by Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m, του οποίου το πάνω άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο, είναι δεμένο σώμα (Σ1) μάζας m1 =1 kg. Το σώμα (Σ1) συνδέεται μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L=0,25m, με σώμα (Σ2) μάζας m2 =3 kg, το οποίο βρίσκεται κατακόρυφα κάτω από το (Σ1). Αρχικά τα δύο σώματα ισορροπούν με το νήμα τεντωμένο.
Κάποια στιγμή ασκείται στο (Σ1) κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω για πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Η μετατόπιση των σωμάτων κατά τη διάρκεια εφαρμογής της δύναμης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την παύση της δύναμης το νήμα παραμένει τεντωμένο, ενώ η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων έχει μεταβληθεί κατά Δp, με φορά προς τα πάνω.
Ως θετική θεωρούμε την κατακόρυφη φορά προς τα πάνω.
Α. Να εκφράσετε το μέτρο υο της κοινής ταχύτητας των δύο σωμάτων αμέσως μετά την παύση της δύναμης, σε συνάρτηση με τη μεταβολή της ορμής του συστήματος.
Β. Να αποδείξετε ότι, για όσο χρονικό διάστημα το νήμα παραμένει τεντωμένο, τα δύο σώματα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης.
Γ. Να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή Δpmax της μεταβολής της ορμής του συστήματος, ώστε το νήμα να παραμένει τεντωμένο σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης.
Για τη συνέχεια θεωρούμε ότι Δp= Δpmax και ως χρονική στιγμή (t=0) τη στιγμή αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης.
Δ. 1) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x=x(t) των σωμάτων από τη θέση ισορροπίας τους.
2) Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή t1 κατά την οποία το μέτρο της τάσης του νήματος είναι T1=15 N για πρώτη φορά
3) Να υπολογίσετε την ταχύτητα των σωμάτων τη χρονική στιγμή t1
Ακριβώς τη στιγμή κατά την οποία τα σώματα ακινητοποιούνται στιγμιαία για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή (t=0), το νήμα κόβεται ακαριαία.
Ε. Nα υπολογίσετε το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στο σώμα Σ2 από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή της πρώτης στιγμιαίας ακινητοποίησης των σωμάτων.
ΣΤ. Μετά την κοπή του νήματος το σώμα Σ2 κινείται ελεύθερα, ενώ το Σ1 παραμένει συνδεδεμένο με το ελατήριο.
- Να αποδείξετε ότι το Σ1 εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το πλάτος A’ της ταλάντωσής του.
- Να υπολογίσετε την απόσταση (d) μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2 τη χρονική στιγμή Δt=π/20 s
μετά την κοπή του νήματος. Δίνονται: g=10 m/s2 , π2=10
Οι διαστάσεις των σωμάτων και οι αντιστάσεις του αέρα θεωρούνται αμελητέες.
Καλημερα Θοδωρη. Ωραια ασκηση. Την κοιταξα γρηγορα,δεν την εχω διαβασει ακομα προσεκτικα. Μου αρεσει που στο ΣΤ. γραφεις κατευθειαν οτι η νεα θεση ισορροπιας απεχει Δl=mg/k ενω εχω δει άλλοι να γραφουν ιστορίες. Μια ακομα παρατηρηση. Εχεις γραψει οτι η ΑΑΤ οριζεται μονο για υλικα σημεια.απλή αρμονική ταλάντωση – διαγράμματα Το συστημα των δυο σωματων μεταξυ των οποιων μεσολαβει νημα πεπερασμενου μηκους,ολο μαζι το θεωρεις υλικο σημειο;Διοτι την κινηση ολου αυτου του συστηματος στην λυση,την ονομαζεις ΑΑΤ.
Καλημέρα Θοδωρή . Αν και κλασική την διανθίζεις με όμορφα ερωτηματα.
Θα σταθω λίγο σε αυτό που είπε ο Κωνσταντίνος( Καλημέρα Κωνσταντίνε).
“Μου αρεσει που στο ΣΤ. γραφεις κατευθειαν οτι η νεα θεση ισορροπιας απεχει Δl=mg/k ενω εχω δει άλλοι να γραφουν ιστορίες.”
Συμφωνώ.
Ενώ είναι πιο εύκολο να πουμε ότι η εξτρα επιμήκυνση του ελατηρίου οφείλεται στο δευτερο σώμα αρα αυτη η επιμήκυνση , m(2)*g/K , θα είναι το πλατος όταν κοπει το νημα(τότε υ=0) ,χρησιμοποιουμε εξισώσεις στε δυο θεσεις ισορροπίας και κανουμε πραξεις για να καταλήξουμε στο ίδιο αποτελεσμα.
Από την εποχή των δεσμών παντα το έκανα έτσι παρά τις αντιρρήσεις κάποιων συναδέλφων.
Για αυτό στα παιδιά έλεγα και τα δυο ,τους συνιστουσα δε να χρησιμοποιήσουν τις εξισώσεις ,για ¨τον φόβο των Ιουδαίων”.
Κωνσταντίνε, όχι, δεν θεωρώ όλο το σύστημα των δύο σωμάτων και του νήματος ως ένα υλικό σημείο.
Δεν πρέπει να πούμε ότι «το σύστημα των δύο σωμάτων είναι υλικό σημείο”.
Δεν είναι: τα δύο σώματα απέχουν σταθερή, πεπερασμένη απόσταση ίση με το μήκος του νήματος.
Η παρατήρησή σου είναι σωστή ως προς τη διατύπωση και ίσως το «το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ» να είναι καταχρηστικό.
Τα Σ1 και Σ2 θεωρούνται δύο διαφορετικά υλικά σημεία, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά το μήκος του νήματος. Επειδή όμως το νήμα είναι αβαρές, μη εκτατό και παραμένει τεντωμένο, οι αποστάσεις τους από τις αντίστοιχες θέσεις ισορροπίας τους μεταβάλλονται κατά το ίδιο ποσό.
Επομένως ισχύει x1=x2=x και a1=a2=a.
Άρα δεν είναι το «σύστημα ως υλικό σημείο» που εκτελεί ΑΑΤ.
Καθένα από τα δύο υλικά σημεία Σ1 και Σ2 εκτελεί ΑΑΤ, με ίδιο πλάτος, ίδια γωνιακή συχνότητα και ίδια φάση, γύρω από τη δική του θέση ισορροπίας, για όσο το νήμα παραμένει τεντωμένο.
Οπότε δέχομαι τη γλωσσική ένσταση και ακριβέστερα θα έγραφα:
«Τα σώματα Σ1 και Σ2 εκτελούν ΑΑΤ» και όχι «το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ».
Το πεπερασμένο μήκος του νήματος δεν εμποδίζει τα δύο σώματα να εκτελούν ΑΑΤ, απλώς μας εμποδίζει να τα χαρακτηρίσουμε συλλογικά ως ένα υλικό σημείο.
Γιώργο, δεν καταλαβαίνω τί ακριβώς εννοείς…. Το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος της αρχικής ταλάντωσης, είναι όσο η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου. Για ευκολία, το νήμα κόπηκε στη θέση φμ, οπότε η νέα επιμήκυνση στη θέση όπου μηδενίζεται η συνισταμένη δύναμη στο εναπομείναν σώμα είναι το νέο πλάτος….
Για τέτοιες ασκήσεις με κρεμασμένα σώματα συνδεδεμένα με νήμα, τα οποία εκτελούν ΑΑΤ, όλα τα ιδανικά ελατήρια λειτουργούν ως slinky …. χα, χα,…. αφού ταλάντωση των δύο έχουμε μόνο για επιμήκυνση του ιδανικού ελατηρίου
Γεια σου Γιωργο. Συμφωνουμε. Ενα χαρακτηριστικο παραδειγμα ειναι αυτο του θεματος Β1 του 2011, που σιγουρα το θυμασαι.
Εδω ειναι υποθεση δευτερολεπτων να δει κανεις οτι τα δυο πλατη ταλαντωσης ειναι m1g/k και m2g/k και η ασκηση τελειωσε. Εχω δει παπαδες μιας σελιδας για αυτο το απλο πραγμα.
Εγω Θοδωρη συμφωνω με αυτο που προτεινεις,οτι τα δυο σωματα Σ1 και Σ2 μπορουν να θεωρηθουν ως υλικα σημεια τα οποια εκτελουν ΑΑΤ,βασικα οποια διατυπωση και να επιλεξεις ειτε αναφερομενος στο συστημα,ειτε οχι στο συστημα,δεν εχω προβλημα,ομως εχεις μπει σε εναν φαυλο κυκλο διοτι αν διαχωρισεις τα Σ1 και Σ2,τοτε οι δυναμεις που τα ταλαντωνουν δεν ειναι συντηρητικες,διοτι και για τα δυο υπαρχει η ταση του νηματος και εχεις επανειλημμενως υποστηριξει (κακώς) οτι οι κινησεις τους τοτε δεν ειναι ΑΑΤ. Αρα δεν μπορεις να πεις οτι το συστημα κανει ΑΑΤ διοτι δεν ειναι υλικο σημειο,αλλα ουτε και καθε σωμα ξεχωριστα κανει ΑΑΤ. Τοτε τι ακριβως κανει ΑΑΤ;
Πρεπει να βρεις τροπο να άρεις αυτες τις αντιφασεις.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε. Και εγω το θυμάμαι και επίσης θυμαμαι τις πολλες πράξεις που εκαναν κάποιοι συναδελφοι ενω εβγαινε αμέσως.
Απάντηση στον κύριο Καβαλλιεράτο
Εσύ συμφωνείς, εγώ διαφωνώ με τον εαυτό μου….
κακώς απάντησα βιαστικά και ζαλισμένος…..
Ξεκάθαρα, έπεσα στην παγίδα που έστησες , μέσα στη ζαλάδα μου
Συγχαρητήρια
Έχω ξυπνήσει από τις 06:00 γιατί πήγα και περπάτησα στην Πάρνηθα για έξι
ώρες , ξεκινώντας από το σιδηροδρομικό σταθμό της Σφενδάλης στη Μαλακάσα…
Ήταν πορεία στα βήματα του ΔΣΕ … τιμώντας όσους σκοτώθηκαν στην περίοδο
1946-49…. Μάλλον αυτά είναι ψιλά γράμματα για σένα…..
Λοιπόν στη θολούρα, τη νύστα και την κούραση, έγραψα μια μαλακία….
Κέρδισες, μπορείς να αισθάνεσαι δικαιωμένος
Ανακαλώ….
η κίνηση κάθε μάζας δεν είναι ΑΑΤ, αφού η δύναμη της τάσης του νήματος δεν είναι διατηρητική…έχει τα κινηματικά χαρακτηριστικά μιας αρμονικής ταλάντωσης , αλλά δεν έχει τα ενεργειακά….έτσι δεν είναι αατ…
Το ΚΜ του συστήματος εκτελεί ΑΑΤ
Διόρθωση θέλει η φράση: «το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ».
Αυτή η διατύπωση είναι ασαφής, επειδή ένα εκτεταμένο σύστημα δεν είναι υλικό σημείο.
Ακριβέστερα μπορούμε να πούμε:
«Για όσο το νήμα παραμένει τεντωμένο, τα δύο σώματα εκτελούν αρμονική ταλάντωση, γύρω από τις αντίστοιχες θέσεις ισορροπίας τους, ενώ το κέντρο μάζας του συστήματος των δύο σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ»
Αυτή είναι η θέση μου ξεκάθαρα
Γράφεις, θριαμβολογώντας:
“Πρεπει να βρεις τροπο να άρεις αυτες τις αντιφασεις”
Καμία αντίφαση δεν υπάρχει.…στην κούραση και στην νύστα και στη μαλακία
να απαντήσω από ευγένεια, έγραψα κάτι που δεν είναι σωστό….
Εσύ όμως, ξεκούραστος και χαλαρός, έστησες καρτέρι και παγίδα….
Αυτό για μένα παραβιάζει δεοντολογία ….. και δεν πρόκειται απέναντί σου
να είμαι ξανά ευγενής…γιατί απλά δεν το αξίζεις….
Ο καθένας έχει τους δικούς του ηθικούς κώδικες και φραγμούς….εσένα σε καθοδηγεί ο εγωκεντρισμός και η αυταρέσκεια…..
Συνέχισε….υπάρχουν και άλλοι εδώ μέσα όμοιοι σου…
Μαλλον δεν εισαι με τα καλα σου.
Καλησπέρα σε όλους.
Θοδωρή κλασική άσκηση αλλά με όλα τα ερωτήματα που θέτεις κάνει ο μαθητής καλή εξάσκηση.
Προτιμώ την έκφραση του Θοδωρή σκέτο γι αρμονική ταλάντωση. Από τη στιγμή που διατυπώθηκε δεν υπάρχει λόγος να επαναλαμβάνεται το ίδιο και το ίδιο ξανά. Εξάλλου η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές μην τους μπλέκουμε διαβάζοντας κάποιος τα σχόλια.
Καλημέρα Χρήστο, καλώς γύρισες από τας Ευρώπας , δλδ το Cern