by 
Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται ένα ντεπόζιτο σχήματος κύβου με πλευρά h=0,5m στο οποίο έχουν προσαρμοστεί δύο σωλήνες μεγάλου μήκους o καθένας στην κάτω και πάνω βάση του αντίστοιχα. Οι σωλήνες φέρουν εφαρμοστά έμβολα με εμβαδά Α1 και Α2 τα οποία μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές στους σωλήνες.
Γεμίζουμε με νερό το ντεπόζιτο και το σύστημα ισορροπεί ασκώντας μία δύναμη μέτρου F στο έμβολο Α1, ενώ το έμβολο Α2 ισορροπεί χωρίς την άσκηση κάποιας δύναμης από εμάς. Αν το εμβαδό του εμβόλου Α1=4cm2 και τα εμβαδά των δύο εμβόλων συνδέονται με τη σχέση Α1 = 2Α2
Αi) Να βρείτε το μέτρο της δύναμης F.
B) Αρχίζουμε να ασκούμε μία δύναμη με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από λίγο χρόνο να αποκατασταθεί μόνιμη ροή στους σωλήνες και το έμβολο 1 να κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1=0,2m/s.
Συνέχεια στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Η άσκηση αφιερώνεται στο Γιάννη Κυριακόπουλο κοινώς Κυρ Γιάννης.
Στο τελευταίο ερώτημα μπορεί κάποιος να καταλήξει σε ενδεχομένως απρόσμενα αποτελέσματα αν πειραματιστεί με τις διατομές των εμβόλων και τις ταχύτητες. Κατά την συγγραφή της έβγαλα αρχικά κάποια αποτελέσματα απρόσμενα. Κοιτάζοντας στο δίκτυο είδα ότι ο Γιάννης είχε θέσει παρόμοιο ερώτημα για συζήτηση και ξεκαθάρισα αρκετά πράγματα. Η συζήτηση στον σύνδεσμο Είναι δυνατόν η ισχύς να είναι μηδενική;
Ευχαριστώ Χρήστο.
Την διαβάζω τώρα.
Πολύ καλή ανάρτηση.
Τα προβλήματα αυτά οδηγούν σε "προβλήματα".
Η συζήτηση αυτή ήταν παλιά και (μαζί με άλλες) με οδήγησαν να σκεφτώ διάφορα, που τότε δεν σκεφτόμουν.
Η σχέση Μπερνούλι τι δίνει σε τέτοιες περιπτώσεις;
Μια μαζούλα που θα βρεθεί από την κάτω θέση στην πάνω θα έχει μια ταχύτητα. Η σχέση βοηθά στον υπολογισμό της.
Όμως οι άλλες μαζούλες τις οποίες συναντά στην διαδρομή έχουν την ταχύτητα που αυτή έχει;
Όταν φαρδαίνει ο πάνω σωλήνας, όλο το υγρό έχει την ίδια ταχύτητα;
Έτσι αποφεύγω να χρησιμοποιώ τον νόμο Μπερνούλι. Προτιμώ έργο-ενέργεια.
Φυσικά βγαίνει ακριβώς το ίδιο, όμως παρουσιάζεται το ενδεχόμενο το έργο που παράγουμε εμείς να μην γίνεται μόνο δυναμική και κινητική ενέργεια του νερού στον πάνω σωλήνα. Να γίνεται και μια κινητική ενέργεια του νερού λόγω περιδινήσεων.
Έτσι εξηγείται πως για να παράγω έργο απαιτείται πάντοτε μια δύναμη.
Πιο συγκεκριμένα:
Η πίεση στο πάνω έμβολο είναι 1 Atm. Για να κρατήσω ακίνητο το κάτω έμβολο πρέπει να ασκήσω μια δύναμη, όπως στο σχήμα.
Αν ασκήσω ελαφρώς μεγαλύτερη δύναμη, το έμβολο κινείται δεξιά.
Δεξιά κινείται και το πάνω έμβολο.
Αν η πάνω διατομή είναι μεγάλη, η δύναμη υπολογίζεται αρνητική.
Αυτό σημαίνει ότι πρέπει αρχικά να ασκήσω δύναμη προς τα δεξιά για να ξεκινήσει η κίνηση και στην συνέχεια να τραβάω αριστερά το κάτω έμβολο, ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα.
Αν δεν το κάνω τι θα συμβεί;
Θα κινούνται τα έμβολα με επιτάχυνση;
Παραβιάζεται η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας;
Για μια στοιχειώδη μετατόπιση του κάτω εμβόλου κατά dx:
Σε κάθε περίπτωση η ανάρτηση είναι εξαιρετικά χρήσιμη διότι αν προκαλέσει συζήτηση ίσως ξεκαθαρίσουμε κάποια που έχουν μείνει εκκρεμή από παλιά.
Καλησπέρα Γιάννη
Σε ευχαριστώ για τα σχόλια και τις τοποθετήσεις σου.
Όντως βγαίνουν όπως λες είναι παράδοξο και θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα.
Καταλήγοντας στην μηδενική δύναμη μετά θέλησα να βρω από ποιο ύψος θα μπορούσε να ξεκινά μια μάζα νερού από μια μεγαλη δεξαμενή και να έχει κάτω πίεση 1 ΑΤΜ και την ταχύτητα √(10/3) και βρήκα ύψος 1/6m. Βέβαια αυτό χωρίς παρουσία εμβόλου μιας και πίστεψα ότι είναι περιττό. Προφανώς αυτο δεν μπορεί να συμβεί να φεύγει από 1/6m χωρίς ταχύτητα και να ανεβαίνει μισό μέτρο με ταχύτητα. Απαιτείται ένας άλλος μηχανισμός.
Για να δούμε και άλλες ιδέες.
Θεωρώ ότι πρέπει να δει κάποιος τη συζήτηση που είχε προηγηθεί τότε.
Διαισθητικά πιστεύω πως η δύναμη πρέπει να υπερβαίνει την τιμή που απαιτείται να έχει στην κατάσταση ισορροπίας.
Δηλαδή την ρ.Α.g.h.
Με παραξενεύει το ότι πρέπει αρχικά να την ξεπεράσει και τελικά να μηδενισθεί, ή και να γίνει αρνητική.
Σκέφτομαι μήπως περιδινήσεις που δεν υπολογίζονται κρύβουν την απάντηση.
Θα μπορούσαμε να πετύχουμε το εξής παράδοξο:
Η δύναμη που δέχεται το κάτω έμβολο λόγω υδροστατικής πίεσης είναι πρακτικά μηδέν.
Αν αποκτήσει κάποια ταχύτητα, τότε συνεχίζει να κινείται με αυτήν. Το πάνω έμβολο κινείται με υποδιπλάσια ταχύτητα.
Έτσι έχουμε μεταφορά νερού σε μεγαλύτερο υψόμετρο.
Καλησπέρα Χρήστο.
Ωραίο θέμα που αναδεικνύεις ένα «παράδοξο» το οποίο νομίζω ότι δεν είναι και τόσο παράδοξο…
Ας φανταστούμε το υλικό σημείο που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ1 (προφανώς σε κάποιο προηγούμενο χρονικό διάστημα, κάποια δύναμη παρήγαγε πάνω του έργο ίσο με ½ mυ^2, αλλά αυτό δεν μας απασχολεί).
Στην πορεία του το σώμα συναντά το λείο κεκλιμένο επίπεδο, οπότε ανεβαίνει κατά h, έχοντας ταχύτητα υ2. Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας επιβάλει:
Υπάρχει κάποιο παράδοξο;
Διονύση καλημέρα
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Με τα ερωτήματα που βάζω δεν βγαίνει κάποιο παράδοξο όπως λες. Και στο σχόλιο που κάνω λέω ότι αρκεί με έναν μηχανισμό να εξασφαλίσουμε την κατάλληλη ταχύτητα.
Σε παράδοξο κατέληξα όταν πήγα να βρω το ύψος από όπου θα πέφτει νερό για να συμβεί αυτό, ψάχνοντας ένα μηχανισμό. Όπως στο σχήμα του Γιάννη.
Επιπλέον αυτό που προβληματίζει είναι όταν βρούμε αρνητική δύναμη πως θα το μεταφράσουμε και πως γίνεται.
Καλημέρα Χρήστο.
Πάλι δεν "βλέπω" παράδοξο.
Στο προηγούμενο σχόλιό μου, έγραψα ότι δεν με ενδιαφέρει το πώς το σώμα απέκτησε αυτή την ταχύτητα…
Εδώ λοιπόν υπάρχει κάποιο χρονικό διάστημα επιτάχυνσης του ρευστού, μέχρι να αποκτήσει το κάτω έμβολο την ταχύτητά που του αποδίδουμε. Σε αυτό το χρονικό διάστημα, δεν έχουμε μόνιμη ροή…
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση δεν είναι ούτε απλό, ούτε το ίδιο πρόβλημα.
Αποκτά λοιπόν το κάτω έμβολο την ταχύτητα που θέλουμε. Μετά πρέπει να "κοντράρουμε" το έμβολο για να μείνει η ταχύτητα σταθερή;
Έχουμε αεικίνητο;
Είναι δυνατόν για την ισορροπία να απαιτείται μεγαλύτερη δύναμη από αυτήν που απαιτείται για κίνηση με σταθερή ταχύτητα;
Ο φαρδύς σωλήνας ρουφάει νερό, ενώ αν ήταν στενός θα ήθελε δύναμη για να ρουφήξει;
Δεν είναι τόσο απλό όσο το σώμα που ανηφορίζει. Η αναλογία που παρουσίασες είναι καλή για να καταλάβουμε την συμπεριφορά μιας μαζούλας νερού. Όχι του συστήματος.
Γιάννη καλημέρα και πάλι.
"Διονύση δεν είναι τόσο απλό…"
Με έστειλες για διάβασμα της παλιάς συζήτησης που είχες βάλει και που είχα σχολιάσει:
Καλησπέρα Γιάννη.
Λες τι θα γίνει, αν ενώ έχουμε την κατάσταση του πρώτου σχήματος, σταματήσουμε να ασκούμε δύναμη.
Τότε η μάζα του νερού στο στενό σωλήνα θα προχωρήσει σε χρόνο Δt και θα μπει κατά Δx στον φαρδύ σωλήνα, ωθώντας μια στήλη νερού ίδιας διατομής, υποχρεώνοντάς την να επιταχυνθεί και έτσι το έμβολο να αποκτήσει ταχύτητα u΄>u. Τότε όμως η στήλη στον λεπτό σωλήνα, δέχτηκε δύναμη προς τα αριστερά και επιβραδύνθηκε αποκτώντας ταχύτητα υ΄<υ.
Αυτό από ενεργειακή άποψη σημαίνει ότι η μια στήλη χάνει κινητική ενέργεια και η άλλη κερδίζει.
Έτσι θα μπορούσε να είχαμε την εικόνα του 2ου σχήματος, όπου το πάνω και το κάτω τμήμα θα κινείται με ταχύτητα u και «θα έρρεε» δίνοντας την εικόνα του σχήματος. Αλλά τότε θα είχαμε δημιουργία κενού, περίπου όπως στο σχήμα, το οποίο, θα πρέπει να γεμίσει. Πώς θα γίνει αυτό; Το κενό θα «ρουφήξει» νερό από τον στενό σωλήνα, με αποτέλεσμα αυτό να επιταχυνθεί προς τα δεξιά, για να καλυφθεί το κενό.
Συμπέρασμα; Το δεξιό έμβολο δεν κινείται πια με την αρχική του ταχύτητα, αλλά με μεγαλύτερη και το νερό (με σκούρο χρώμα), όταν περνά στον φαρδύ σωλήνα δεν έχει ταχύτητα u, αλλά μεγαλύτερη, όπως μεγαλύτερη είναι και η ταχύτητα κάποιας ποσότητας νερού, από αυτή που αρχικά βρισκόταν στο δεξιό σωλήνα. Έτσι, αν εξαιρέσουμε κάποια απώλεια κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμική, δεν έχουμε σοβαρό πρόβλημα ενεργειακό.
Τώρα μην με ρωτήσεις γιατί μένει προσκολλημένο το αριστερό έμβολο! Έτσι και αλλιώς το πείραμα είναι υποθετικό, αφού χρησιμοποιούμε ιδανικό ρευστό και έχουμε ξεχάσει δυνάμεις εσωτερικής τριβής, συνάφειας, διαμοριακές δυνάμεις…
Μένουμε σε αυτό ή το "ξαναβλέπουμε";
Και θυμόμουν και ξαναδιάβασα τα τότε σχόλιά σου.
Το ιξώδες είναι το μικρότερο πρόβλημα και ας το αφήσουμε.
Θεωρείς “μη παράδοξο” το να ρουφάει το νερό του φαρδιού σωλήνα αυτό του στενού;
Τότε θα μπορούσαμε να έχουμε μεταφορά νερού χωρίς αντλία όπως εδώ:
Δεν παραβιάζεται έτσι η διατήρηση της ενέργειας;