by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 18 Μάρτιος 2012 και ώρα 19:30
Διαβάζω στις συχνές ερωτήσεις του ψηφιακού σχολείου, κεφ 4ο Μηχανική στερεού σώματος, ερώτηση 8:
Ερώτηση
Όταν ένας κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πώς θα ξέρω σε κάθε περίπτωση προς τα πού θα είναι η κατεύθυνση της δύναμης της τριβής;
Απάντηση
Για το σχεδιασμό της Τστατ, εφαρμόζουμε την ιδιότητα της τριβής, να αντιστέκεται στην κίνηση που τείνει να κάνει το σώμα στο οποίο ασκείται. Όμως σε επαφή με το δάπεδο δεν είναι το κέντρο μάζας του σώματος αλλά ένα σημείο του σώματος.
Έτσι για το σχεδιασμό της Τστατ, εργαζόμαστε ως εξής:
-βρίσκουμε προς τα πού έχει την τάση να κινηθεί το σημείο του σώματος που είναι σε επαφή με το δάπεδο, λόγω της δράσης όλων των άλλων δυνάμεων και ροπών εκτός της στατικής τριβής.
– σχεδιάζουμε την Τστατ, σε κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν που τείνει να κινηθεί το σημείο αυτό.
Μια άλλη προσέγγιση είναι η στατική τριβή να σχεδιαστεί αυθαίρετα. Έτσι όμως υπολογίζουμε κατά τη λύση την αλγεβρική τιμή της και όχι το μέτρο της. Αυτό σημαίνει ότι αν μετά τη λύση της άσκησης προκύψει για την τιμή της Τs θετική τιμή, σχεδιάστηκε σωστά, αλλιώς σχολιάζουμε ότι έχει αντίθετη φορά από τη σχεδιασθείσα στο σχήμα.
Επειδή δεν έμεινα ικανοποιημένος από την απάντηση, αποφάσισα να ανεβάσω ένα κείμενο με ανάλογο περιεχόμενο με το γνωστό αναλυτικό τρόπο που αντιμετώπιζονται οι απορίες των μαθητών εδώ στο ylikonet, που η αναφορά του από επίσημο κείμενο που βρίσκεται αναρτημένο στο ψηφιακό σχολείο κατά λάθος αφαιρέθηκε 🙂
Το κείμενο που αναρτώ έχει ως βάση παλαιότερη ανάρτηση του Σταύρου Πρωτογεράκη με τίτλο “Ζητήματα που προκαλούν οι τριβές” καθώς και παραδείγματα από σχετική αναρτήση του Διονύση Μάργαρη.
Κατά τη γνώμη μου το θέμα της στατικής τριβής είναι δύσκολο για τα παιδιά και δεν μπορεί ν΄απαντηθεί με “δύο γραμμές”. Ο κ. Κασσέτας ΕΔΩ αναλύει τι έγινε το 2004 στο 4ο θέμα που απαιτούσε σχεδιασμό “εύκολης” στατικής τριβής και ΕΔΩ γράφει “Η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος προκάλεσε και τις περισσότερες συζητήσεις μεταξύ των βαθμολογητών”.
Ανάλογη αναφορά και διεξοδική μελέτη έχει γίνει από το Νίκο Σταματόπουλο ΕΔΩ.
Κύλιση χωρίς ολίσθηση και στατική τριβή
και στο blogspot
Νίκο
μπράβο. Πολύ λεπτομερής και διεξοδική μελέτη.
Μπράβο . Σαφής και αναλυτικός .
Πάντως η δύσκολη περίπτωση είναι η τυχαία εξωτερική δύναμη Δες την 2η διερεύνηση
Μπράβο Νίκο. Αξίζει να το διαβάσουν μαθητές.
Μπράβο και στον Δημήτρη.
Ylikonet και πάσης Ελλάδος.
NIKO ΠΟΛΥ ΚΑΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ..Η ΑΝΑΡΤΗΣΗ ΣΟΥ
ΕΔΩΣΕ ΤΗΝ ΣΚΥΤΑΛΗ ΣΤΟΝ ΔΗΜΗΤΡΗ (ΓΚ) … ΚΑΙ ΜΑΣ ΕΔΩΣΕ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΥ ΚΑΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗ…
ΝΑ’ΣΤΕ ΚΑΛΑ.
Αφού ευχαριστήσω τους αγαπητούς φίλους για τα θετικά σχόλια να τονίσω ότι αυτή η ανάρτηση οφείλεται στις γνώσεις που πήρα από μέλη του δικτύου τα οποία αναφέρω και φυσικά από τις συζητήσεις που έχουν γίνει με αφορμή σχετικές αναρτήσεις.
Συγκρίνοντας κάποιος τα πληρωμένα κείμενα του ψηφιακού με τα δωρεάν που υπάρχουν στο ylikonet γεμίζει θλίψη.
Όπως φαίνεται και από την ανάρτηση του Δημήτρη, το εντός ύλης θέμα της στατικής τριβής είναι δύσκολο και προσφέρεται στη ΚΕΓΕ αν θελήσει να ρίξει τις βάσεις.
Το ξαναγράφω κι εδώ, “με δυό μισερές αράδες” το θέμα αυτό δεν μπορεί να γίνει κατανοητό. Όταν ερωτηθεί ένας μαθητής (ειδικά τεχνολογικής), πως βρίσκει τη φορά της στατικής τριβής, η συνηθισμένη απάντηση είναι “γιατί έτσι… νομίζω”.
Νίκο συγχαρητήρια.
Εξαιρετική δουλειά! Μπράβο και στο Δημήτρη!
Καλημέρα σε όλους.
Αφού συγχαρώ τους συναδέλφους Νίκο και Δημήτρη για τις μελέτες τους, θα ήθελα να κάνω μια μικρή παρέμβαση.
Όταν έχουμε ένα άγνωστο διάνυσμα u πχ στον άξονα x΄x συνηθίζουμε να το παριστάνουμε με ως (u,0). Αυτό είναι ισοδύναμο με τον σχεδιασμό του κατά την θετική φορά. Αν μετά από πράξεις το u προκύψει θετικό τότε το διάνυσμα u έχει φορά «προς τα θετικά».
Κανείς δεν μας εμποδίζει να παραστήσουμε το διάνυσμα u ως (-u,0).
Αυτό είναι ισοδύναμο με τον σχεδιασμό του διανύσματος κατά την αρνητική φορά.
Αν μετά από πράξεις το u προκύψει θετικό, αυτό σημαίνει ότι η αλγεβρική τιμή του u είναι αρνητική και επομένως το u έχει φορά «προς τα αρνητικά». Ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζουμε στους μαθητές το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ο εξής:
Προβλέπουμε ότι το u έχει φορά προς τα αρνητικά. Αν μετά από πράξεις η τιμή u βγει θετική, αυτό σημαίνει ότι η πρόβλεψη ήταν σωστή.
Με αυτή την λογική χειριζόμαστε τόσο την στατική τριβή όσο και τα προβλήματα κρούσεων.
Όσον αφορά το ποια είναι η πιο βολική θετική φορά νομίζω ότι η απάντηση είναι:
Για να γράψουμε σωστά τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής ως θετική φορά επιλέγουμε την φορά της (αρχικής) ταχύτητας για την κίνηση του κέντρου μάζας και την φορά της (αρχικής) γωνιακής ταχύτητας για την στροφική κίνηση.
Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται όταν μελετούμε την κίνηση συστημάτων που υπόκεινται σε συνδέσμους.
Η καλύτερη λύση είναι να επιλέγουμε για το κάθε σώμα ως θετική την φορά της κίνησης του.
Για παράδειγμα στην μηχανή του Atwood, αν επιλέξουμε και για τα δύο σώματα θετικό ημιάξονα προς τα κάτω τότε για τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων των δύο σωμάτων ισχύουν οι σχέσεις υ2= -υ1 και a2= -a1.
Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση η σχέση που συνήθως χρησιμοποιούμε είναι υcm=ωR.
Για να είναι σωστή η παραπάνω σχέση θα πρέπει οι θετικοί ημιάξονες στην διεύθυνση της κίνησης του κέντρου μάζας και στην διεύθυνση του άξονα περιστροφής να είναι συμβατοί.
Δηλαδή να είναι τέτοιοι ώστε όταν η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι θετική τότε και η γωνιακή ταχύτητα να είναι θετική.
Ας δούμε ένα παράδειγμα κακής επιλογής θετικών ημιαξόνων.
Θεωρούμε τον δακτύλιο του σχήματος, ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει
Ισχύει ότι:
acm=Rαγ
ΣF=macm → F+T=macm
Στ=Ιαγ →ΤR-FR=mR2αγ →Τ-F=macm.
Αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε ότι F=0. (ΛΑΘΟΣ).
Με τον τρόπο που επιλέξαμε τους θετικούς ημιάξονες ισχύει ότι
υcm= -ωR → acm=- αγR.
ΣF=macm→F+T=macm
Στ=Ιαγ→ΤR-FR=mR2αγ →Τ-F=-macm.
Προσθέτοντας κατά μέλη
Τ=0 και F=macm.
Θεωρούμε επίσης το εξής πρόβλημα
Στην διάταξη του σχήματος εικονίζεται μια λεπτή ράβδος μάζας Μ η οποία πέφτει παραμένοντας συνεχώς σε επαφή με τους δύο κυλίνδρους μάζας m και ακτίνας R.
Οι δύο λείες ακίδες εξασφαλίζουν την ευστάθεια της κίνησης της ράβδου.
Αν οι κύλινδροι δεν ολισθαίνουν ούτε στα τοιχώματα ούτε στην ράβδο, να βρεθούν οι επιταχύνσεις των κέντρων μάζας των τριών σωμάτων.
Οι θετικές φορές των ροπών καλό είναι να επιλεγούν όπως στο σχήμα.
Ο γνωστός δαίμων έφαγε το σχήμα
Νίκο έκανες μιά πολύ σημαντική δουλειά που για τους μαθητές και όχι μόνο είναι ανεκτίμητη.Μπράβο.
Δείτε και τις σχετικές προσομοιώσεις στο ΙΡ του Γιάννη Κυριακόπουλου αφού μιά εικόνα, κατά που λένε, αξίζει χίλιες λέξεις …και βάλε ..
Αφού ευχαριστήσω το Μανόλη και το Γιάννη για τα καλά λόγια και συμφωνήσω με αυτά που γράφει ο Γιάννης, να τονίσω ότι πρόκειται για δύσκολη περίπτωση που η σωστή αντιμετώπιση ΑΠΑΙΤΕΙ διανυσματικό λογισμό όπως φαίνεται από το αρχείο του Νίκου Σταματόπουλου.
Εμείς απλά προσπαθούμε να “μπαλώσουμε” τη κατάσταση και η γνώμη μου είναι να δουλεύουμε με τα μέτρα και όχι με τις αλγεβρικές τιμές, διότι οι αλγεβρικές τιμές απαιτούν “συμβατό” προσανατολισμό των δύο αξόνων, κάτι που δυσκολεύει τους μαθητές. Ακόμα και στις ταλαντώσεις που μπορούμε να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές προτιμούμε τα συν/πλην μέτρα!!!
Φυσικά το κακό ξεκινά από τις κινήσεις της Α΄ Λυκείου που τις διδάσκουμε “απλοποιημένα”…
Μπράβο Νίκο!
Πολύ καλή δουλειά,
εξαιρετικά χρήσιμη και “ξεκαθαριστική” για τους μαθητές.
(μερικές παρατηρήσεις: θα πρόσθετα στο δ: …διότι, αν, θεωρητικά, μεταφερθεί στο κέντρο μάζας, ισοδυναμεί με “πακέτο” ενός ζεύγους (F, R) και μιας δύναμης (F)
μίκρυνε λίγο το διάνυσμα της F στο σχήμα του 8.1, διότι “συ είπας” ότι F=Τ
(αυτό και εγώ δεν κατάλαβα πώς …το πρόσεξα) και
διόρθωσε ως 2(2F–wx) τον αριθμητή της αcm στο 8.3
(ο γνωστός δαίμων της …αντιγραφής από το 8.2))
Βαγγέλη αν και είσαι “φόβος και τρόμος” ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις 🙂
Στο δ απόφυγα εσκεμμένα αυτό που γράφεις, διότι κανείς δεν ασχολείται με το ζεύγος αν και είναι το κυρίαρχο μέγεθος στη περιστροφή.
Άλλωστε μια φορά που προσπάθησα στη τάξη να μιλήσω για παράλληλη μετατόπιση κλπ κλπ τα παιδιά μου είπαν ότι είναι εκτός ύλης…
Φυσικά σε ορισμένους πολύ καλούς μαθητές δίνω εξηγήσεις στο διάλειμμα…
Έχεις δίκιο για το δαίμονα της αντιγραφής έκανα τη διόρθωση, για το μήκος της F μόνο εγώ και συ θα το ξέρουμε οπότε δεν το αλλάζω 🙂
Νίκο, πολύ καλή η δουλειά σου και χρήσιμη για άλλη μια φορά η παρέμβασή σου.
Αναρτήσεις σαν τη δική σου, όπως και άλλων συναδέλφων σ’ αυτό το site , το καταξιώνουν στη συνείδηση της εκπαιδευτικής κοινότητας, και έτσι δεν έχει ανάγκη καμιάς άλλης αναγνώρισης από επίσημα ή ανεπίσημα κρατικά κείμενα.
Μανώλη ευχαριστώ για τα θετικά σου σχόλια.
Για να πω την αλήθεια, έκανα την ανάρτηση γιατί βλέπω ότι οι “Ηρακλειώτες” πάνε να μας φάνε με τις πολύ καλές τους αναρτήσεις 🙂
Τώρα για τα επίσημα και ανεπίσημα ξέρεις σε τι εκτίμηση τα έχω…
Ο Νίκος Ανδρεάδης έγραψε ότι:
Εμείς απλά προσπαθούμε να “μπαλώσουμε” τη κατάσταση και η γνώμη μου είναι να δουλεύουμε με τα μέτρα και όχι με τις αλγεβρικές τιμές, διότι οι αλγεβρικές τιμές απαιτούν “συμβατό” προσανατολισμό των δύο αξόνων, κάτι που δυσκολεύει τους μαθητές. Ακόμα και στις ταλαντώσεις που μπορούμε να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές προτιμούμε τα συν/πλην μέτρα!!!
Θα διαφωνήσω κατηγορηματικά με την παραπάνω θέση.
Απαραίτητη προϋπόθεση για να εργαστεί κάποιος με το μέτρο ενός διανύσματος είναι η εκ των προτέρων γνώση της φοράς του.
Αυτό δυσχεραίνει σημαντικά την μελέτη ενός προβλήματος από τους μαθητές.
Με ποιο τρόπο μπορεί να προβλέψει ένας μαθητής την φορά της στατικής τριβής στο επόμενο πρόβλημα;
Πως μπορεί να προβλέψει ότι αν η ακτίνα του μικρού κύκλου είναι μεγαλύτερη από το μισό της ακτίνας του μεγάλου, τότε η στατική τριβή είναι ομόρροπη της F και στην αντίθετη περίπτωση αντίρροπη;
Θα επιμείνω ότι ουσιαστικά ο κανόνας που δίνουμε στους μαθητές:
« Σχεδίασε την στατική τριβή ή την άγνωστη ταχύτητα στις κρούσεις όπως θέλεις. και εκτέλεσε τους υπολογισμούς βάσει της υπόθεσης που έκανες.
Αν στο τέλος το αποτέλεσμα είναι θετικό τότε έχεις σχεδιάσει σωστά και αν βγει αρνητικό έχεις σχεδιάσει λάθος» είναι ένας ιδιότυπος τρόπος χειρισμού του προβλήματος με αλγεβρικές τιμές απόλυτα εναρμονισμένος με τον διανυσματικό λογισμό.
Θα διαφωνήσω επίσης ότι στις ταλαντώσεις συνήθως δουλεύουμε με συν/πλην μέτρα.
Δουλεύοντας με μέτρα και γράφοντας την σχέση F1-F2=ma θα πρέπει να ξέρουμε ότι F1>F2. Έτσι για να αποδείξουμε ότι ένα σώμα δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση θα πρέπει να το μελετήσουμε σε δύο τυχαίες θέσεις. Μια κάτω από την θέση ισορροπίας και μια πάνω από αυτήν.
Τέλος θέλω να εκφράσω την έκπληξή μου για το γεγονός ότι στα θέματα του 2004 υπήρξαν συνάδελφοι, οι οποίοι θεώρησαν λανθασμένη ή συμπτωματικά οδηγούσα στο σωστό αποτέλεσμα την λύση με την στατική τριβή σχεδιασμένη προς τα κάτω.
“για το μήκος της F μόνο εγώ και συ θα το ξέρουμε οπότε δεν το αλλάζω :)”
Στο τέλος όλοι σ’ αυτό το δίκτυο θα γράφουμε “πλάγια”, αντί για “ξύλινα”
(όπως συνηθίζει ο …Βαγγέλης)
Προσωπικά, ως …γνήσιος Βαγγέλης το ξέχασα ήδη
(να μην ελπίζουν, όμως, οι “μακρυχέρηδες”, αυτούς δεν τους ξεχνώ…)
Βαγγέλη συμφωνώ με τις παρατηρήσεις σου. Υπάρχει όμως το επιθυμητό που είναι αυτό που γράφεις και… το εφικτό.
Αν τα σύμβολα u και ω παριστάνουν αλγεβρικές τιμές τότε η γνωστή σχέση μπορεί να γραφεί u=ωR ή u=–ωR ανάλογα με τις θετικές φορές που θα επιλέξουμε στους δύο άξονες.
Νομίζεις ότι αυτό μπορούν να το κατανοήσουν πολλοί μαθητές;
Οι περισσότεροι αγνοούν τη διαφορά του μέτρου και της αλγεβρικής τιμής!!!
Οι περισσότεροι αδυνατούν να βρούν τη θέση ισορροπίας σε κατακόρυφη ταλάντωση.
Δυστυχώς εκεί είμαστε και το αποδεικνύουν τα ποσοστά κάτω από τη βάση των πανελλαδικών.
Φυσικά αν η τάξη “τραβάει” ακολουθώ τον αλγεβρικό τρόπο.
Βαγγέλη (Κορφ) σχετικά με τη διαφωνία σου περί μέτρων, φταίει η διατύπωση μου διότι και εγώ αλγεβρικά δουλεύω, με τη μέθοδο +/- μέτρο.
Δηλ. αν μια δύναμη έχει την αρνητική φορά γράφω -F, ενώ αν έχει την θετική φορά γράφω F, όπου η F συμβολίζει μέτρο.
Ο “καθαρά” αλγεβρικός τρόπος είναι να γράφουμε πάντοτε F ανεξαρτήτα από τη φορά, όπου η F συμβολίζει αλγεβρική τιμή.
Νίκο καλησπέρα
Μια ήσσονος σημασίας ένσταση
Ας θεωρήσουμε το παραπάνω πρόβλημα κύλισης κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση.
Θεωρώ ότι η στατική τριβή είναι προς τα πίσω.
Από την κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε
F-T=ma
Από την στροφική κίνηση
F+T=ma/2
Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε T=-F/3
Άρα η τριβή έχει μέτρο F/3 και είναι προς τα δεξιά.
Δούλεψα με μέτρα ή με αλγεβρικές τιμές;
Νομίζω ότι δούλεψα με αλγεβρικές τιμές (το μέτρο δεν μπορεί να είναι αρνητικό)
Απλώς θεώρησα ότι (τα bold γράμματα είναι διανύσματα) :
T=-T i
Δηλαδή η αλγεβρική τιμή της τριβής είναι –T (T πραγματική παράμετρος)
Αν το T προκύψει θετικό τότε η αλγεβρική τιμή της τριβής είναι αρνητική και επομένως η τριβή είναι προς τα αριστερά.
Αν το T προκύψει αρνητικό τότε η αλγεβρική τιμή της τριβής είναι θετική και επομένως η τριβή είναι προς τα δεξιά.
Στους μαθητές φυσικά δεν το λέμε έτσι:
Τους λέμε ότι αν το T προκύψει θετικό είναι όπως σχεδιάστηκε.
Αυτός που ονομάζεις καθαρά αλγεβρικό τρόπο έχει κατά την γνώμη μου το εξής μειονέκτημα, το οποίο εντείνεται στο στερεό.
Την άγνωστη δύναμη, ταχύτητα κτ.λ. δεν την σχεδιάζουμε εκ των προτέρων, βάζουμε στους τύπους (+) και περιμένουμε την άλγεβρα να αποφασίσει για την φορά της.
Ακολουθώντας την λογική αυτή στο παραπάνω πρόβλημα θα γράψω
F+T=ma
Με ποια λογική θα γράψω FR-ΤR=Iαγ;
Η οδηγία που προσωπικά δίνω στους μαθητές μου είναι η εξής:
Όταν έχουμε να χειριστούμε ένα διάνυσμα, του οποίου δεν γνωρίζουμε την φορά, το σχεδιάζουμε «προς τα θετικά» και κάνουμε τους υπολογισμούς μας.
Αν το αποτέλεσμα προκύψει θετικό τότε είναι προς τα θετικά και αντιστρόφως.
Σε περίπτωση που έχεις διαφορετική άποψη θα ήθελα μια απάντηση με την εξής λογική:
Με αντιμετωπίζεις σαν μαθητή, μου δίνεις την οδηγία χειρισμού των προσήμων και μου λύνεις ένα πρόβλημα βάσει της οδηγίας αυτής.
Ευχαριστώ για την αλληλεπίδραση
Βαγγέλη συμφωνώ ΑΠΟΛΥΤΑ μαζί σου, ίσως να μην το διατύπωσα όπως έπρεπε.
Στο στερεό ο τρόπος που ονόμασα “καθαρές” αλγεβρικές τιμές πρέπει να αποφεύγεται.
Τώρα μια είσαι ο πλέον “ειδικός” δεν ρίχνεις μια ματιά στην ανάρτηση με το χαρτί υγείας που έχουμε “κολλήσει”.
Βαγγέλη έκανα διορθώσεις σύμφωνα με τις συμβουλές σου, φυσικά δεν μπορώ να γράψω όλα όσα λέμε γιατί τα παιδιά θα μπερδευτούν.
Διαβάζοντας το παρακάτω κείμενο που έγραψες:
“Για να γράψουμε σωστά τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής ως θετική φορά επιλέγουμε την φορά της (αρχικής) ταχύτητας για την κίνηση του κέντρου μάζας και την φορά της (αρχικής) γωνιακής ταχύτητας για την στροφική κίνηση.”
Παρατηρώ ότι προτίμησες να γράψεις κίνηση του κέντρου μάζας αντί της “γνωστής” μεταφορικής κίνησης.
Μια “προβοκατόρικη” απορία σε σένα, που… στην πραγματικότητα δεν απευθύνεται σε σένα 🙂
Όταν ένας αδρανειακός παρατηρητής μελετά μια γενική κίνηση στερεού, θεωρεί ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς καρφωμένο στη Γη και ένα γενικά ΜΗ αδρανειακό σύστημα καρφωμένο συνήθως στο cm που εκτελεί μεταφορική κίνηση (φυσικά το ΜΗ αδρανειακό μπορεί να εκτελεί γενική κίνηση, αλλά ας μην μπλέξουμε περισσότερο τη κατάσταση).
O αδρανειακός παρατηρητής βλέπει τη κίνηση του cm και γράφει κάποιες μαθηματικές σχέσεις που αφορούν τη κίνηση ενός υποθετικού υλικού σημείου.
Ένας άλλος ΜΗ αδρανειακός παρατηρητής που κάθεται στο cm μελετά μια στροφική κίνηση στερεού και γράφει κάποιες μαθηματικές σχέσεις.
Με συνδυασμό των σχέσεων που προκύπτουν από τους δύο παρατηρητές καταλήγουμε σε άλλες μαθηματικές σχέσεις και συμπεράσματα.
Η απορία μου είναι:
Όταν λέμε ότι το στερεό εκτελεί “ταυτόχρονα” μεταφορική και περιστροφική κίνηση (αποφεύγοντας επιμελώς να αναφερθούμε σε παρατηρητή), ποιος παρατηρητής βλέπει ταυτόχρονα τις δύο κινήσεις και ειδικά τη μεταφορική κίνηση του στερεού;
Αν θεωρήσουμε την “εύκολη” περίπτωση κυλίνδρου που κυλίεται ο αδρανειακός παρατηρητής “βλέπει” τον άξονα του κυλίνδρου να εκτελεί μεταφορική κίνηση και ΟΧΙ το στερεό. Αν θεωρήσουμε μια γενική περίπτωση τότε ο αδρανειακός παρατηρητής “βλέπει” το ΜΗ αδρανειακό σύστημα να εκτελεί μεταφορική κίνηση και ΟΧΙ το στερεό.
Ακόμα αν θεωρήσουμε ότι το ΜΗ αδρανειακό σύστημα εκτελεί γενική κίνηση τότε η κατάσταση γίνεται περισσότερο περίπλοκη 🙂
Μήπως τελικά η φράση το στερεό εκτελεί “ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση” χρησιμοποιείται επειδή εμφανίζονται προσθετέοι, που θυμίζουν μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Δηλ. μήπως πρόκειται για “μαθηματικές” κινήσεις αφού δεν είναι συμβατές με τον ορισμό που γνωρίζουμε περί κίνησης για ένα παρατηρητή.
Αν κάνω κάπου λάθος, σε παρακαλώ να με διορθώσεις.
Καλημέρα Νίκο
Έχω μερικές μικρές ενστάσεις στην παραπάνω αναφορά σου.
Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω σε αδρές γραμμές την μελέτη του στερεού σώματος όπως την έχω καταλάβει εγώ.
Θεωρούμε ένα στερεό του οποίου την κίνηση θα μελετήσουμε ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ω.
Επί του στερεού «καρφώνουμε» ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή ένα σημείο του Ο.
Το σύστημα αυτό (καρφωμένο σύστημα συντεταγμένων) είναι σταθερό επί του στερεού και οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου του στερεού ως προς αυτό είναι σταθερές.
Το δεύτερο σύστημα συντεταγμένων δεν έχει τον χαρακτήρα συστήματος αναφοράς. Είναι ένα σύστημα συντεταγμένων το οποίο χρειαζόμαστε για να προσδιορίσουμε τις θέσεις των διαφόρων σημείων του στερεού επί του στερεού.
Τα οποιαδήποτε φυσικά μεγέθη θα υπολογιστούν ως προς το Ω.
Αν θέλουμε μπορούμε να τα προβάλουμε κάθε στιγμή σους άξονες του Ο.
Η θέση καρφωμένου συστήματος συντεταγμένων Ο κάθε στιγμή προσδιορίζεται από έξι παραμέτρους. Τις τρεις συντεταγμένες της αρχής Ο και τις τρεις γωνίες του Euler που ορίζονται από τους άξονες του καρφωμένου συστήματος και του αδρανειακού.
Κάνοντας χρήση του γεγονότος ότι οι συντεταγμένες του στερεού ως προς το καρφωμένο σύστημα είναι σταθερές αποδεικνύουμε ( κάνοντας χρήση των ορθογωνίων μετασχηματισμών) ότι υπάρχει κάθε στιγμή t ένα διάνυσμα ω(t) τέτοιο ώστε η ταχύτητα ενός τυχαίου σημείου Μ του στερεού να δίνεται από την σχέση
υΜ=υο + ω x r
Εν γένει το ω είναι ένας περίπλοκος συνδυασμός των γωνιών του Euler και των χρονικών παραγώγων τους.
Αποδεικνύουμε ότι το διάνυσμα ω είναι ανεξάρτητο τόσο από την θέση του καρφωμένου συστήματος επί του στερεού όσο και από τον προσανατολισμό του ως προς το στερεό. Ως συνέπεια του παραπάνω μπορούμε να αποκαλέσουμε το ω γωνιακή ταχύτητα του στερεού και όχι γωνιακή ταχύτητα του στερεού ως προς το συγκεκριμένο καρφωμένο σύστημα συντεταγμένων.
Επιπλέον στο ερώτημα ως προς ποιο σημείο περιστρέφεται το στερεό, η απάντηση είναι ως προς όποιο σημείο μας αρέσει ή μας βολεύει.
Θεωρώ ότι το παραπάνω θεώρημα είναι από τα ποιο σκληρά και όχι διαισθητικά αναμενόμενα αποτελέσματα.
Αν το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας είναι μηδενικό τότε λέμε ότι το στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση
Αν υπάρχει μια ευθεία σταθερή στο καρφωμένο σύστημα συντεταγμένων της οποίας τα σημεία να είναι συνεχώς ακίνητα τότε λέμε ότι το στερεό εκτελεί μόνο στροφική κίνηση (στην πραγματικότητα αρκούν δύο σημεία μηδενικής ταχύτητας).
Αν η κίνηση δεν είναι ούτε μεταφορική ούτε στροφική τότε λέμε ότι η κίνηση είναι σύνθετη.
Για να βρούμε την κινητική ενέργεια του στερεού (πάντα ως προς Ω) αθροίζουμε τις κινητικές ενέργειες των στοιχειωδών μαζών του.
Το τελικό αποτέλεσμα είναι
Κ= ½ m υο2 + ½ Ιοω2 + υο.(ω x rcm).
όπου rcm το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας του στερεού ως προς Ο.
Αν το Ο είναι το κέντρο μάζας τότε η παραπάνω σχέση έχει δύο όρους
Ο ένας είναι η κινητική ενέργεια που θα είχε το στερεό αν έκανε μόνο μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υcm και ο άλλος η κινητική ενέργεια που θα είχε το στερεό αν εκτελούσε μόνο στροφική κίνηση.
Θεωρώ ότι το παραπάνω αποτέλεσμα θα πρέπει να θεωρηθεί ως μνημονικός κανόνας στερούμενος φυσικού περιεχομένου. Η ενέργεια του στερεού επιμερίζεται στα μέρη του και όχι στις κινήσεις του.
Για την δυναμική μελέτη του στερεού εφαρμόζουμε κατ’ αρχάς τον δεύτερο νόμο του Newton για κάθε στοιχειώδη μάζα του στερεού.
Στα πρώτα μέλη των εξισώσεων εμφανίζονται οι τόσο εσωτερικές δυνάμεις μεταξύ των μερών του στερεού όσο και οι εξωτερικές δυνάμεις.
Αν υποθέσουμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις υπακούουν στο αξίωμα δράσης αντίδρασης, τότε προσθέτοντας τις ανωτέρω εξισώσεις καταλήγουμε στην σχέση
ΣF=m acm
Ερμηνεύουμε το αποτέλεσμα ότι η κίνηση του κέντρου μάζας του στερεού είναι η κίνηση που θα έκανε ένα υποθετικό υλικό σημείο με μάζα ίση με την μάζα του στερεού στο οποίο ασκούνται όλες οι εξωτερικές δυνάμεις οι ασκούμενες στο στερεό.
Στην συνέχεια υπολογίζουμε την στροφορμή κάθε στοιχειώδους μάζας ως προς το Ο ( η ταχύτητα υπολογίζεται ως προς Ω και το διάνυσμα θέσης ως προς Ο).
Την στροφορμή κάθε σημείου ως προς Ο την συσχετίζουμε με την στροφορμή ως προς Ω. Εφαρμόζοντας τον νόμο μεταβολής της στροφορμής ως προς Ω, συσχετίζουμε την παράγωγο της στροφορμής ως προς Ο με τις ροπές ως προς Ο ( και όχι μόνο).
Αν υποθέσουμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις είναι κεντρικές και προσθέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη βρίσκουμε τον νόμο μεταβολής της στροφορμής του στερεού ως προς Ο.
Το τελικό αποτέλεσμα είναι
dLo / dt = m υcm x υο +Στεξ(ο)
Μια αναλυτική παρουσίαση η οποία είχε προκύψει ως αποτέλεσμα της ανταλλαγής απόψεων με τον Γιάννη Κυριακόπουλο εδώ
Βαγγέλη αφού σ’ ευχαριστήσω για την αναλυτική απάντηση, να γράψω ότι συμφωνώ με όσα παραθέτεις όχι μόνο εγώ αλλά και ο Hibbeler 🙂
Ο τρόπος μελέτης σου είναι ο πλέον γενικός.
20.4 Relative-Motion Analysis Using Translating and Rotating Axes
The most general way to analyze the three-dimensional motion of a rigid body requires the use of x, y, z axes that both translate and rotate relative to a second frame X, Y, Z.
Εγώ έδινα στο δεύτερο σύστημα συντεταγμένων τον χαρακτήρα συστήματος αναφοράς, διότι έψαχνα παρατηρητή που να… βλέπει τις περίφημες “ταυτόχρονες” κινήσεις.
Φυσικά δεν υπάρχει τέτοιος παρατηρητής και οι κινήσεις/ενέργειες είναι απλοί μαθηματικοί προσθετέοι που τους αποδίδουμε όταν είναι δυνατόν κάποιο “φιλικό” όνομα.
Οι παρατηρήσεις σου στις σελ. 2 και 3 όπως αυτή:
Το δεύτερο μέλος της (2.2) δεν είναι η μεταβιβαζόμενη στο στερεό ενέργεια, αλλά μια μαθηματική ποσότητα χωρίς φυσικό περιεχόμενο.
ξεκαθαρίζουν το τοπίο. Δηλ. αυτά που ονομάζουμε εμείς μεταφορικό έργο ή μεταφορική κινητική ενέργεια ΔΕΝ έχουν φυσικό νόημα, διότι το στερεό σώμα έχει μια ενιαία και αδιαίρετηκινητική ενέργεια της οποίας η έκφραση έχει συνήθως δύο όρους.
Όταν η έκφραση έχει δύο όρους χρησιμοποιούμε τους “φιλικούς” όρους μεταφορική και στροφική ενέργεια.
Βαγγέλη αρκετά σε κουράσα και… είναι η γιορτή σου αύριο.
Προκαταβολικά σου εύχομαι χρόνια πολλά με υγεία για… να μας λύνεις τις απορίες 🙂