by 
Οι πηγές βαρυτικού πεδίου δεν είναι πάντα σφαιρικές. Ποιό είναι το πεδίο βαρύτητας ενός μη σφαιρικού σώματος; Αποδεικνύεται ότι, σε ανάπτυγμα δεύτερης τάξης, εξαρτάται από τις ροπές αδράνειας με ένα πολύ απλό τρόπο. Περισότερα εδώ.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Οι πηγές βαρυτικού πεδίου δεν είναι πάντα σφαιρικές. Ποιό είναι το πεδίο βαρύτητας ενός μη σφαιρικού σώματος; Αποδεικνύεται ότι, σε ανάπτυγμα δεύτερης τάξης, εξαρτάται από τις ροπές αδράνειας με ένα πολύ απλό τρόπο. Περισότερα εδώ.
Καλησπέρα Νίκο.Κάτι δεν καταλαβαίνω.
Δίνεις την σχέση:
Αν έχουμε σφαίρα ομογενή, τοποθετημένη στο (0,0,0) , ο όρος στην παρένθεση δεν μηδενίζεται;
Το δυναμικό είναι μηδέν;
Κατάλαβα Νίκο.
Μηδενίζεται ο προσθετέος αυτός , όχι το δυναμικό.
Γιάννη, στην πλειονοπολική ανάπτυξη, ένα μη σφαιρικό σώμα έχει άπειρες τάξεις δυναμικού. Αν όμως έχει κάποιες συμμετρίες, κάποιες από αυτές τις τάξεις μηδενίζονται. Τη μεγαλύτερη συμμετρία έχουν τα σφαιρικά σώματα. Σ΄ αυτά όλες οι τάξεις πλην της μηδενικής μηδενίζονται. Δηλ. για σφαιρικά σώματα V2=0.
Κατάλαβα Νίκο.
Χρειάστηκε να ξαναδιαβάσω τις δύο προηγούμενες. Ξεχνάω Νίκο δυστυχώς.
Η ιδέα είναι εντυπωσιακή. Δύο μεγέθη σχετιζόμενα με κατανομή μάζας, σχετίζονται μεταξύ τους.
Καλησπέρα Νίκο.
Εμένα τώρα γιατί μου φαίνεται “αποπροσανατολιστικός” ο τίτλος της δημοσίευσης;
Όταν τον διαβάζω, σκέπτομαι:
Μα η μάζα δεν είναι η πηγή του βαρυτικού πεδίου; Και αν έχουμε μια κατανομή μάζας, τότε θα έχουμε σε κάθε σημείο του χώρου, ένα δυναμικό που θα εξαρτάται προφανώς από κάθε σημειακή μάζα, αλλά και απο τη θέση της.
Μέχρι εδώ, μου φαίνονται λογικά. Αλλά το να βρούμε μαθηματικές σχέσεις που να προσπαθήσουμε στον υπολογισμό του δυναμικού σε ένα σημείο, να εμπεριέχεται η ροπή αδράνειας, μάλλον σε “λάθος” κατεύθυνση το βλέπω.
Είναι σαν να λέμε ότι, ναι η μάζα δημιουργεί βαρυτικό πεδίο, αλλά μπορούμε να έχουμε και ένα “επιπλέον πεδίο” που να οφείλεται σε ροπή αδράνειας.
Κάνω λάθος;
Ο τίτλος της εργασίας σου, είναι πιο κοντά στην δική μου “αλήθεια”…
Αυτό που λέμε “ροπή αδράνειας” είναι η τετραπολική ροπή της πυκνότητας. Είτε μιλάμε για πυκνότητα φορτίου είτε για πυκνότητα ύλης, αυτές οι ποσότητες έχουν διπολική, τετραπολική, …2 εις την l-πολική ροπή κλπ.
Η διπολική ροπή είναι άνυσμα και έχει τρεις συνιστώσες. Η τετραπολική είναι συμμετρικός τανυστής με έξι συνιστώσες οι οποίες ανάγονται τελικά σε πέντε και χαρακτηρίζονται από τις τιμές ενός ακεραίου m που πάει από το -2 μέχρι το +2. Η οκταπολική αντίστοιχα έχει επτά συνιστώσες (m=-3, -2, …, 3).
Υπάρχουν επομένως πέντε συνιστώσες στον τανυστή αδράνειας. Αν πάρουμε κατάλληλο σύστημα συντεταγμενων, γίνονται τρεις. Αν το σώμα έχει αξονική συμμετρία υπάχουν δυο διαφορετικές ροπές αδράνειας. Η δεύτερη τάξη του δυναμικού βαρύτητας εξαρτάται από αυτές τις δυο. Υποθέτω ότι η δεύτερη τάξη του δυναμικού βαρύτητας, ακόμα και χωρίς συμμετρία, θα εξαρτάται πάλι από τις συνιστώσες της ροπής αδράνειας.
Η πρώτη τάξη δυναμικού εξαρτάται από τη διπολική ροπή της πυκνότητας. Σώματα με αξονική συμμετρία έχουν και πρώτη τάξη στο δυναμικό τους. Αλλά η συνεισφορά της μηδενίζεται αν η αρχή των συντεταγμένων είναι στο κέντρο μάζας (αλλιώς είναι ευθέως ανάλογη της συντεταγμένης του ΚΜ).
Αν συνεχίσουμε την ανάπτυξη και υπολογίσουμε τον όρο τρίτης τάξης (τον οκταπολικό) αυτός θα εξαρτάται από την οκταπολική ροπή της πυκνότητας.
Ο όρος l τάξης του δυναμικού είναι ένας γραμμικός συνδιασμός της 2 εις την l ροπής της πυκνότητας με τις σφαιρικές αρμονικές τάξης l.
Αυτό που έκανα Διονύση ήταν να υπολογίσω μια τάξη του δυναμικού βαρύτητας η οποία, όπως αποκαλύφθηκε (όντως, δεν το περίμενα ευθύς εξ αρχής, αλλά άρχισα να το υποψιάζομαι στην πορεία) είναι γραμμική συνάρτηση των ροπών αδράνειας. Ο όρος αυτός είναι μικρής σημασίας σε σχέση με τον μηδενικό που εξαρτάται άμεσα από τη μάζα. Ασφαλώς ο τίτλος είναι παραπλανητικός: η εξάρτηση του δυναμικού από τη ροπή αδράνειας δεν σημαίνει ότι η ροπή αδράνειας είναι η πηγή του δυναμικού. Ένας πιο σωστός τίτλος είναι: η δυναμική συνάρτηση εξαρτάται από την κατανομή της ύλης η οποία εκφράζεται μέσω των ροπών της, όπως η ροπή αδράνειας (ή τετραπολική ροπή).
Καλημέρα και από εμένα.
Η δουλειά του Νίκου μας θυμίζει τον τρόπο υπολογισμού του βαρυτικού ( ηλεκτρικού) πεδίου στην περίπτωση που έχουμε ένα πραγματικό πρόβλημα μιας τυχαίας κατανομής μάζας (φορτίου).
Διακινδυνεύω ένα σχόλιο χωρίς να ανοίξω βιβλίο.
Στο επίπεδο του πεδίου βαρύτητας οι έννοιες βαρυτικό πεδίο διπολικής ροπής, τετραπολικής ροπής κ.τ.λ δεν έχουν νόημα ως αυθύπαρκτα πεδία αλλά μόνο ως διαφορετικής τάξης προσεγγίσεις του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια κατανομή μάζας.
Στην περίπτωση του ηλεκτρομαγνητισμού η κατάσταση είναι διαφορετική:
Επειδή υπάρχουν δύο είδη φορτίου, είναι δυνατόν η πυκνότητα φορτίου να είναι μηδέν χωρίς να είναι μηδέν η πυκνότητα διπολικής ροπής. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το δημιουργούμενο ηλεκτρικό πεδίο να μην έχει όρο μηδενικής τάξης αλλά από 1η και πάνω.
Αντίστοιχα μπορεί να υπάρχει τετραπολική ροπή χωρίς την ύπαρξη διπολικής ροπής κ.τ.λ.
Γεια σου Βαγγέλη. Ναι, όπως τα λες είναι. Για την ακρίβεια: Ένα σώμα με ηλεκτρικό φορτίο 0 έχει ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό οφείλεται σε διπολικές, τετραπολικές, 2 εις την l-πολικές ροπές της κατανομής ηλεκτρικών φορτίων του. Πχ το νετρόνιο έχει ηλεκτρικό πεδίο.
Αν σε μια κατανομή φορτίου (ή ύλης) υπάρχει ένας άξονας τέτοιος που η κατανομή αυτή να είναι συμμετρική ως προς την αναστροφή του άξονα, τότε δεν υπάρχει διπολική ροπή. Για παράδειγμα αν αντιστρέφαμε τον άξονα περιστροφής της γης η γη θα ήταν ίδια. Άρα η κατανομή ύλης στη γη δεν έχει διπολική ροπή. (υποπεύομαι τις αντιδράσεις κάποιων αφού ο Βόρειος πόλος είναι διαφορετικός από το Νότιο. Αλλά υποθέτουμε μια ιδανική γη με σχήμα ελλειψοειδές εκ περιστροφής).
Αλλά η γη έχει τετραπολική ροπή επειδή έχει σχήμα ελλειψοειδες εκ περιστροφής. Γι΄ αυτό η ροπή αδράνειάς της ως προς τον άξονά της και ως προς ένα άξονα κάθετο με αυτόν είναι διαφορετικές. Έτσι η σημαντικότερη διόρθωση του βαρυτικού πεδίου της γης είναι η V2(r). Ομοίως με τον ατομικό πυρήνα. Δεν έχει διπολικη ηλεκτρική ροπή αλλά έχει τετραπολική επειδή είναι πεπλατυσμένος.
Όπως λες και συ Βαγγέλη, οι διάφορες τάξεις στην πλειονοπολική ανάπτυξη (multipole expansion) δεν είναι αυθύπαρκτα πεδία. Είναι διορθώσεις του πεδίου σημειακής μάζας. Στο βιβλίο του The Classical Theory o Fields, στη σελίδα 97 multipole moments ο Landau τα περιγράφει πολύ ωραία.