Η έκλειψη του αιώνα

Θα είμαι και εγώ εκεί στο Λούξορ της Αιγύπτου όπου 2/8/27 θα συμβεί η δεύτερη μεγαλύτερη σε διάρκεια ολική έκλειψη ηλίου του 21ου αιώνα. Αυτή του 2009 έφτασε τα 6m και 39s αλλά έγινε στον ειρηνικό ωκεανό και την είδαν σχετικά λίγοι. Η της 2/8/27 θα φτάσει στο Λούξορ τα 6m 23s και υπολογίζεται ότι θα την δουν 90 εκατομμύρια ντόπιοι και συνολικά 200.000.000 άνθρωποι!!! από την νότια Ισπανία, το Μαρόκο, την Αλγερία, την Τυνησία, την Λιβύη, την Αίγυπτο, Σουδάν, τη Σαουδική Αραβία, Υεμένη, Σομαλία και αυτός είναι ο λόγος που χαρακτηρίζεται έκλειψη του αιώνα. Ήδη τα ξενοδοχεία αρχίζουν να εξαντλούνται και οι τιμές είναι απλησίαστες, εγώ θα πάω μέσω Καϊρου, ταλαιπωρία αλλά δεν μπορώ να περιμένω την επόμενη μεγαλύτερη στις 3 Ιουνίου 2114.

Η συνηθισμένη διάρκεια μιας ολικής έκλειψης ηλίου είναι 2-4m. Σε αυτήν έχει συνωμωτίσει το σύμπαν για να έχουμε μεγάλη διάρκεια. Πρώτον ο ήλιος είναι πολύ μακριά στα 151.726.696 km και ο δίσκος του στον ουρανό κοντά στην ελάχιστη τιμή. Δεύτερον η σελήνη είναι πολύ κοντά ώστε ο δίσκος της να είναι κοντά στη μέγιστη τιμή και να υπερκαλύπτει τον ηλιακό δίσκο. Τρίτον στο Λούξορ γίνεται μεσημέρι και ο ήλιος θα είναι σχεδόν κατακόρυφα πάνω από τα κεφάλια μας(στις 82⁰) δεδομένου ότι είναι καλοκαίρι και το Λούξορ είναι κοντά στην περιοχή που ο ήλιος πέφτει κάθετα. Αυτό το τελευταίο σημαίνει ότι το κέντρο της σελήνης κινούμενο θα διέλθει κοντά από το κέντρο του ήλιου και το διάστημα που θα διανύσει η σελήνη έχοντας καλυμένο τον ηλιακό δίσκο θα είναι το μέγιστο δυνατό(σε άλλες περιοχές δεν ικανοποιείται αυτή η προϋπόθεση και η έκλειψη θα έχει μικρότερη διάρκεια). Γενικά σε κάθε ολική έκλειψη ηλίου το μέγιστο βρίσκεται στην περιοχή που ο ήλιος είναι πιο ψηλά. Βέβαια το σημαντικό είναι ότι ή γη είναι απόλυτα ευθυγραμμισμένη με τον ήλιο και τη σελήνη κάτι που όμως ισχύει σε κάθε ολική έκλειψη ηλίου.

Και τώρα λίγο γεωμετρία.

Το μέγεθος του δίσκου ενός ουράνιου αντικειμένου προσδιορίζεται από τη γωνία ω υπό την οποία ένας παρατηρητής στη γη βλέπει την διάμετρο του αντικειμένου. Το μέγεθος αυτό ονομάζεται φαινομένη διάμετρος. Η φαινόμενη ημιδιάμετρος δίνεται από τη σχέση εφ(ω/2) = ΚΛ/ΠΚ, αλλά η ΠΚ ισούτε ουσιαστικά με τη ΓΚ δεδομένου ότι οι αποστάσεις είναι πολύ μεγάλες και η ακτίνα της γης πολύ μικρή. Έτσι για τον ήλιο με ΚΛ = R_H = 695.500 km και ΠΚ = ΓΚ = 151.726.696 => εφ(ω/2) = 0,0045839 => ω/2 = 0,0045839 rad = 15΄ 45,5΄΄ => ω = 31΄ 31΄΄ , για τη σελήνη ΚΛ = R_Σ = 1737,4, ΠΚ = ΓΚ = 357257 km και προκύπτει ω = 33΄ 26΄΄ σημαντικά μεγαλύτερη αυτής του ήλιου.

Τι γίνεται στον ουρανό τη στιγμή της ολικής έκλειψης

Ήλιος και σελήνη κινούνται από την ανατολή προς τη δύση λόγω περιστροφής της γης από τη δύση προς την ανατολή οπότε αυτή η κίνηση δε μας αφορά γιατί δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ των δύο σωμάτων. Ο ήλιος κινείται γύρω από τη γη σε 365 ημέρες επομένως στα 6 λεπτά είναι πρακτικά ακίνητος , η σελήνη κινείται όμως γύρω από τη γη από τη δύση προς την ανατολή σε 27,3 ημέρες με αποτέλεσμα να διασχίζει τον ηλιο και επειδή ο δίσκος της είναι μεγαλύτερος από αυτόν του ήλιου έχουμε ολική έκλειψη ηλίου.

Πως υπολογίζουμε τη διάμετρο της σκιάς στη γη και τη διάρκεια της έκλειψης

οι εξωτερικές εφαπτόμενες ήλιου και σελήνης ορίζουν τον κώνο της σκιάς της σελήνης ο οποιος υπό προϋποθέσεις φτάνει στη γη σχηματίζοντας τη σκιά(έντονη γραμμούλα στο Μ). Από τα όμοια τρίγωνα ΑΚΣ και ΕΚΗ => R_Σ/R_H = KΣ/(ΚΣ+rH-rΣ) => 695500/1737,4 = ΚΣ/(ΚΣ+151.726696-357.257) => ΚΣ = 379.077 km, δηλαδή το Κ τελικά είναι πίσω από τη γη, έτσι ΚΜ = R_Γ – ΓΚ = R_Γ -(rΣ-ΚΣ) = R_Γ – r_Σ + ΚΣ = 6371 – 357.257 + 379.077 => ΚΜ = 28191 km. Aν d η διάμετρος της σκιάς, εφ(ΑΚΣ)= R_Σ/ΚΣ = d/2/KM => d= 258 km η διάμετρος της σκιάς στο Λούξορ και  πραγματικά θα είναι τόση ακριβώς.

Διάρκεια της έκλειψης στο Λούξορ

Παρατηρητής στο Λούξορ σε γεωγραφικό πλάτος φ = 25,5⁰ λόγω περιστροφής τηε γης κινείται σε κύκλο ακτίνας χ = R_Γσυνφ = 6371000χσυν25,5 => χ = 5946200 m , με περίοδο Τ = 23h 56m = 86160 s , άρα η ταχύτητα του παρατηρητή θα είναι υ = 2πχ/Τ = 434 m/s από τη δύση προς την ανατολή.

Η σελήνη κινείται σε ελλειπτική τροχιά με μεγάλο ημιάξονα α = 384400 km και βρίσκεται σε απόσταση r = 357.257 km. Η ολική της ενέργεια είναι Ε = -GM_ΓΜ_Σ/2α(όση της κυκλικής τροχιά οπου R=α),οπότε η ενέργεια στη θέση r =E=>1/2M_Συ_Σ²-GM_ΓΜ_Σ = -GM_ΓΜ_Σ/2α, για G = 6,67×10^-11 Nm²/kg², M_Γ = 6χ10²⁴ kg, r = 357.257.000 m, α = 384.400.000 m => υ_Σ = 1092 m/s επίσης από τη δύση προς την ανατολή. Ο παρατηρητής στο Λούξορ επομένως θεωρώντας τον εαυτό του ακίνητο βλέπει τη σελήνη να κινείται με σχετική ταχύτητα υ_σχ = υ_Σ – υ = 1092 – 434 = + 658 m/s δηλαδή η σκιά της για τον ακίνητο παρατηρητή θα κινείται με την ιλιγγιώδη ταχύτητα 658 m/s = 2369 km/h από τη δύση προς την ανατολή και θα διανύει τα 258 km σε 258.000/658 = 392 s = 6m 30s. Η διάρκεια της έκλειψης επομένως προκύπτει θεωρητικά 6m 30s ενώ πραγματικά θα είναι 6m 23s. 

Αξίζει να σημειώσουμε ότι ενώ ο ήλιος και η σελήνη κινούνται από την ανατολή προς τη δύση λόγω περιστροφής της γης η σκιά της σελήνης κινείται από τη δύση προς την ανατολή(Ισπανία προς Σαουδική Αραβία). Αν δούμε προσεκτικά την ανάρτηση αυτό είναι φυσιολογικό γιατί η σχετική ταχύτητα της σελήνης για τον ακίνητο παρατηρητή έχει φορά από τη δύση προς την ανατολή. Τέλος αν σε μία πλήρη ευθυγράμμιση γης – σελήνης – ήλιου η σκιά της σελήνης δε φτάνει στη γη αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος της σελήνης είναι μικρότερος από το δίσκο του ήλιου στον ουρανό και αντί ολικής έκλειψης έχουμε εντυπωσιακή δακτυλιοειδή έκλειψη όπου ένα δαχτυλίδι γύρω από τον ήλιο μένει φωτισμένο και ο υπόλοιπος δίσκος σκοτεινός.