by 
Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης θ=30°. Στο ανώτερο σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου στερεώνουμε το άνω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200N/m, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε σώμα Σ μάζας m=2kg, που ισορροπεί όπως στο σχήμα.
Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω (προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου) κατά d=5cm από τη θέση ισορροπίας κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, και τη χρονική στιγμή που θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων t0=0 το αφήνουμε ελεύθερο.
Α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη συχνότητα της ταλάντωσης.
Β. Να υπολογίσετε το λόγο του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου προς το μέτρο της δύναμης επαναφοράς στην ανώτερη θέση της ταλάντωσης του σώματος.
Γ. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την επιτάχυνση του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να την σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες για το χρονικό διάστημα από 0 έως 2π/5 s. Να θεωρήσετε ως θετική φορά αυτή της αρχικής εκτροπής του σώματος Σ, δηλαδή την προς τα κάτω.
Δ. Να υπολογίσετε το (μικρότερο) χρονικό διάστημα που απαιτείται από τη χρονική στιγμή που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος έως να επιμηκυνθεί κατά Δl=7,5cm.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
Η συνέχεια εδώ.
Restat στις εργοστασιακές ρυθμίσεις!
Καλημέρα Μίλτο.
Γεια σου Μίλτο, όμορφη άσκηση.
Καλημέρα Διονύση, καλημέρα Παύλο. Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Η περίοδος επιβάλλει αναπροσαρμογή και επανεκκίνηση!
Καλημέρα Μίλτο.
Ωραία άσκηση νομίζω στο επίπεδο που πρέπει να είναι τα θέματα.
Μία παρατήρηση μόνο νομίζω ότι κάτι δεν πάει καλά με το σχήμα στην απόδειξη της α.α.τ.δεν συμφωνεί με τις σχέσεις.
Καλημέρα Γρήγορη! Χαίρομαι που σου άρεσε.
Το σχήμα σίγουρα δεν συμφωνεί με το γεγονός ότι το σώμα δεν υπερβαίνει τη ΘΦΜ κατά την ταλάντωση του, αλλά η αριθμητική επεξεργασία γίνεται παρακάτω.
Αναφορικά με την απόδειξη, πρόσεξε ότι κάνω χρήση διανυσμάτων και αλγεβρικών τιμών. Το είδος της κίνησης και η απόδειξη είναι ανεξάρτητη από την θετική φορά και η Τ.Θ. επιλέχθηκε σκόπιμα εκεί, ώστε να αναδειχθεί η γενική προσέγγιση.
Σε ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση. Να είσαι καλά!
Μίλτο αναφέρομαι στην απόδειξη. Στο σχήμα οι δυνάμεις στην τυχαία θέση είναι ομόρροπες, επίσης με βάση το σχήμα ΔL=X-ΔLo.
Νομίζω πως η Τ.Θ. για να συμφωνεί πρέπει να είναι κάτω απο τη θέση ισορροπίας αλλά πάλι μπορεί να κάνω και λάθος.
Πάντως καλή άσκηση.
Καλημέρα Μίλτο. Πολύ καλή άσκηση εμπέδωσης.Μια γνώμη.Για την Β ερώτηση: Νομίζω ότι είναι “unfair” για τους μαθητές να ζητάμε λόγο που είτε είναι μηδέν είτε τείνει στο άπειρο. Δημιουργεί αβεβαιότητα. Έκανα έλεγχο όλων των πράξεών για να βεβαιωθω ότι είναι μηδέν.Ποσο μάλλον οι μαθητές και δη σε διαγώνισμα.
Στο παρελθόν ,στην άσκηση με την σφήνα, διόρθωσα τρια γραπτά που ήταν άριστα ως το ερώτημα που έβγαζε άπειρο και ενώ το είχανε βρει σωστά το διαγραψανε και έκαναν άλλη λύση ,λανθασμένη, μη εμπιστευόμενοι στο αρχικό σωστό αποτέλεσμα.
Κατάλαβα Γρηγόρη τον προβληματισμό σου.
Χρησιμοποιώ διανύσματα. Έτσι, από τη Θ.Ι. για να βρεθώ στην Τ.Θ. απομακρύνομαι κατά ένα διάνυσμα x ανεξάρτητα του προς τα που (είναι γενικό).
Με βάση τη θετική φορά του προβλήματος παρακάτω, το Δl0 είναι θετικό και το x αρνητικό. Έτσι, θα προκύψει η αφαίρεση που λες.
Καλημέρα Γιώργο!
Δεν μπορώ να διαφωνήσω μαζί σου. Έδωσα πανελλαδικές το 2005…στο Δ3 βγάζω το 0 και το σβήνω θεωρώντας ότι έκανα λάθος…ευτυχώς χωρίς να σβήσω τα προηγούμενα!!!
Υπάρχει όμως μια μεγάλη διαφορά. Τότε, ο λόγος μαζών έβγαινε μηδενικός και όχι το μέτρο δυνάμεων!
Εντάξει , κατάλαβα.
Μίλτο το θυμάμαι 21 χρόνια μετα αφ’ενός επειδη στεναχωρέθηκα πολύ για τα παιδιά και αφ’ετέρου επειδη μου εγινε μάθημα να αποφεύγω σε οποιαδήποτε περίπτωση να βαζω ερωτηματα που καταλήγουν έτσι. Στην δικιά σου άσκηση π.χ. θα ζητουσα τον λογο μια χρονική στιγμή π,χ. την 7π/60 sec ή στην κατω ακραία θέση.
Παρ’όλα αυτά ειναι μια πολυ όμορφη ασκηση εμπεδωσης που δινει δυνατότητα στον εκπαιδευτικό να συζητήσει αρκετά θεματα.
Καλησπέρα Μίλτο. Ωραία και κατανοητή. Το τελευταίο ερώτημα, λύνεται πολύ γρήγορα με στρεφόμενο. Αν ξεκινήσει ο μαθητής με τα kπ, θα χάσει πολύ χρόνο. Θα μπορούσε να ζητηθεί και στα φετινά θέματα… Θα συμφωνήσω με το Γρηγόρη. Στην πλειοψηφία των απαντήσεων σε ερωτήματα γιά λόγο, βρίσκουμε ένα κλάσμα διάφορο του μηδενός.
Αλλά ο κατασκευαστής του θέματος έχει τον πρώτο “λόγο”.
Καλημέρα και καλή εβδομάδα!
Μίλτο έχει ενδιαδέρον η απόδειξη ότι το σώμα εκτελει ΑΑΤ με τον τρόπο που προτείνεις . Λαμβάνεις υπόψιν σου το Νόμο του Hooke : Fελ = – k * Δl οπου τα σύμβολα Fελ , Δl αντιστοιχούν σε διανύσματα . Επομένως στην όποια τυχαία θέση και αν επιλέξουμε θα ισχύει : Δl = Δlo + x , (διανύσματα) έτσι το Δl θα είναι ένα διάνυσμα που θα έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου (Δlο) και ως τέλος το τέλος του δεύτερου (x).
Προσοχή όμως στο εξής : πολλές φορές κάνουμε εκπτωση συμβόλων στην επίλυση μιας άσκησης και όταν αναφερόμαστε στο μέτρο της δύναμης του ελατηρίου γράφουμε απλά :
Fελ = k*Δl , τώρα τα σύμβολα Fελ , Δl αντιστοιχουν σε μέτρα των αντιστοιχων διανυσματικών μεγεθών οπότε κάπου εδώ αρχίζει το μπλέξιμο .
Κανονικά θα έπρεπε να γραφτεί |Fελ| = k*|Δl| αν θέλουμε να είμαστε συμβατοί με την αρχική μας θεώρηση.
Προσοχή χρειάζεται όταν το ελατήριο είναι οριζόντιο και η ΑΑΤ οφείλεται αποκλειστικά στη δύναμη του ελατηρίου η οποία παίζει το ρόλο της δύναμης επαναφοράς . Εκεί ο μαθητής θα γράψει Fελ = k*Δl = k*x …. κ.λ.π. καταλαβαίνεις τι θέλω να πω .
Στο έρωτημα Β έχεις βάλει απόλυτη τιμη |Fελ| αλλά δεν έχεις βαλει απόλυτη τιμή στην παραμόρφωση (κάνεις και εσυ μια εκπτωση συμβόλων) αυτό δημιουργεί μοιραία μια σύγχυση .
( Εδώ στο λόγο των μέτρων των δυνάμεων βάλε στον παρανομαστή |Fεπ| ) .
Επίσης καλό θα είναι στο σχήμα σου να φαίνεται , αφου έχεις βρεί όσα χρειάζονται , το εύρος της ταλάντωσης .
Καλησπέρα Ανδρέα, καλησπέρα Κώστα και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ναι Ανδρέα, αν και παρεξηγημένο, το περιστρεφόμενο προσφέρει ασφάλεια!
Κώστα έκανα τη διόρθωση στον παρονομαστή του κλάσματος, ευχαριστώ! Στο ερώτημα (Β), ναι θα έπρεπε να είμαι πιο αυστηρός στη χρήση των συμβόλων, αλλά λέω στο κείμενο (πριν κάνω την έκπτωση που αναφέρεις!) ότι κάνω χρήση μέτρων.
Προτιμώ αυτό τον τρόπο απόδειξης, αν και δεν γίνεται πάντα εύκολα αποδεκτός από τους περισσότερους μαθητές…δεν μου αρέσει η “Τυχαία Θέση” να επιλέγεται επιτηδευμένα προς τα θετικά…
Ελπίζω τα νέα βιβλία να βοηθήσουν ώστε να σταματήσει το μπλέξιμο αυτό.
Έχεις επίσης δίκαιο ότι ένα τουλάχιστον ακόμη σχήμα θα μπορούσε να μπει για πληρότητα.
Να είσαι καλά!