by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 8 Απρίλιος 2014 και ώρα 8:45
Ένα φύλλο εργασίας
1) Συνήθως έργο παράγεται από κάποια μηχανή. Τι σημαίνει ότι η ισχύς της μηχανής του αυτοκινήτου, το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι ίση με 60kW;
i) Πόσο έργο παράγει η μηχανή αυτού του αυτοκινήτου σε χρονικό διάστημα Δt=20s;
ii) Πόσο χρόνο πρέπει να κινηθεί το αυτοκίνητο με την παραπάνω ταχύτητα, ώστε η μηχανή του να παράγει έργο 12∙106J;
Δείτε όλο το φύλλο εργασίας σε Word αλλά και σε pdf.
Και οι απαντήσεις σε Word αλλά και σε pdf.
Καλημέρα και πάλι
Εξαιρετικό φύλλο εργασίας που βοηθά στη βαθύτερη κατανόηση των σχετικών εννοιών και της συσχέτισης της ισχύος με την ταχύτητα.
Και όμως είναι δυνατόν!
Έγραφα πριν dt σ'ενα σχόλιο .."πιστεύω θα συμπληρωθεί το παζλ με ρυθμούς κ.λ.π. !
Καταλαβαίνω βέβαια …μήπως όμως, έτσι και για οπτικό διαχωρισμό βάζαμε στους στιγμιαίους το dt αντί του Δt των μέσων ..;
Κάλλιστο Διονύση
Μανώλη και Παντελή καλημέρα.
Σας ευχαριστώ για την θετική υποδοχή του παραπάνω φύλλου εργασίας.
Παντελή είμαι υποστηρικτής, πολλά χρόνια τώρα, της άποψης ότι θα έπρεπε να συμβολίζουμε τους στιγμιαίους ρυθμούς με dt και όχι με Δt. Και ας μην κατανοούν πλήρως οι μαθητές μας τη διαφορά. Και ας μην έχουν διδαχτεί ακόμη όρια. Μόνο και σε επίπεδο συμβολισμού, κάτι θα μείνει, κάτι θα διαχωρίσει και θα έρθει στιγμή, που όλα θα δέσουν.
Αλλά είμαστε υποχρεωμένοι να ακολουθούμε τους συμβολισμούς του σχολικού…. Δυστυχώς. Αλλιώς θα γίνουμε Βαβέλ!
Άριστο. Θα το χρησιμοποιήσω.
Καλημερα Διονυση ! Εδωσες ενα φυλλο εργασιας πανω σε ενα πολυ σημαντικο θεμα που αφορα την Α Λυκειου ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ ! Οι εννοιες που αφορουν την ενεργεια παντα εχουν ιδιαιτερο ενδιαφερον και μεγαλη αξια για την Φυσικη και καλο ειναι κατα συνεπεια να αναλυονται το δυνατον περισσοτερο. Προτεινω να δωσεις μια προεκταση στο θεμα σου που να αφορα ρυθμους μεταβολης δυναμικης ενεργειας (και σε κεκλιμενο επιπεδο) και ρυθμους μεταβολης δυναμικης ενεργειας ελατηριου,οποτε βρεις χρονο βεβαια.
Τωρα οι συμβολισμοι ειναι ενα θεμα ! Απλα σε επιπεδο Α Λυκειου αν γινεται χρηση του Δt ,ΔW και ανεφερομαστε σε στιγμιαια ισχυ καλο ειναι να τονιζεται-γραφεται οτι το Δt τεινει στο μηδεν .
Τελος καλα εκανες και εδωσες ξεχωριστα τις απαντησεις !
Καλημέρα Γιάννη και Κώστα.
Για το ρυθμό μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, συμφωνώ και ήταν στην άκρη του μυαλού μου.
Για την αντίστοιχη του ελατηρίου, έχω επιφυλάξεις. Δεν έχει τίποτα το βιβλίο της Α, οπότε ουσιαστικά μεταφέρεται για επόμενη τάξη. Σε ποια; Θα δούμε την επόμενη χρονιά με τις τρεις ώρες Φυσικής … κατεύθυνσης:-)
Διονύση, πολύ καλό και χρήσιμο 🙂
Μια παρατήρηση – απορία. Για την στιγμιαία ισχύ την χρονική στιγμή 3 s γιατί παίρνεις χρονικό διάστημα από t1=2,9999s μέχρι τη στιγμή t2=3,0001s ; Δεν είναι πιο σωστό το διάστημα από 3 s έως 3,0002 s ;
ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΑΠΟΨΗ! 🙂
Καλησπέρα Παναγιώτη και Κώστα.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τον καλό σας λόγο.
Παναγιώτη για το θέμα που θέτεις.
Έστω η καμπύλη του σχήματος και θέλουμε να βρούμε το ρυθμό dy/dx στο σημείο Α.
Θα πρέπει να βρούμε δηλαδή το όριο του πηλίκου μεταβολών Δy/Δx όταν το Δx τείνει στο μηδέν.
Αλλά πρακτικά (αφήνοντας λίγο την αυστηρή μαθηματική ανάλυση) για να βρούμε την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Α, βρίσκουμε την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ που είναι παράλληλο στην ευθεία (ε), δηλαδή υπολογίζουμε τη μέση τιμή του πηλίκου:
Δy/Δx= (yΓ-yΒ)/(xΓ-xΒ)
Αλλά με αυτόν τον τρόπο δεν υπολογίζουμε την κλίση στο Β, αλλά την κλίση στο σημείο Α.
Έτσι αν θέλουμε τη στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t1=3s θα πρέπει να την προσεγγίσουμε σε ένα χρονικό διάστημα, που κάπου στο μέσον του θα είναι η στιγμή 3s.
Για το λόγο αυτό πήρα μια χρονική στιγμή (t1-0,0001)s και μια (t1+0,0001)s.
Εξαιρετική δουλειά Διονύση.
Σαφής και χρήσιμη.
(αχ, αυτά τα νιάτα!,
συνέρχονται γρήγορα,
ακόμα και μετά από έντονη “τσιπουρική περιπλάνηση”…)
Να καταθέσω ξανά, με την ευκαιρία,
τη “δυσφορία” μου για τη χρήση του όρου “μέση”,
αντί του τίποτα, του ονόματος δηλαδή “σκέτου”,
όπως ισχύς, ταχύτητα, επιτάχυνση, τάση από επαγωγή…,
(άρα δέχομαι, κατ’ ανάγκην το Δ, για να καταλήξω στο d)
ή, έστω του “στιγμιαία”.
Θυμίζω, επικουρικά, ότι σε κάποιες περιπτώσεις,
η “μέση” είναι παραπλανητική έως και επικίνδυνη,
π.χ. αν μια τάση δημιουργεί έκρηξη σε ένα σύστημα όταν πάρει τιμή 100V
δεν μπορεί να εφησυχάζουμε, αν η μέση τιμή της προκύπτει 80V,
διότι κάποια ενδιάμεση χρονική στιγμή μπορεί να έχει τιμή 200V,
ακόμα “χειρότερη” είναι η περίπτωση της εναλλασσόμενης τάσης του σπιτιού,
όπου η μέση τιμή της για Δt=kT είναι ίση με μηδέν,
και, άρα (;), απολύτως ακίνδυνη (!),
συνεπώς δεν κινδυνεύουμε να πιάσουμε “γυμνά” καλώδια…,
ενώ, κάποιες χρονικές στιγμές είναι, περίπου, 310V (!)
Παναγιώτη (Χ)
Βέβαια και σωστά γράφει ο Διονύσης:
η (στιγμιαία) τιμή σ ενός, με τον χρόνο μεταβαλλόμενου, μεγέθους Μ,
τη χρονική στιγμή t0, δίνεται από τη σχέση:
σ=dΜ/2dt
όπου dM η μεταβολή του μεγέθους Μ από τη χρονική στιγμή t0 –dt
μέχρι τη χρονική στιγμή t0 +dt
Διονύση, η γραφική ερμηνεία που έδωσες ως απάντηση μου φαίνεται λογική και σωστή. Η παρατήρησή μου προέρχεται από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης:
Καλημέρα Παναγιώτη.
Προσωπικά το βλέπω ως εξής.
Όταν θέλουμε να βρούμε τη παράγωγο στο σημείο Ο, παίρνουμε τη μεταβολή xΒ-x0 και την αντίστοιχη μεταβολή yΒ-yο και φανταζόμαστε το σημείο Β να κινείται πάνω στην καμπύλη πλησιάζοντας το σημείο Ο μέχρι τη θέση Ο (σχεδόν), ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ να γίνεται ΟΒ΄…. μέχρι που να ταυτισθεί με την εφαπτομένη (ε) στο σημείο Ο. Έτσι για να βρούμε την παράγωγο ουσιαστικά παίρνουμε τις τιμές:
(yΒ-yο)/(xΒ-xο), (yΒ΄-yο)/(xΒ΄-xο), (yΒ΄΄-yο)/(xΒ΄΄-xο), ….
και βρίσκουμε πού τείνουν, όταν το xν -xο→0 ή αν αυτό το xν -xο=h, όταν το h→0. Οπότε γράφουμε ότι η παράγωγος στη θέση Ο ορίζεται:
dy/dx= ℓim [(yο+h)-yο]/h όταν h→0.
Συνεπώς στην πράξη, δεν έχει καμιά σχέση το παραπάνω όριο με το αρχικό πηλίκο (yΒ-yο)/(xΒ-xο) που μπορούμε να μετρήσουμε, ας πούμε, σε κάποιο πείραμα. Αλλά τότε αυτό το πηλίκο, ο μέσος ρυθμός στο διάστημα xΒ-xο δεν έχει και καμιά σχέση με την οριακή τιμή (που ονομάζουμε παράγωγο στο Ο). Βέβαια αυτό το πηλίκο δείχνει την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ, η οποία είναι η ίδια με την κλίση μιας ευθείας (ε΄) η οποία εφάπτεται της καμπύλης σε κάποιο άλλο σημείο, ούτε στο Ο, ούτε στο Β, αλλά κάποιο ενδιάμεσο σημείο Μ.
Τα παραπάνω τα καταθέτω, σαν τον τρόπο με τον οποίο προσωπικά καταλαβαίνω το θέμα. Καλό θα ήταν να ακουστούν και άλλες απόψεις φίλων, με πολύ καλύτερο θεωρητικό υπόβαθρο από μένα, αφού δεν θα ήθελα τα παραπάνω να εκληφθούν ως η απόλυτη αλήθεια.
Τελικά Βαγγέλη, είδα και το δικό σου σχόλιο….
Όσον αφορά τη θέση σου για το "σκέτο" ταχύτητα, επιτάχυνση κλπ, κατ' αρχήν έχεις δίκιο.
Αυτό είναι ισοδύναμο με αυτό που έγραψα παραπάνω στο Φ.Ε. ότι τα μεγέθη αυτά είναι στιγμιαία, πράγμα που σημαίνει ότι έχουν κάθε στιγμή μια ορισμένη τιμή.
Αν όμως πάμε να υπολογίσουμε πειραματικά ένα τέτοιο μέγεθος, στην πραγματικότητα δεν μπορούμε να μετρήσουμε τη στιγμιαία τιμή π.χ. της ταχύτητας.
Θα βρούμε μια ορισμένη μετατόπιση σε ορισμένο, έστω και μικρό, χρονικό διάστημα. Συνεπώς δεν μπορούμε να αγνοήσουμε και να πούμε ότι αυτό που μετράμε είναι "σκέτη" ταχύτητα, αφού στην διάρκεια του χρησιμοποιημένου χρονικού διαστήματος, μπορεί η ταχύτητα να μεταβάλλεται.
Για παράδειγμα ένα σώμα ξεκινά από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα και στο 1ο δευτερόλεπτο διανύει διάστημα 2m. Αν κάποιος διαιρέσει τα 2m/1s, τι είναι αυτό που θα βρει;
Θα είναι η ταχύτητα του σώματος; Και αν ναι, ποια στιγμή; Τη στιγμή 0; Τη στιγμή 0,324s, τη στιγμή 1s;
Καλημέρα κι από μένα συνάδελφοι,
Διονύση πολύ καλές οι επισημάνσεις περί μέσων – στιγμιαίων τιμών.
Χρήσιμο θα ήταν ίσως σε περιπτώσεις που ζητάμε στιγμιαία και μέση ισχύ, να ζητάμε και τη γραφική παράσταση P(t) αν είναι εφικτό, για να φαίνεται η διαφορά.
Για την πειραματική μέτρηση της στιγμιαίας ταχύτητας, καλό θα ήταν να επισημαίνουμε ότι, αυστηρά μιλώντας, με διαίρεση Δx/Δt μόνο μέση τιμή μπορούμε να μετρήσουμε και απλά προσεγγίζουμε τη στιγμιαία όσο μικρότερο είναι το Δt.
Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη στιγμιαία, το κάνουμε έμμεσα κατασκευάζοντας την x(t) και προσδιορίζοντας την κλίση σε κάποιο σημείο.
Υπάρχουν όμως και όργανα που μετράνε τη στιγμιαία ταχύτητα, μετρώντας κάποιο άλλο μέγεθος που εξαρτάται από αυτήν.
Τα ταχύμετρα στα σκάφη π.χ. έχουν σένσορες που ανιχνεύουν τη μετωπική πίεση του νερού.
Τα κοντέρ στα αυτοκίνητα ανιχνεύουν την επαγωγική τάση που αναπτύσσεται σε κάποιο πλαίσιο που στρέφεται ανάλογα με την περιστροφή της ρόδας ή κάποιου άξονα στο σύστημα μετάδοσης,
και ούτω καθεξής.
Σωστά Διονύση.
(κατ’ αρχήν, το ‘πιασες το υπονοούμενο περί νιάτων…)
Αναγκαζόμαστε να “προσκυνήσουμε” τη μέση
για να μπορέσουμε (όσο μπορέσουμε) να προσεγγίσουμε τη στιγμιαία.
(σωστός υπολογισμός της (στιγμιαίας) ταχύτητας, τη χρονική στιγμή t0,
γίνεται μόνο στο τετράδιο εργαστηριακών ασκήσεων της Β΄Γυμνασίου,
όπου, χωρίς να το γράφει, γίνεται χρήση της σχέσης:
υ=dx/2dt
όπου dx η μεταβολή του μεγέθους x,
από τη χρονική στιγμή t0 –dt μέχρι τη χρονική στιγμή t0 +dt)
Ήθελα, βασικά, να συστήσω
την αποφυγή εξαγωγής συμπερασμάτων
με βάση, μόνο, τη γνώση της μέσης,
άλλο ένα παράδειγμα: αν η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου μας,
σε δρόμο με όριο τα 100km/h, είναι 80km/h,
δεν σημαίνει ότι δεν έχουμε παραβιάσει το όριο…
Καλησπέρα Διονύση και Βαγγέλη.
Διονύση το προχώρησες πολύ και μας έδωσες και δυο (έμμεσους) υπολογισμούς στιγμιαίας!!!
Βαγγέλη προφανώς και η μέση ταχύτητα, δεν πρόκειται να μας πει, τι θα συμβεί και στην περίπτωση του τρακαρίσματος!!!
Καλησπέρα Δημήτρη.
Σε ευχαριστώ για τον καλό σου λόγο.
Να είσαι καλά.
Δεν περίμενα και τίποτε λιγότερο, απλά μπράβο και ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ!!
Διονύση και εγώ το περίμενα, συγχαρητήρια. Οταν σε γνώρισα όπως και τον Πρόδρομο είχα την εντύπωση οτι γνωριζόμαστε χρόνια.
Πρόδρομε και Νίκο, καλό απόγευμα.
Καλή ανάσταση να έχουμε, Πρόδρομε .
Νίκο, την ίδια αίσθηση είχα και γω. Το έχω ξαναγράψει…