by 
Η παρούσα ανάρτηση είναι “παραπροϊόν” της:
Η δύναμη που ασκεί το λάστιχο στο καρφί.
Μπορεί να επιβεβαιωθεί πειραματικά.
Κρατώ το σώμα μάζας Μ έτσι ώστε το ελατήριο μάζας m και σταθεράς k να είναι τεντωμένο κατά Α.
Προφανώς ασκώ δύναμη μέτρου k.A .
Το ελατήριο ασκεί δύναμη στο σώμα μέτρου επίσης k.A και αφού ισορροπεί δέχεται από τον τοίχο δύναμη ίδιου μέτρου.
Μόλις αφήνω το σώμα, το ελατήριο έχει παραμόρφωση Α.
Ποιες είναι οι δυνάμεις που το ελατήριο ασκεί στο σώμα και ο τοίχος στο ελατήριο;
Είναι πάλι k.A διότι το ελατήριο έχει ίδια παραμόρφωση;
Γεια σου Γιάννη.
Γιατί το ονομάζεις “παράδοξο”;
Φυσιολογικό μου φαίνεται, αφού βάζεις μάζα στο ελατήριο.
Άλλωστε το τελευταίο σου παράδειγμα:
το κάνει φυσιολογικό!
Διονύση με παραξένεψε όχι το ότι δεν είναι k.A, αλλά το ότι είναι μικρότερη.
Στο παράδειγμα η δύναμη μειώνεται όταν ξεκινάει η κίνηση.
Θα περίμενα κάτι τέτοιο. Π.χ. να είναι ίση με τα 2/3 του k.A. Όχι όμως (οριακά) τα 3/2 του k.A.
Μεγαλύτερη δεν είναι Γιάννη; Γιατί λες ότι μειώνεται η δύναμη;
Εντάξει αυτό το 3/2 … παίζεται. Αν μηδενίσεις τη μάζα, αλλά τότε τα θέματα προσέγγισης και αντιμετώπισης της νέας κατάστασης, είναι …"δύσκολα".
Αλήθεια, βάλε ένα λινγκ με την παλιά συζήτηση που μετέφερε η ελευθερία, στην προηγούμενη ανάρτηση που την αναφέρεις.
Εξάλλου το ελατήριο επιταχύνεται προς τα αριστερά. Δεν θα πρέπει να αυξηθεί η δύναμη από τον τοίχο;
Μειώνεται στο παράδειγμα με το κρεμασμένο σώμα.
Από w γίνεται κλάσμα του w.
Στην ανάρτηση με το λάστιχο και το καρφί υπολογίζεται ακριβώς, χωρίς προσεγγίσεις η δύναμη και προκύπτει 1,5 φορές μεγαλύτερη.
Λες:
Εξάλλου το ελατήριο επιταχύνεται προς τα αριστερά. Δεν θα πρέπει να αυξηθεί η δύναμη από τον τοίχο;
Σωστά. Αυτό είναι τελικά. Όμως σκέψου την τότε συζήτηση όπου άλλοι προέβλεπαν μηδενική δύναμη και άλλοι δύναμη k.A.
Το θέμα της τότε συζήτησης είναι οριακή κατάσταση του παρόντος θέματος.
Προφανώς σε ένα ελατήριο ή δύναμη είναι μεγαλύτερη από αυτήν που το κρατάει όσο μικρή και αν είναι η μάζα του.
Η πρόβλεψη, επομένως, για μηδενισμό δύναμης δεν έστεκε.
Μάλιστα είτε μεγάλη είναι η μάζα του ελατηρίου είτε όχι, έχουμε ίδιο αποτέλεσμα. Αύξηση μίαμιση φορά.
Όταν η μάζα τείνει στο μηδέν αυτό δεν αλλάζει. Αύξηση μίαμιση φορά.
Γιατί να μην δεχθούμε ότι και στο ιδανικό ελατήριο…. αύξηση μίαμιση φορά.
Το ιδανικό ελατήριο οφείλει να είναι οριακή κατάσταση του πραγματικού. Η οριακή κατάσταση του πραγματικού είναι "αύξηση δύναμης μιάμιση φορά".
Γιάννη, Διονύση …
Καλησπέρα … Γιάννη ενδιαφέρουσες και ωραίες και οι δυο διερευνήσεις σου…
Για να πω την αλήθεια "δεν το έχω" το θέμα … Γιάννη εσύ έχεις ασχοληθεί κάποιες ώρες άρα περιμένω τελικά να μας πεις ξεκάθαρα τα συμπεράσματά σου. Είμαι σίγουρος πως ΔΕΝ θα ήθελες να αιωρείται συνεχώς μια αίσθηση αποδόμησης της επιστήμης μας όσον αφορά την ικανότητα προβλέψεων
Ναι προκύπτουν κάποια όχι αναμενόμενα αποτελέσματα …
Δεν ήξερα για παράδειγμα ότι η "ενεργός μάζα" που πρέπει να προσθέσουμε στο ελατήριο μεταβάλλεται με το χρόνο αν δεχτούμε ότι έχουμε διάδοση κυμάτων και άρα μεταβλητή ( με το χρόνο ) συνάρτηση γραμμικής πυκνότητας με τον χρόνο … Είδα πράγματα που δεν έχω ασχοληθεί με αυτά ρίχνοντας μια ματιά και στην wikipedia εδώ
Βλέπω όμως ότι, αν η μάζα του ελατηρίου m είναι αρκετά μικρότερη από την Μάζα Μ και για πολύ μικρά πλάτη Α = x(max) σε σχέση με το συνολικό μήκος του ελατηρίου
α) οι όποιες μεταβολές της γραμμικής πυκνότητας του ελατηρίου είναι αμελητέες και συνεπώς μπορούμε να θεωρήσουμε την ρ(x) σταθερή και
β)ο λόγος x/L είναι μικρός (και το τετράγωνό του αμελητέο ) άρα …
…το ολοκλήρωμα που δίνει την "ενεργό μάζα m(eff) του ελατηρίου που πρέπει να προσθέσουμε στην Μ μάλλον τείνει στο 0 …
Αυτά προς το παρόν …
Μήτσο με απασχόλησε το θέμα με το μπαλάκι κει το ελατήριο.
Πίστευα, όπως είχε φανεί και στην τότε συζήτηση, ότι η δύναμη δεν είναι k.A αλλά μηδέν. Τούτο διότι το ελατήριο δεν δέχεται άλλη δύναμη και διότι το κέντρο μάζας του συστήματος είναι το μπαλάκι και μένει ακίνητο αν το ελατήριο δεν έχει μάζα.
Όμως από τότε (μεσολάβησαν και τα ρευστά) κατάλαβα ότι πρέπει να βρίσκεις μια λύση ακριβή και μετά να κάνεις τις όποιες προσεγγίσεις. Όχι πριν.
Αυτό έκανα με το λάστιχο και το καρφί.
Όταν τελείωσα εξεπλάγην από δύο πράγματα.
Το ένα ήταν ότι την στιγμή μηδέν το λάστιχο δέχεται και ασκεί δύναμη μιάμιση φορά μεγαλύτερη από αυτήν με την οποία το κρατάς. Δύναμη που είναι ίδια όποια και αν ήταν η μάζα, διότι το m υφίστατο απλοποίηση.
Το μοντέλο «ιδανικό ελατήριο» δεν πρέπει να διαφωνεί με την πραγματικότητα.
Πρέπει να αποτελεί οριακή κατάσταση της πραγματικότητας.
Πώς να το πω;
Μου φαίνεται περίεργο η f(x) να τείνει στο 4 όταν το x τείνει στο μηδέν και ταυτόχρονα f(0)=0. Η φύση δεν συμπαθεί ασυνέχειες.
Ξαναδιαβάζοντας όμως το pdf νόμισα ότι έχω κάνει λάθος (κάτι που ανέφερα).
Δεν μπορούσα να χωνέψω πως η δύναμη μεγαλώνει αντί να μικρύνει.
Δεν θα μου έκανε εντύπωση ένα 2/3 της δύναμης k.A αλλά 3/2;;
Μήπως ο Βαγγέλης Κορφιάτης έχει δίκιο , σκέφτομαι, και η σχέση της ενεργού μάζας δεν ισχύει αν 10m>M;
Παίρνω χαρτί και μολύβι και βάζω ένα αυθαίρετο Μ. Κάτι που θα μεγαλώσω ή θα μικρύνω κάνοντας προσεγγίσεις.
Το αποτέλεσμα είναι μια δύναμη που αυξάνει ακαριαία.
Δυνάμεις που μειώνονται ακαριαία έχουμε δει πολλές φορές.
Η μηχανή Άτγουντ, το καροτσάκι με τον χρονομετρητή που του κρεμάμε βαράκια, η τρύπα στο νερό που έλεγε ο Ανδρέας.
Αύξηση όμως!
Ξαφνιάστηκα πάλι αλλά με ικανοποίησε το ότι (νομίζω ότι) έχω απάντηση.
Εν τέλει τα μοντέλα έχουν όρια που δεν πρέπει να πλησιάζεις. Το να φέρνεις ένα μοντέλο στα άκρα δημιουργεί μεν χαριτωμένα παράδοξα και συζητήσεις, είναι όμως επισφαλές.
Επίσης Μήτσο αφήνουμε για μια στιγμή το ελατήριο. Τόσο μικρή διάρκεια φαινομένου, όσο εμείς θέλουμε.
Τόσο μικρή ώστε ούτε κύματα να διαδοθούν , ούτε κάποια κατανομή να αλλάξει.
Την ενεργό μάζα ελατηρίου είχε μετρήσει με καλή ακρίβεια ο Βαγγέλης Κουντούρης στο ΕΚΦΕ Αγίων Αναργύρων πριν χρόνια.
Από την τιμή Τ(0) της Τ(Μ) μιας γραφικής παράστασης.
Δεν ξέρω τις μετρήσεις του Βαγγέλη … ούτε κάποιου άλλου …
Αν θυμάται κάτι να τον ρωτήσουμε … Εγώ απ’ ότι κατάλαβες τώρα ασχολήθηκα και πρόσεξα την υποσημείωση της wikipedia …
στο τέλος του άρθρου που σε παρέπεμψα … γράφει ότι όταν ο λόγος Μ/m γίνεται μικρότερος του 7 τότε η “ενεργός μάζα του ελατηρίου ” αποκλίνει πολύ από την τιμή m/3 που υπολόγισε ο Rayleigh και για τιμές του λόγου αυτού πολύ μικρότερες μπορεί ( αν και το πλάτος είναι μικρό φαντάζομαι σε σχέση με το μήκος του ελατηρίου ) να πάρει και αρνητικές τιμές!!! (Jun-ichi Ueda and Yoshiro Sadamoto )
Λέει όμως για μη ελαστική παραμόρφωση.
Θα μπορούσα να πω ότι περιορίζομαι σε λάστιχο ψαροντούφεκου το οποίο τεντώνω κατά 2%.
Το θέμα δεν είναι αυτό.
Όποια και αν είναι η ενεργός μάζα η δύναμη είναι (αν δεν κάνω λάθος φυσικά) μεγαλύτερη από αυτήν με την οποία το κρατάς.
Σε αυτό έχεις απόλυτα δίκιο η δύναμη στον τοίχο από το ελατήριό σου έχει μεγαλύτερο μέτρο από την δύναμη στην μάζα από το ελατήριο. Δυνάμεις που δεν είναι δράση – αντίδραση γιατί το πραγματικό ελατήριο δεν είναι απλά ένας σύνδεσμος … ( μια μαθηματική συνθήκη ) αλλά ένα αντικείμενο ( body ) με αδράνεια και …
Ανάλογη είναι και η περίπτωση να έλκει κάποιος ένα καροτσάκι 9 κιλών με μια αλυσίδα 6 kg ( τραβηγμένο παράδειγμα ) …
Για το θέμα της ελαστικότητας … υπενθυμίζω ότι η περίπτωση COR=1 είναι εξιδανίκευση ( ανήκει ) στη χώρα των ιδεών και άρα όπως θα έλεγε και ο Πλάτωνας τα πραγματικά ελατήρια απλά συμμετέχουν σε αυτήν ως φτηνές χονδροειδέις μιμήσεις ( ενοείται ότι εγώ δεν είμαι αυτής της Σχολής και τα βλέπω κάπως ανάποδα )
Καληνύχτα Γιάννη … (Λέω να πάω για ύπνο νωρίς σήμερα και ελπίζω αύριο να έχουμε μια πιο καθαρή εικόνα του θέματος)
Καλημέρα Μήτσο.
Ίσως ψαροντούφεκο ελατηρίου με ελάφρύ καμάκι.
Διάβαζα και την παραπομπή στην Βικιπέδεια. Όταν η ενεργός μάζα καθίσταται αμελητέα (αυτοί το γράφουν έτσι), το "φαινόμενο" γίνεται εντονότερο διότι η ενεργός μάζα βρίσκεται στον παρονομαστή, ενώ το m/2 (μηδέποτε αμελητέο) στον αριθμητή.