Ισορροπία – Κρούση – Ταλάντωση

Σώμα Σ₁ μάζας m₁=1 kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου σταθεράς  k₁ =25 N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο και συνδέεται με οριζόντιο νήμα (νήμα 1)  με τον εξωτερικό δίσκο τροχαλίας. Η τροχαλία αποτελείται από δύο ομόκεντρους κυκλικούς δίσκους με ακτίνες R=2r = 0,2 m. Στον εσωτερικό δίσκο είναι τυλιγμένο νήμα (νήμα 2) το οποίο συνδέεται με σώμα σώμα Σ₂  μάζας m₂=1 kg  που ισορροπεί κατακόρυφα. Στην ίδια κατακόρυφο και κάτω  από το Σ₂ βρίσκεται σε απόσταση h=0,9 m ένα άλλο σώμα Σ₃ μάζας m₃ =2 kg δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₃ =50 N/m με το άλλο του άκρο στερεωμένο στο έδαφος.

α) Να υπολογίσετε την επιμήκυνση ή συσπείρωση των δύο ελατηρίων.

Τη χρονική στιγμή t₀ =0 κόβεται το νήμα 1 με αποτέλεσμα το Σ₁ να αρχίζει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και η τροχαλία να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γ=10 rad/s²

β) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x(t)  της ταλάντωσης του Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, θετική φορά προς το νήμα 1.

Τη χρονική στιγμή t₁ =1 s κόβεται και το νήμα 2 και τα σώματα Σ₂ και Σ₃  συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.

γ) Να προσδιορίσετε τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση

δ) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης y(t)  της ταλάντωσης του Σ₃ σε συνάρτηση με το χρόνο.

ε) Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τα  σώματα Σ₂ και Σ₃ τη στιγμή που το Σ₃ θα σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά.

Τα νήματα δεν ολισθαίνουν στους δίσκους της τροχαλίας.

Δίνεται g=10 m/s²  π=3,14 και π²=10.

Απάντηση