by 
Επανέρχομαι σε μια παραλλαγή της συζήτησης:
Μια εφαρμογή του γενικευμένου νόμου
Έστω ότι από μια τροχαλία ακτίνας R και μάζας Μ, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο, περνάμε ένα νήμα, στο ένα άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ (το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο), ενώ στο άλλο έχει προσδεθεί ένας ομογενής δίσκος, επίσης ακτίνας R, αφού προηγούμενα έχουμε τυλίξει αρκετές φορές γύρω του το νήμα. Το σύστημα συγκρατείται όπως στο σχήμα.
Σε μια στιγμή αφήνεται το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Αν για το σύστημα, το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων, ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας Ο, είναι μηδέν, τότε:
i) Η τροχαλία δεν θα περιστραφεί.
ii) Το σώμα Σ θα κινηθεί προς τα κάτω.
iii) Το σώμα Σ θα ανέβει.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Διονύση καλησπέρα.
Αν δεν υπάρχει περιορισμός στην επιλογή του τρόπου λύσης, τότε να μία:
Για να μείνει ακίνητο το Σ πρέπει να δεχθεί δύναμη όσο το βάρος του. Ήτοι m.g.
Πάμε στον δίσκο. Αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι η τάση του νήματος είναι το ένα τρίτο του βάρους του, Δηλαδή το βάρος του είναι 3m.g.
Τότε όμως η εξωτερικές ροπές ως προς την τροχαλία είναι m.g.R-3m.g.(2R)=-5m.g.R και όχι μηδέν.
Συνεπώς δεν μπορεί να μείνει ακίνητο. Θα κατέβει. Γιατί;
Η μάζα του δίσκου είναι η μισή από αυτήν του σώματος και όχι η τριπλάσια που απαιτείται για την ισρροπία.
Θα ανέβαινε αν η μάζα του δίσκου ήταν υπερτριπλάσια αυτής του σώματος. Τότε φυσικά η ολική ροπή δεν θα ήταν μηδενική.
Γιάννη ευχαριστώ.
Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός, απλά μετά από τηλεφώνημα φίλου, μου "δημιουργήθηκε" η εξής απορία.
"Αφού Στεξ=0 η στροφορμή παραμένει σταθερή και άρα μηδενική"…
Αφού βρώ ότι Μ τροχ=Μσ/2 από οτ Στεξ=0 , ακολουθώντας τη Διονυσιακή μέθοδο ακινητοποίησης …του Σ βρίσκω ότι dυτροχ/dt=-F/Mτροχ-g<0 άτοπο
και για F=0 dυτροχ/dt= – g
Η στροφορμή όντως παραμένει μηδενική, αλλά ως προς το κέντρο της τροχαλίας.
Αυτό όμως σημαίνει ότι ένα αλγεβρικό άθροισμα 4 όρων είναι μηδενικό. Δεν σημαίνει ακινησία κάποιου των μελών.
Καλημέρα και καλό ΣΚ σε όλους.
Γιάννη και Παντελή σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις και, βέβαια, τις σωστές λύσεις που προτείνατε.
Ο φίλος στο τηλέφωνο επέμενε, Μα, γιατί βρε Διονύση, αφού η συνολική ροπή ως προς τον άξονα της τροχαλίας είναι αρνητική, δεν σημαίνει ότι η τροχαλία (και άρα το σώμα Σ) θα στραφεί ωρολογιακά;
(η διατύπωση προσαρμοσμένη στο παραπάνω σχήμα που έχω δώσει).
Έτσι οδηγήθηκα στο παραπάνω παράδειγμα που η συνολική ροπή να είναι μηδενική.
Όμως ο δίσκος προφανώς θα στραφεί δεξιόστροφα άρα λόγω ιδιοπεριστροφής αποκτά αρνητική στροφορμή. Πρέπει να υπάρξει επομένως και κάποια θετική στροφορμή, ώστε να διατηρείται η συνολική στροφορμή, που αρχικά ήταν μηδενική και πρέπει να παραμείνει μηδενική.
Αυτό σημαίνει ότι η τροχαλία δεν θα μείνει ακίνητη.
Αν η τροχαλία περιστραφεί δεξιόστροφα (ανεβάζοντας το σώμα Σ), τότε και αυτή και το Σ θα αποκτούσαν αρνητική στροφορμή, οπότε και πάλι θα είχαμε συνολικά αρνητική στροφορμή.
Δεν μένει παρά το Σ να κατέβει, συμπαρασύροντας σε αριστερόστροφη περιστροφή την τροχαλία.
Προφανώς μπορούμε να προβούμε και σε αριθμητικούς υπολογισμούς επιβεβαιώνοντας ή την παραπάνω λογική.
Καλησπέρα παιδιά. Σήμερα ανακάλυψα το σάιτ σας και χαίρομαι που σας γνωρίζω.
Εφόσον οι εξωτερικές ροπές είναι μηδέν για το σύστημα, το σύστημα δεν περιστρέφεται. Αυτό δεν απαγορεύει στην τροχαλία να περιστραφεί.
Καλώς ήρθες Δημοσθένη.
Τι σημαίνει ότι το σύστημα στρέφεται ή δεν στρέφεται;
Εφόσον οι εξωτερικές ροπές δίνουν αλγεβρικό άθροισμα μηδενικό ως προς τον άξονα της τροχαλίας, αυτό που συμπεραίνουμε ότι η συνολική στροφορμή των μελών του συστήματος, ως προς αυτό τον άξονα, είναι μηδενική.
Κάθε μέρος του συστήματος μπορεί να στρέφεται και να αποκτά στροφορμή.
Συμφωνώ απόλυτα και είναι πολύ ωραία η κεντρική ιδέα του θέματος, ότι δηλαδή συνολική στροφορμή μηδέν δεν σημαίνει ότι κανένα από τα σώματα του συστήματος δεν μπορεί να έχει αυτό στροφορμή.
Επιπροσθέτως επισημαίνω ότι συνολική εξωτερική ροπή μηδέν και αρχικά ακίνητο σύστημα σημαίνει δεν έχω περιστροφή. Αυτό όμως αφορά το σύστημα στο σύνολό του και όχι τα σώματα που το απαρτίζουν.
Δημοσθένη, απλά δεν με βρίσκει σύμφωνο η έκφραση "δεν έχω περιστροφή".
Παραπέμπει σε μια λογική, ότι αν έχουμε ένα σύστημα σωμάτων, όλο το σύστημα πρέπει να περιστρέφεται με κάποια κοινή γωνιακή ταχύτητα.
Αν στο παραπάνω σχήμα η συνολική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας, των εξωτερικών δυνάμεων δεν ήταν μηδενική αλλά π.χ. τ, τι θα είχαμε; Θα είχαμε "περιστροφή" του συστήματος ή και πάλι κάθε σώμα θα εκτελούσε τη δική του κίνηση και απλά το σύστημα μετά από χρόνο t θα είχε συνολική στροφορμή ως προς τον άξονα ίση με το γινόμενο τ.t;
Ναι νομίζω πως αν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων δεν ήταν μηδέν θα όφειλε να μας απασχολήσει και η περιστροφή του συστήματος, ως ενιαίου στερεού γύρω από τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας.
Για να έχουμε ένα ενιαίο στερεό, θα έπρεπε να υπήρχαν απόλυτοι δεσμοί μεταξύ των σωμάτων, που να μην επιτρέπουν επιμέρους κινήσεις των μελών του συστήματος.
Για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα, δεν μπορούμε να το αντιμετωπίζουμε σαν ένα στερεό. Δεν υπάρχει ένα στερεό, αλλά ένα σύστημα σωμάτων. Η διάκριση πρέπει να είναι, κατά τη γνώμη μου, ξεκάθαρη.
Πολύ σωστή η διάκριση που κάνετε. Έχετε δίκιο!