by 
Οι ακτίνες του κύκλου ΑΒ, ΑΚ και ΑΛ σχηματίζουν ανά δύο γωνίες 120ο.
Προβάλουμε τα Β, Κ και Λ σε μια τυχαία ευθεία που περνάει από το κέντρο Α.
Οι προβολές είναι αντιστοίχως τα Σ, Ρ και Τ.
Δείξατε ότι (ΑΡ) = (ΑΣ) + (ΑΤ).
Πρόκειται για άσκηση Γεωμετρίας.
Γιάννη, πολύ ωραίο!
Μια γενίκευση, μαθηματική:
Ευχαριστώ Χρήστο.
Τα διανύσματα χρησιμοποιούνται και στη Γεωμετρία. Χωρίς να είναι Ευκλείδεια Γεωμετρία η εμπλοκή τους έχει ενδιαφέρον και τυποποιεί πολλά προβλήματα.
Καλησπέρα Γιάννη. Και μια τριγωνομετερική λύση :
συνφ+ συν(φ+ 120)+συν(φ+240) = 0 => ΑΣ+ΑΡ + ΑΤ=0
Η απόδειξη του τύπου:
συνφ+συν(φ+120) +συν(φ+240) = συνφ +συνφ συν120 – ημφ ημ120 + συνφ συν240 -ημφ ημ240 = συνφ +συνφ (-1/2) – ημφ(sqr(3)/2) +συνφ (-1/2)-ημφ(-sqr(3)/2) =0
Καλησπέρα Γιώργο.
Και η Τριγωνομετρία μπορεί να εμπλακεί σε γεωμετρικά προβλήματα.
Πιστεύω ότι η τριγωνομετρία δημιουργήθηκε για να βοηθήσει την Γεωμετρία σε πιο απλές λύσεις (όπως εδώ). Προσωπικά την θεωρώ τμήμα της Γεωμετρίας.
Γιώργο δεν είμαι καθόλου καλός στα ιστορικά.
Βρίσκω στη Βικιπαίδεια:
Εμφανώς αποτελεί εξέλιξη των Μαθηματικών (πολύ παλιά μάλιστα) και βοηθάει αφάνταστα υπολογισμούς.
Απαιτεί λιγότερη φαντασία από την καθαρή Γεωμετρία που είναι άριστος παιδαγωγός για την Μαθηματική Λογική, τον Προτασιακό Λογισμό και πολλά άλλα που χάθηκαν όταν έπαψε να εξετάζεται.
Είμαι τακτικός επισκέπτης του Mind your decisions και προσπαθώ να καταλάβω ποιο πρόβλημα είναι καθαρά γεωμετρικό ώστε να ασχοληθώ μ’ αυτό.
Δυστυχώς πάρα πολλά είναι αλγεβρικά που καταλήγουν σε επιλύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων και επομένως βαρετά.
Πολλά όμως είναι όμορφα. Είτε λύνονται μόνο γεωμετρικά, είτε έχουν τον περιορισμό να μην χρησιμοποιηθεί η Τριγωνομετρία.
Πολυ ωραιο Γιαννη. Θυμιζω μια επισης ωραια αναρτηση του Δημητρη Γκενέ.
Φυσική ή Μαθηματικά
Και κατι ακομα. Εχω ξαναεκφρασει την αποψη μου οτι αν ενα προβλημα ειναι δυνατον να λυθει με αγνη Ευκλειδεια Γεωμετρια και διαβαζουμε λυσεις στις οποιες γινεται χρηση αναλυτικων μεθοδων,ειναι σαν να ακουμε μια ορχηστρα της οποιας τα βιολιά ειναι ξεκουρδιστα.
Καλημέρα κ. Κυριακόπουλε
Μια γεωμετρική λύση ακόμη, για ποικιλία. 🙂
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Εΰχαριστώ.
Ωραίος ο Μήτσος!
Καλημέρα Χρήστο.
Πολύ προχωρημένη γεωμετρική λύση!
Kαλημέρα Γιάννη . Και μια λύση με γεωμετρια και ολιγον διανύσματα
Καλημέρα Γιώργο.
Πολύ σωστή.
Μοιάζει λίγο μ’ αυτήν η δεύτερη λύση της ανάρτησης.
To αντιστροφο ισχυει? Δηλαδη αν Ρ,Σ,Τ σημεια επι μιας διαμετρου κυκλου κεντρου Α και υπαρχουν δυο εξ αυτων εκατερωθεν του Α και ΑΡ=ΑΣ+ΑΤ τοτε αυτα ειναι παντα οι προβολες των κορυφων ενος ισοπλευρου τριγωνου εγγεγραμενου στον κυκλο?
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Δεν ισχύει.