by 
Με το κυκλοειδές έχουν ασχοληθεί και άλλοι φίλοι.
Γιάννης Φιορεντίνος, Πάνος Μουρούζης, Βαγγέλης Κορφιάτης, Θρασύβουλος Μαχαίρας και άλλοι.
Δεν θα με απασχολούσε άλλο αν δεν ήθελα να παρουσιάσω μια περίεργη ιδέα.
Το φως και ο ναυαγοσώστης ακολουθούν σοφές διαδρομές “βραχυστόχρονες”. Φροντίζουν ο λόγος των ημιτόνων των γωνιών να ισούται με τον λόγο των ταχυτήτων. Μήπως η κυκλοειδής καμπύλη εξασφαλίζει την ισότητα αυτήν για ένα σώμα που τσουλάει πάνω της;
Βραχυστόχρονη, αλλά και ισόχρονη
Το πρώτο σου έρχεται λογικό, αλλά το δεύτερο είναι τυχαίο που παραπέμπει σε απλό εκκρεμές;
Άλλωστε και το αποτέλεσμα που βγάζεις εκεί παραπέμπει!!!
Καλημέρα παιδιά.
Γιάννη εξαιρετική παρουσίαση.
Κι όμως Διονύση, δεν παραπέμπει σε εκκρεμές, είναι περίοδος εκκρεμούς! Αναρτούμε ένα νήμα με μία μάζα στην άκρη, ανάμεσα σε δύο συμμετρικές κυκλοειδείς καμπύλες, όπως στο σχήμα (εκκρεμές Huygens). Τότε η περίοδος ισούται με αυτήν του απλού εκκρεμούς για μικρές γωνίες αιώρησης και είναι ανεξάρτητη από την ακτίνα των κυκλοειδών, δηλαδή από το πλάτος αιώρησης.
Γιάννη μπράβο! Ετοιμάζω μια ανάρτηση που θα δείξω ότι η ταχύτητα v ακολουθεί την ίδια εξίσωση με αυτή ενός σημείου ενός κυλιόμενου τροχού.
Καλησπέρα Στάθη.
Μάλλον προσπάθησες να βάλεις κάποια εικόνα, αλλά δεν την πήρε…
Έψαξα αλλά δεν βρήκα να έχει ανέβει σχήμα.
Ευχαριστώ παιδιά.
Η απόδειξη ότι η ταχύτητα ενός σημείου ενός κυλιόμενου τροχού ακολουθεί παρόμοια εξίσωση με την ταχύτητα του φωτός όταν διέρχεται από ένα υλικό που ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται κατά τον y-άξονα είναι εδώ.
Γιάννη πολύ καλό.
Σήμερα με τον Κώστα Ψυλάκο μιλούσαμε για το κυκλοειδές με αφορμή μια άσκηση σε γιο γιο.
Ευχαριστώ Χρήστο.
Νίκο θα το διαβάσω το βράδυ.
Νίκο μόλις το διάβασα, πολύ καλό.
Πριν την ανάρτηση του Γιάννη και την δική σου, δεν είχα σκεφτεί ποτέ αυτήν την αναλογία των περιπτώσεων. Τώρα αρχίζω να καταλαβαίνω ότι πίσω από την κύλιση χωρίς ολίσθηση κρύβεται η αρχή της ελάχιστης δράσης. Και οι δύο κινήσεις σε βαθύτερο επίπεδο ακολουθούν τον ίδιο νόμο!
Γιάννη, διάβασέ το το βράδυ (ευχομαι μετά να κοιμηθείς χωρίς πονοκέφαλο!).
Στάθη πρόσεχε. Ας μην είμαστε επιπόλαιοι. Αυτή η, ενδεχομένως συμπτωματική, ομοιότητα των εξισώσεων, ίσως να μην έχει βαθύτερο νόημα.
Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος και, στο παρόν πρόβλημα, αρκούν οι δυο διαστάσεις. Άρα χρειάζονται δύο εξισώσεις για να προσδιοριστεί.
Όσον αφορά την κίνηση του σημείου της ρόδας, τις έχουμε τις δυο εξισώσεις και μπορούμε να την προσδιορίσουμε. Όσον αφορά ένα φωτόνιο (που το υποθέτουμε κλασικό σωματίδιο) που κινείται σε διαφανές υλικό, έχουμε μόνο μια. Άρα θέλουμε ακόμα μια. Ποιός μας λέει ότι, όταν εξαγάγουμε τη δεύτερη εξίσωση, και τη συνδιάσουμε με αυτή που έχουμε, η λύση τους θα είναι ένα διάνυσμα v(t) που θα ακολουθεί την ίδια τροχιά με αυτή που ακολουθεί το v(t) ενός σημείου κυλιόμενου τροχού; ενδεχομένως όμως αυτό να συμβαίνει αν ισχύει κάποια συνθήκη για το n(y) (δηλ. το δείκτη διάθλασης).
Γιάννη το σκέφτομαι ως εξής:
Η κίνηση ενός φωτονίου διέπεται από την αρχή της ελάχιστης δράσης, ακόμη και αν το δεις ως κλασσικό σωματίδιο, είτε ως κλασσικό κύμα (πχ ο νόμος της διάθλασης).
Ταυτόχρονα η κίνηση χωρίς ολίσθηση μίας ρόδας προκύπτει από τον φορμαλισμό Lagrange, ο οποίος είναι η εφαρμογή της ελάχιστης δράσης.
Δεν μένω στην ομοιότητα των τύπων. Απλά σε κάθε περίπτωση η τροχιά είναι αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση του κάθε συστήματος. Είναι άλλο θέμα αν στην συγκεκριμένη περίπτωση η τροχιές προκύπτουν οι ίδιες.
Νίκο ήθελα να πω. Συγγνώμη που σου άλλαξα όνομα!
Καλησπέρα παιδιά.
Νίκο τώρα θα το διαβάσω.
Γι' αυτό που συζητάτε, πιστεύω πως συμπτωματικό δεν είναι. Αφού η διαδρομή είναι η βραχυστόχρονη, κυκλοειδές θα βγει τελικά.
Πολύ καλή Νίκο!
Σκεφτόμουν πριν ότι μόνο δείκτης διάθλασης που είναι συνάρτηση της ρίζας του y, θα μας έδινε κυκλοειδή πορεία φωτεινής ακτίνας.
Στάθη, καλοί είναι οι συλλογισμοί σου, αλλά μόνο μια εξίσωση δεν μπορεί να δείξει ότι το φωτόνιο "θα πάει κυκλοειδώς". Το πως θα πάει εξαρτάται βέβαια και από το n(y).