by 
Έχουμε 101 νομίσματα και ξέρουμε ότι τα 51 είναι γνήσια ενώ τα 50 κάλπικα.
Η μόνη διαφορά τους είναι στο βάρος. Όλα τα γνήσια έχουν ίδιο βάρος. Όλα τα κάλπικα έχουν ίδιο βάρος.
Ένα γνήσιο διαφέρει 1 g* από ένα κάλπικο, αλλά δεν ξέρουμε αν είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο.
Έχουμε και μια περίεργη ζυγαριά η οποία μας δείχνει τη διαφορά βαρών μεταξύ αυτών που βάζουμε στους δίσκους.
Για παράδειγμα αν αριστερά βάλουμε 8,3 g* και δεξιά 10,3 g* τότε θα δείξει -2 g*.
Μας δίνουν ένα νόμισμα από τον σωρό και πρέπει να ανακαλύψουμε αν είναι γνήσιο ή κάλπικο.
Έχουμε δικαίωμα να κάνουμε μόνο μία ζύγιση.
Τι πρέπει να κάνουμε;
Καλησπέρα
Γιάννη, ωραίος γρίφος!
Χωρίζουμε τα υπόλοιπα 100 νομίσματα σε δύο πενηντάδες και τα τοποθετούμε στους δύο δίσκους της ζυγαριάς.
Αποδεικνύεται ότι αν η διαφορά βγει άρτιος αριθμός τότε το νόμισμά μας είναι γνήσιο ενώ αν η διαφορά βγει περιττός αριθμός το νόμισμά μας είναι κάλπικο.
Ακριβώς Θρασύβουλε.
Βάζουμε 50 νομίσματα αριστερά και 50 δεξιά στην τύχη. Ζυγίζουμε.
Έστω ότι μας έδωσαν γνήσιο. Έμειναν 50 γνήσια και 50 κάλπικα.
Έστω ότι βάζουμε αριστερά ν γνήσια που ζυγίζουν α έκαστον και 50-ν κάλπικα που ζυγίζουν β έκαστον. Συνολικό βάρος ν.α+(50-ν).β
Τότε όμως δεξιά θα έχουμε 50-ν γνήσια και ν κάλπικα. Συνολικό βάρος (50-ν).α+ν.β.
Η ένδειξη της συγαριάς θα είναι:
ν.α+(50-ν).β – (50-ν).α-ν.β = ν.α+50.β-ν.β-50.α+ν.α-ν.β = 2ν.(α-β) -50.(α-β)=(α-β).(2ν-50)
Το νούμερο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, όμως είναι άρτιο.
Αν όμως η ζύγιση δείξει περιττό (π.χ. -13 g*) το νόμισμα που μας έδωσαν είναι κάλπικο.
Η πηγή:
Mind your decisions
Από όλα τα προβλήματα με νομίσματα που έχω λύσει μου άρεσε περισσότερο το εξης:
Εχουμε δέκα σάκους με νομίσματα. Ο ένας σάκος περιέχει μόνο κάλπικα ενώ οι άλλοι εννέα αληθινά.Εχουμε μια ζυγαριά που μετράει βάρος αλλά το “μεταφράζει” σε gr. Το κάλπικο νόμισμα έχει μάζα 1gr λιγότερο από το αληθινό που έχει μάζα 10 gr.
Πως με μία ζυγιση θα βρούμε τον σάκο με τα κάλπικα νομίσματα.
Για βοήθεια: ο αριθμός των νομισμάτων σε κάθε σάκο δεν είναι ο ίδιος. (ήταν καταλυτικό για να το λύσω).
Δεν γνωρίζω αν το ξέρεις αλλά είναι όμορφο,
Παίρνουμε ένα νόμισμα από το 1ο σάκο δύο από το 2ο τρία από το 3ο κλπ. Ζυγίζουμε και από το “έλλειμμα μάζας” βρίσκουμε το σάκο με τα κάλπικα
Σωστά. Όταν ρώτησα και μου είπαν ότι ο αριθμός των νομισμάτων σε κάθε σάκο δεν είναι απαραίτητο να είναι ο ίδιος , τότε καταλαβα ότι θα παίξω με τα νομίσματα και όχι με τους σακους, έτσι η λυση ήρθε σχετικά εύκολα.
Καλημέρα Γιώργο και Θανάση.
Ωραίος γρίφος.
(από το υπό έκδοση βιβλίο μου: Σπαζοκεφαλιές φυσικής για “ανήσυχους” μαθητές και πολίτες)
Με μία ζύγιση ***
Διαθέτουμε μια ζυγαριά με ίσους βραχίονες και πολλά σταθμά, και πέντε σωρούς από κέρματα απόλυτα ίδια εξωτερικά. Γνωρίζουμε ότι όλοι οι σωροί έχουν γνήσια κέρματα που το κάθε ένα ζυγίζει 10g, εκτός από έναν σωρό που έχει μόνο κάλπικα κέρματα που το κάθε ένα ζυγίζει 9g. Πώς θα βρούμε ποιος σωρός έχει τα κάλπικα κέρματα αν μας επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη ζυγαριά για μία, μόνο, ζύγιση ;
Απάντηση
Αριθμούμε τους σωρούς 1, 2, …, 5
Τοποθετούμε στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς τόσα κέρματα από κάθε σωρό όσα και ο αριθμός του, συνολικά (1+2+ …+5) 15 κέρματα, και σταθμά στον δεξιό της ώσπου η ζυγαριά να ισορροπήσει.
Η διαφορά της συνολικής μάζας των σταθμών από τα (15*10g)=150g είναι ο αριθμός του σωρού με τα κάλπικα κέρματα.