by 
Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης θ=30°. Στο ανώτερο σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου στερεώνουμε το άνω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200N/m, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε σώμα Σ μάζας m=2kg, που ισορροπεί όπως στο σχήμα.
Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω (προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου) κατά d=5cm από τη θέση ισορροπίας κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, και τη χρονική στιγμή που θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων t0=0 το αφήνουμε ελεύθερο.
Α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη συχνότητα της ταλάντωσης.
Β. Να υπολογίσετε το λόγο του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου προς το μέτρο της δύναμης επαναφοράς στην ανώτερη θέση της ταλάντωσης του σώματος.
Γ. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την επιτάχυνση του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να την σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες για το χρονικό διάστημα από 0 έως 2π/5 s. Να θεωρήσετε ως θετική φορά αυτή της αρχικής εκτροπής του σώματος Σ, δηλαδή την προς τα κάτω.
Δ. Να υπολογίσετε το (μικρότερο) χρονικό διάστημα που απαιτείται από τη χρονική στιγμή που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος έως να επιμηκυνθεί κατά Δl=7,5cm.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
Η συνέχεια εδώ.
Καλησπέρα Μίλτο
Θα συμφωνήσω με τον Διονύση restart και σιγά τέρμα τα γκάζια.
Η απόδειξη η διανυσματική μου αρέσει πολύ. Όσες όμως φορές το έχω τολμήσει δεν τα έχω καταφέρει.
Καλησπέρα Μίλτο. Ωραία άσκηση και προσεγμένη όλη η παρουσίαση. Προσωπικά για την απόδειξη της αατ προτείνω στους μαθητές να κάνουν μια τυχαία θέση όπου επιθυμούν και να σχεδιάζουν το διάνυσμα θέσης στην τυχαία θέση αυτή. Τέλος, θετική φορά για την απόδειξη να είναι αυτή του διανύσματος θέσης και να το τονίζουν ξεκάθαρα αυτό. Δουλεύουν στη συνέχεια αλγεβρικά για τις δυνάμεις.
Ακριβώς έτσι το πηγαίνω κι εγώ κ. Δημήτρη.
Σχεδιασμός σε μια “τυχαία” θετική θέση.
Καλησπέρα Μίλτο. Λες: “δεν μου αρέσει η “Τυχαία Θέση” να επιλέγεται επιτηδευμένα προς τα θετικά…”
Συνηθιζα να λέω στους μαθητές μου το εξης:
“Επειδη δεν εξαρτάται από την επιλεγείσα θετική φορα ,το αν το σώμα θα κάνει ΑΑΤ
(δηλαδή το αν το σώμα θα κάνει ΑΑΤ δεν παιζει ρολο η δική μου απόφαση ορισμού θετικής φοράς), για το συγκεκριμένο ερώτημα επιλέγω θετική φορά την…(τυχαίας απομάκρυνσης).”
Έτσι απεύφεγαν μπλεξίματα με προσημα και διανύσματα.
Χρήστο, Δημήτρη, Άγγελε και Γιώργο καλησπέρα σας και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό!
Φυσικά και η προσέγγιση με την επιλεγμένη θετική φορά που αναφέρετε είναι σωστή και μάλλον η πιο προσιτή στους μαθητές!
Απλά προτιμώ την προσέγγιση που προτείνω. Έτσι η Τ.Θ. είναι όντως τυχαία χωρίς ειδικά χαρακτηριστικά
Καλημερα Μιλτο,καλημερα σε ολους. Εξυπνη και ωραια η ασκηση οπως αλλωστε ολες του Μιλτου. Δυο παρατηρησεις. Οταν κανουμε πραξεις με διανυσματα που βρισκονται πανω σε αξονα,οπως συμβαινει σε ολες τις ΑΑΤ και φυσικα οπως και σε αυτην την ασκηση,μια αλγεβρικη εξισωση και η αντιστοιχη διανυσματικη εξισωση,ειναι ισομορφες,δηλαδη ειτε βαλουμε βελακια ειτε oχι,ειναι το ιδιο.Αυτο διοτι καθε διανυσμα ταυτιζεται με την αλγεβρικη τιμη του οπως ακριβως ενα διανυσμα, say στις δυο διαστασεις,ταυτιζεται με ενα ζευγος αριθμων. Στις διατυπωσεις βεβαιως με διανυσματα δεν υπαρχει λαθος,αλλα το να περναμε απο μια διανυσματικη εξισωση σε μια αλγεβρικη,δεν ειναι σκοπιμο. Καλυτερα μονο αλβεβρικες εξισωσεις ευθυς εξαρχης.Δεν υπαρχει λογος να πηδαμε απο την μια στην αλλη.
Επισης το στρεφομενο διανυσμα που αντιστοιχει σε μια ταλαντωση και ο κυκλος αναφορας της ταλαντωσης,ειναι μια μαθηματικη μεθοδος η οποια πρεπει παντα να γινεται δεκτη,αφου ειναι Μαθηματικα.
Ομως: Η εννοια “κυκλος αναφορας της ταλαντωσης” δεν υπαρχει σε κανενα βιβλιο του Λυκειου και ουτε ειναι υποχρεωμενος ο μαθητης να την γνωριζει. Ουτε ο καθηγητης που θα διορθωσει ειναι υποχρεωμενος να την θεωρει δεδομενη.
Οποιος θελει να χρησιμοποιησει αυτην την μαθηματικη μεθοδο,ειναι υποχρεωμενος να κανει επιτοπου μια συντομη θεμελιωση της μεθοδου πριν την γραψει. Oχι πολλα πραγματα. Οτι υπαρχει μια αντιστοιχια μεταξυ ενος περιστρεφομενου διανυσματος και ενος σωματος που κανει ΑΑΤ ,το οποιο βρισκεται πανω στην προβολη της ακρης του διανυσματος,πανω σε μια διαμετρο του κυκλου. Και σχημα.Ο κυκλος αυτος λεγεται κυκλος αναφορας της ταλαντωσης.
Δεν χρειαζεται τιποτα αλλο.Πρεπει ο μαθητης να φαει λιγα δευτερολεπτα και να το γραψει αυτο.
Η μεθοδος αυτη βασιζεται στο οτι η προβολη ειναι γραμμικη απεικονιση και επομενως η προβολη του αθροισματος ισουται με το αθροισμα των προβολων και ετσι ειναι σωστο να προσθετουμε διανυσματα και να βρισκουμε την προβολη του αθροισματος οταν θελουμε να βγαλουμε συμπερασματα για μια συνθετη ταλαντωση,κλπ.
Δεν αποκλειεται ενας εξεταστης,αν δει γραμμενο σκετο,”χρησιμοποιω τον κυκλο αναφορας της ταλαντωσης”,να πει τι ειναι αυτο; Και να το σβησει.
Γεια σου Κωνσταντίνε. Ευχαριστώ για το σχολιασμό και τα καλά σου λόγια!
Ομολογώ ότι περίμενα περισσότερες “ενστάσεις” για το περιστρεφόμενο, παρά για την απόδειξη.
Να είσαι καλά!
Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα.
Κωνσταντίνε εμεις οι παλαιότεροι το μαθαμε και λειτουργούσαμε με κύκλο αναφοράς και όχι με στρεφόμενα διανύσματα. Αργότερα μπηκαν στην διδασκαλία τα στρεφόμενα διανύσματα. Και δεν νομίζω ότι πρέπει να πάμε απο τα διανύσματα στο κυκλο αναφοράς αφου αυτός οριζεται από μόνος του (η προβολή σημείου ,που εκτελει ομαλή κυκλική κινηση ακτινος Α , στον άξονα y(ημιτόνων) .είναι ενα σημειο που εκτελει ΑΑΤ σε αυτόν τον άξονα) .
Δεν πιστεύω οτι οι νεωτεροι συναδελφοι αγνοούν αυτό.
Και από την στιγμη που “νομιμοποιηθηκε” ο κυκλος απο την λυση που έστειλε η ΚΕΕ τότε νομίζω ότι και η φραση “κύκλος αναφοράς” ,”νομιμοποιείται” .
Γεια σας παιδιά. Κωνσταντίνε οι ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων του 2021 από βαθμολογικό κέντρο. Δεν γίνεται καμία αναφορά στη μέθοδο και επομένως ούτε οι μαθητές είναι υποχρεωμένοι να το κάνουν. Κάποιοι παλιότερα έβαζαν τους μαθητές να περιγράφουν τη μέθοδο, ξοδεύοντας από το χρόνο τους. Δεν νομίζω ότι τίθεται πλέον ζήτημα.
Καλησπερα Γιωργο,Αποστολη,Μιλτο και σε ολη την παρεα.(Αποστόλη Χρόνια Πολλα!) Οταν πηγαινα Λυκειο καναμε το βιβλιο του Μάζη το οποιο στην πρωτη σελιδα των ταλαντωσεων ειχε εναν τετοιο κυκλο ακτινας Α,με ενα σημειο να κανει ομαλη κυκλικη κινηση και την προβολη του πανω σε μια διαμετρο y,να ειναι y=Aημωt,αρα να κανει ΑΑΤ. Σε καποιο σημειο εγραφε: H ταχυτητα της προβολης ισουται με την προβολη της ταχυτητας,δηλ Αωσυνωt. Εγω το ειχα απορια Γιατι; Τωρα βεβαιως ξερω την απαντηση αλλα τωρα εχω τελειωσει Πανεπιστημιο 🙂 Διοτι η παραγωγιση ειναι γραμμικη διαδικασια που ισοδυναμει με το οτι η παραγωγος του αθροισματος,ισουται με το αθροισμα των παραγωγων.Ετσι αν η θεση του υλικου σημειου που γυρναει γυρω γυρω ειναι r(t),τοτε αν δυο καθετες διαμετροι ειναι x,y ισχυει r(t)=x(t)+y(t).Aυτη η εξισωση σημαινει το προφανες οτι η προβολη της θεσεως r πανω στον x,δηλαδη το x,ισουται με την θεση της προβολης πανω στον x,δηλαδη παλι το x. Tωρα λογω της γραμμικοτητας της παραγωγισεως,η ταχυτητα της προβολης i.e x‘(t),ισουται με την προβολη της ταχυτητας δηλ παλι το x‘(t).Τα ιδια φισικα ισχυουν και για τον y αξονα.Αρα δεν μπορει κανεις να μιλησει για κυκλο αναφορας και να βγαλει συμπερασματα,χωρις να μιλησει για περιστρεφομενα διανυσματα. Επισης ισχυει το οτι οταν εχουμε δυο διαφορετικες ταλαντωσεις πανω στον ιδιο αξονα,τοτε το περιστρεφομενο διανυσμα που αντιπροσωπευει το αθροισμα των δυο ταλαντωσεων,ισουται με το αθροισμα των περιστρεφομενων διανυσματων καθε ταλαντωσεως χωριστα. Αυτο διοτι η προβολη διανυσματος ειναι επισης Γραμμικη διαδικασια. Αν ηθελα να χρησιμοποιησω πιο φανσυ ορολογια θα ελεγα οτι ο προβολικος τελεστης ειναι γραμμικος τελεστης. Παλι χωρις περιστρεφομενα διανυσματα δεν γινεται.
Αυτα βεβαιως δεν ειναι αναγκη να τα ξερουν τα παιδια. Μπορουν να χρησιμοποιουν αυτη την μεθοδο χωρις να δινουν λογαριασμο σε κανεναν,αφου ειναι σωστα Μαθηματικα. Εγω απλως μιλησα για την ορολογια “κυκλοςαναφορας” Τι ειναι αυτο; Που το γραφει; Δεν υπαρχει πουθενα ουτε σε βιβλια Μαθηματικων ουτε Φυσικης.Δεν μπορουμε να χρησιμοποιουμε αγνωστες φρασεις σε εξετασεις χωρις να τις εχουμε ορισει.Θελει δυο τρεις σειρες εξηγησεων πανω στο γραπτο,για να ειναι ολα ενταξει.
Αν ο αλλος κοψει μοναδες τοτε παρε το αυγο και κουρευτο.
Αποστολη η υλη καθοριζεται απο το τι λενε τα βιβλια και οχι οι ενδεικτικες λυσεις. Αυτα που βλεπω στην ενδεικτικη λυση με ενα σκετο σχημα χωρις εξηγησεις για μενα ειναι ουρανοκατεβατα.Αυτες απευθυνονται σε καθηγητες οχι στα παιδια. Ξαναλεω για να μην παρεξηγηθω οτι αυτη η μεθοδος ειναι νομιμη οπως καθε μαθηματικη μεθοδος αρκει να εξηγουμε τι κανουμε.
Καλησπέρα σε όλους. Και να συμπληρώσω ότι αρχίσαμε να χρησιμοποιούμε στρεφόμενο διάνυσμα αντί κύκλο αναφοράς ,στην ύλη του Λυκείου, όταν το βιβλίο της δέσμης στη σύνθεση ταλαντώσεων τα χρησιμοποίησε για πρώτη φορά σε σχολικό βιβλίο.