by 
Το ερώτημα είναι απλό. Ίσως και η απάντηση.
Το πράσινο σώμα αναγκάζεται να κινηθεί σε τμήμα κυκλοειδούς. Συγκεκριμένα σε μισό κυκλοειδές.
Το κόκκινο αναγκάζεται να διαγράψει τεταρτοκύκλιο.
Θα μπορούσαν να είναι οι γνωστές μπίλιες στους γνωστούς διαδρόμους. Ας θεωρηθούν λείοι.
Θα μπορούσαν να είναι χάντρες με τρύπες που κινούνται σε σύρματα που τις διαπερνούν, χωρίς τριβές.
Ποιο θα φτάσει πρώτο στο Γ;
Γιάννη το κύριο πρόβλημα είναι όταν τα εκκίνησης και κατάληξης είναι σταθερά και ζητείται η συντομότερη διαδρομή νομίζω. Στο θέμα που αναφέρεσαι νομίζω το κόκκινο. Μια εξήγηση είναι ότι στο ιδιο υψομετρο έχουν την ιδια στιγμιαία ταχύτητα και το κόκκινο έχει να διανύσει λιγότερο στοιχειώδη τμήμα απο το πράσινο καθώς κατέρχονται κατα ίση στοιχειώδη υψομετρική διαφορά.
Νίκο προφανώς δεν είναι το κύριο πρόβλημα. Για το κύριο πρόβλημα έχω γράψει:
Το κυκλοειδές ως βραχυστόχρονη και ισόχρονη καμπύλη.
Εδώ η λέξη “κυκλοειδές” τρομοκρατική χρήση έχει.
Έχω γράψει τη λύση και είναι ακριβώς αυτή που λες.
Στις εικονιζόμενες θέσεις τα σώματα έχουν ίδιες δυναμικές ενέργειες. Επομένως έχουν ίδιες κινητικές και ταχύτητες ίδιου μέτρου. Για να διασχίσει το στοιχειώδες διάστημα dS1 το πράσινο μπαλάκι θέλει περισσότερο χρόνο απ’ όσον θέλει το κόκκινο για να διασχίσει το dS2.
Τούτο διότι η κλίση του dS2 είναι μεγαλύτερη κατ’ απόλυτη τιμή και τα στοιχειώδη διαστήματα έχουν ίδια y προβολή.
Έτσι το dS2 είναι μικρότερο και διασχίζεται σε λιγότερο χρόνο. Επειδή αυτό γίνεται σε κάθε θέση, το κόκκινο φτάνει πρώτο στο Γ.
Γιάννη καλησπέρα, δεν ξέρω αν τη σχέση u1/u2=συνθ1/συνθ2 την αποδεικνύεις με καποιον τρόπο. Πάντως είναι ο νόμος του Snell, ο οποίος αποδεικνύεται με την αρχή του Fermat (ελαχίστου χρόνου). Πολύ ενδιαφέρον αυτό που έγραψες για το κυκλοειδές!!!
Νίκο ευχαριστώ. Φυσικά είναι η αρχή του Fermat. Όμως για τις συμπληρωματικές γωνίες.