζω οτι ως εκεί τα παιδιά έχουν γνωστικά την δυνατότητα να παρακολουθήσουν και έχουμε στιβαρά διδακτικά εργαλεία για να τα προσεγγίσουμε.
Η προσπάθεια βέβαια συνεχίζεται με πολλές αξιόλογες προσεγγίσεις (καταστάσεις υπέρθεσης πχ) αλλά κατ’ εμέ είναι άλλο να μπορώ να μιλήσω για κάτι στα παιδιά και άλλο να έχει ωριμάσει η κατάσταση ώστε να περάσω τα πράγματα αυτά μεσ’ στο αναλυτικό πρόγραμμα συστηματικά.