by 
Έστω όλοι οι θετικοί ακέραιοι από το 1 έως το 70. Διαλέγουμε στην τύχη 35 από αυτούς και τους ονομάζουμε α1,α2,….,α35 έτσι ώστε: α1<α2<….<α35 .
Τους υπόλοιπους 35 ακεραίους που δεν διαλέξαμε,τους ονομάζουμε β1,β2,….,β35 έτσι ώστε β1>β2>….>β35. Να δείξετε ότι: Ια1-β1Ι+Ια2-β2Ι+….+Ια35-β35Ι=352
Τα μόνα Μαθηματικα που απαιτουνται για να λυσει κανεις αυτην την ασκηση ειναι αριθμητικη Δημοτικου,ο ορισμος της απολυτης τιμης που υπαρχει εδω στην εικονα και οτι 35 εις το τετραγωνο,κανει 35 επί 35.
Πολύ όμορφη άσκηση!
35 ζευγάρια με άθροισμα 35 καθένα.
Καλημέρα Κωνσταντίνε, καλημέρα σε όλους.
Αν δώσω αντιπαράδειγμα, θα κάνω καλά ή όχι;
Η πρώτη ομάδα αριθμών είναι οι άρτιοι 2, 4, 6… 70
Η δεύτερη ομάδα οι περιττοί 1,3,5,7, 69
η διαφορά α1-β1=1. όπως και κάθε άλλη διαφορά.
Τότε το άθροισμα είναι 35!!!
Λείπει το τετράγωνο.
Καλημερα Διονυση και Γιαννη. Διονυση οι α αριθμοι διατασονται αναποδα απο τους β αριθμους .Αρα με τις επιλογες που εχεις κανει.ο α1 ειναι ο 2 και ο β1 ειναι ο 69. Αρα α1-β1= -67 οχι 1
Γιαννη μαλλον οχι!
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Δίκιο έχεις… δεν το πρόσεξα.
Καλημέρα σε όλους. Βγάζω 35×70 δηλαδή 2×35^2. Θα ψάξω για το λάθος μου αργότερα 🙂
Κωνσταντίνε δεν τα είπα καλά γράφοντας από κινητό.
Οι διαφορές είναι αποστάσεις σε μια αριθμογραμμή. Τα σημεία είναι τελείες και πρέπει ένας περιπατητής να πηγαίνει από τελεία σε τελεία. Η πρώτη διαδρομή (από το α1 στο β1) είναι μεγάλη. Η δεύτερη μικρότερη. Όμως ο μέσος όρος των 35 διαδρομών είναι 35.
Έτσι το άθροισμα είναι 35xΜΟ=35×35.
Μία περίπτωση:
Έστω τα α1 έως α35 είναι 1 έως 35 , τα β1 έως β35 είναι 70 έως 36, βγαίνουν 35 αθροίσματα τα εξής : 69,67,65 και κάθε επόμενος όρος μειώνεται κατά 2 μέχρι το μηδέν.
Το άθροισμα βγαίνει. Το ξαναέκανα.
Βγαίνει επομένως με την προταθείσα διάταξη (α τα μικρά, β τα μεγάλα).
Κάνουμε αντιμετάθεση του αj με το βj.
Τότε οι διαδρμομές – αποστάσεις δεν αλλάζουν. Πάλι 35×35.
Κάνοντας συνεχώς αντιμεταθέσεις (στις οποίες το αποτέλεσμα δεν αλλάζει) οδηγούμαστε στην όποια τυχαία κατανομή των α και β. Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.
Κανονικά θα έπρεπε η λύση που προτείνω να συνοδεύεται από σχήματα, όμως μάλλον είναι κατανοητή. Σε αντίθετη περίπτωση να κάνω σχήματα.
Γιαννη και Κωστα αυτα που γραφετε ειναι σωστα ομως δεν αποτελουν μαθηματικη αποδειξη. Αφηνουν αμφιβολιες στον αναγνωστη σχετικα με την γενικη αληθεια της προτασεως.
Κωνσταντίνε γιατί δεν είναι Μαθηματική απόδειξη;
Μία οποιαδήποτε διάταξη προκύπτει από την διάταξη που αναφέρθηκε (α τα μικρά, β τα μεγάλα) με αντιμεταθέσεις κατάλληλες.
Αν με κάθε αντιμετάθεση δεν αλλάζει το άθροισμα (άθροισμα αποστάσεων) τότε δεν θα αλλάξει όταν θα πάμε από την αρχική στην τυχαία.
Έτσι σε κάθε διάταξη το άθροισμα θα είναι το ίδιο.
Δηλαδή μου δίνεις μια τυχαία διάταξη. Πανεύκολα με μεταθέσεις οδηγούμαστε στην αρχική αλλά και το ανάποδο.
Για να κάνω ευκολότερα το σχήμα περιορίζομαι σε 6 νούμερα:
Από κάτω ξεκινάμε που το άθροισμα είναι 9.
Κάνουμε τις μεταθέσεις με τη σειρά που δείχνει το βέλος.
Η αντιμετάθεση δεν αλλάζει τις αποστάσεις και το άθροισμα παραμένει 9.
α1<α2<…<α35 και β1>β2>…>β35 άρα -β1<-β2<…<-β35 αν μετά τα προσθέσουμε κατά μέλη; θα οδηγηθούμε κάπου;